概率解答题练习
1．有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，设自己拿到自己写的贺卡的人数为
，①求的概率分布；②求的数学期望与方差.
2．有3张形状、大小、质量完全相同的卡片，在各张卡片上分别标上0、1、2。现从这3张卡片中任意抽出一张，读出其标号
，然后把这张卡片放回去，再抽一张，其标号为
，记
.（1）求
的分布列；（2）求
和
.
3．甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次为ξ；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次为η.
（1）分别求ξ和η的期望；
（2）规定；若ξ>η，则甲获胜，若ξ<η，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率.
4．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.
（1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）求解出该题的人数
的数学期望和方差.
5．口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，二张标有数字3，第一次从口袋里任里任意抽取一张，放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.
（Ⅰ）为何值时，其发生的概率最大？说明理由；
（Ⅱ）求随机变量的期望E.
6．A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x、y、z≥0，
且
），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜.
（1）用x、y、z表示B胜的概率；
（2）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？
7．某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是
，
(1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；
(2)若5人中恰有r人合格的概率为
，求r的值；
(3)记测试合格的人数为，求的期望和方差.
8．袋中有1个白球和4个黑球，每次从其中任取一个球，直到取到白球为止.
（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数的数学期望与方差；
（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数的数学期望与方差.
9．从分别写有
的九张卡片中，任意抽取两张，计算：
（Ⅰ）卡片上的数字都是奇数的概率；
（Ⅱ）当两张卡片上的数字之和能被3整除时，就说这次试验成功，求在15次试验中成功次数
的数学期望.
10．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。
（Ⅰ）求甲答对试题数的概率分布及数学期望，
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
11．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且
．(I) 求文娱队的人数；(II) 写出的概率分布列并计算
．
12．某中学篮球队进行投篮训练，每人在一轮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直投到4次为止.已知运动员甲的投篮命中率为0.7.
（1） 求一轮练习中运动员甲的投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ（结果保留两位有效数字）；
（2） 求一轮练习中运动员甲至少投篮3次的概率.
13．甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为
，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们各自独立地射击两次，设乙命中10环的次数为ξ，且ξ的数学期望Eξ=
，
表示甲与乙命中10环的次数的差的绝对值.
(1)求s的值及的分布列， (2)求的数学期望.
概率解答题练习
1．有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，设自己拿到自己写的贺卡的人数为，①求的概率分布；②求的数学期望与方差.
1．解：（1）分布列
|
| 0 | 1 | 2 | 4 |
|
|
|
|
|
|
（2）
.
2．有3张形状、大小、质量完全相同的卡片，在各张卡片上分别标上0、1、2。现从这3张卡片中任意抽出一张，读出其标号，然后把这张卡片放回去，再抽一张，其标号为，记。（1）求的分布列；（2）求和。
解：（1）可能取的值为0、1、2、4。
……（2分）
且
，
，
，
……（6分）
所求的分布列为：
|
| 0 | 1 | 2 | 4 |
|
|
|
|
|
|
……（8分）
（2）由（1）可知，
……（11分）
……（14分）
3．（本题满分14分）甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次为ξ；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次为η.
（1）分别求ξ和η的期望；
（2）规定；若ξ>η，则甲获胜，若ξ<η，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率.
解
ξ的可能取值为0，1，2，3则ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
|
则Eξ
η的可能取值为0，1，2则η的分布列为
| η | 0 | 1 | 2 |
|
|
|
|
|
则Eη=
所以ξ、η的数学期望分别为
、1
（2）P(ξ>η)=
P(ξ<η)=
所以甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
。
4．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.
（1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）求解出该题的人数的数学期望和方差.
解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.
设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2.（2分）
则P（A）=P1=0.6,P(B)=P2
|
| 0 | 1 | 2 |
| P | 0.08 | 0.44 | 0.48 |
5．口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，二张标有数字3，第一次从口袋里任里任意抽取一张，放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.
（Ⅰ）为何值时，其发生的概率最大？说明理由；
（Ⅱ）求随机变量的期望E。
解（I）依题意，随机变量的取值是2、3、4、5、6…………2分
因为P（=2）=
；P（=3）=
P（=4）=
；P（=5）=
；
P（=6）=
；…………7分
所以，当=4时，其发生的概率P（=4）=
最大…………8分
（Ⅱ）E=
………………12分
6．（本小题满分12分）A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x、y、z≥0，
且），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜.
（1）用x、y、z表示B胜的概率；
（2）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？
解：（1）显然A胜与B胜为对立事件，A胜分为三个基本事件：
①A1：“A、B均取红球”；②A2：“A、B均取白球”；③A3：“A、B均取黄球”.
（2）由（1）知
，
于是
，即A在箱中只放6
个红球时，获胜概率最大，其值为
7．某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是，
(1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；
(2)若5人中恰有r人合格的概率为，求r的值；
(3)记测试合格的人数为，求的期望和方差。
解：(1)体育教师不坐后排记为事件A，则
。
（2）每位考生测试合格的概率
，测试不合格的概率为
则
，即
，
∴
，
(3)∵～
∴ 
8．袋中有1个白球和4个黑球，每次从其中任取一个球，直到取到白球为止.
（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数的数学期望与方差；
（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数的数学期望与方差。
解（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回，所以的可能取值为1，2，3，4，5，易知
，
，
故随机变量的概率分布列为：
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P |
|
|
|
|
|
…………….6分
（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，设随机变量
是取球次数，因为每次取出的黑球仍放回去，所以的可能取值是一切正整数，
所求概率分布为
|
| 1 | 2 | 3 | … | n | … |
| P |
|
|
| … |
| … |
9．从分别写有的九张卡片中，任意抽取两张，计算：
（Ⅰ）卡片上的数字都是奇数的概率；
（Ⅱ）当两张卡片上的数字之和能被3整除时，就说这次试验成功，求在15次试验中
成功次数的数学期望。
（Ⅰ）
；
（Ⅱ）一次试验成功的概率为
，从而
，故
。
10．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。
（Ⅰ）求甲答对试题数的概率分布及数学期望。
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。
解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数的概率分布如下：
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
|
…………4分
甲答对试题数的数学期望：
……………………………………4分
（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为
则
…………………理9分（文6分）
甲、乙两人考试均不合格的概率为：
∴甲、乙两人至少一个合格的概率为
………理文均12分
11．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．
(I) 求文娱队的人数；
(II) 写出的概率分布列并计算．
解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是
（7-2 x）人．
(I)∵
，
∴
．……………………………………3分
即
．
∴
．
∴x=2． ……………………………………5分
故文娱队共有5人．……………………………………7分
(II) 的概率分布列为
|
| 0 | 1 | 2 |
| P |
|
|
|
，……………………………………9分
，……………………………………11分
∴
=1． …………………………13分
12．某中学篮球队进行投篮训练，每人在一轮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直投到4次为止.已知运动员甲的投篮命中率为0.7.
（3） 求一轮练习中运动员甲的投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ（结果保留两位有效数字）；
（4） 求一轮练习中运动员甲至少投篮3次的概率.
解：(1)ξ的可能取值为1，2，3，4，
ξ=1时，P（ξ=1）=0.7
ξ=2时，P（ξ=2）=0.7(1-0.7)=0.21;
ξ=3时，P（ξ=3）=0.7(1-0.7)2=0.063
ξ=4时，P（ξ=4）=0.7(1-0.7)3+(1-0.7)4=0.027.
∴ξ的分布为
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | 0.7 | 0.21 | 0.063 | 0.027 |
∴Eξ=1×0.7+×2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.4
(2)P(ξ≥3)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=0.063+0027=0.09
13.甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们各自独立地射击两次，设乙命中10环的次数为ξ，且ξ的数学期望Eξ=，表示甲与乙命中10环的次数的差的绝对值.
(1)求s的值及的分布列，
(2)求的数学期望.
解:(1)依题意知ξ∽B(2，s)，故Eξ=2s=，
∴s=．
…………2分
的取值可以是0，1，2.
甲、乙两人命中10环的次数均为0次的概率是
，
甲、乙两人命中10环的次数均为1次的概率是
，
甲、乙两人命中10环的次数均为2次的概率是
，
∴
(
=0)=
．
…………6分
甲命中10环的次数为2次且乙命中10环的次数为0次的概率是
，
甲命中10环的次数为0次且乙命中10环的次数为2次的概率是．
∴
(=2)=
=
，
∴(=1)=1
(=0)(=2)=
． ………10分
故的分布列是
|
| 0 | 1 | 2 |
|
|
|
|
|
………12分
（2）E=
．
…………14分