高考数学学科复习测试试题
数学试题
第Ⅰ卷（48分）
考生注意：
1．试卷中使用向量的符号
表示意义相同.
2．本试卷共有22道题，满分150分，考试时间120分钟.
3．本试卷为文、理合卷，题首标有文科考生做、理科考生做的题目，没有标记的是“文”、
“理”考生共同做的题目.
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
1．直线
的倾斜角为 ．
2．方程
的解是
．
3．命题“若
＞0，则
”的逆命题是
．
4．计算：
．
5．函数
的最小正周期为
．
6．双曲线
的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是
．
7．（文科考生做）设函数
为偶函数，则实数
的值是
．
（理科考生做）函数
(
＞1)的值域是
．
8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中恰有1名是女生的概率
为 ．
9．若直角三角形
的顶点是A（－1，0）、B（1，0），则直角顶点C（x，y）的轨迹方
程为 ．
|
（＞0 ，
）是R上的增函数，那么的取值范
围是 ．
11．已知函数
的反函数图像恒过定点A，过点A的直线
与圆
相切，则直线的方程是
．
12．设函数
的定义域为
，若存在常数
，使
对一切实数均成立，则称为“海宝”函数. 给出下列函数：
①
；②
；③
；④
其中是“海宝”函数的序号为
．
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.
13．设
，若
，则实数
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
14．在锐角三角形
中，若
则
的值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
15．已知定义在上的奇函数，满足
，则
的值为 （ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
16．在平面直角坐标系
中，已知
顶点
和
，顶点
在椭圆
上，则
的值是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17．（本题满分12分）
已知
为虚数，且
，
为实数，
（文科考生做） 求复数.
（理科考生做）若
(
为虚数单位，
) 且虚部为正数 ，
，
求
的取值范围.
18．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
已知向量 
（1）当
时，求的值.
（2）（文科考生做）求
·
的最大值与最小值.
（理科考生做）求·， 在
上的最大值与最小值.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设函数
的定义域为集合
，函数
的定义域为集合．
（1）（文科考生做）当
时，求集合.
（理科考生做）判定函数的奇偶性，并说明理由.
（2）问：
是
的什么条件（充分非必要条件 、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论.
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
上海某玩具厂生产
套2008年奥运会吉祥物“福娃”所需成本费用为
元，且
，而每套售出的价格为
元，其中
，
（1）问：该玩具厂生产多少套“福娃”时，使得每套“福娃”所需成本费用最少？
（2）若生产出的“福娃”能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求
的值．（利润 = 销售收入 — 成本）
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.
在等差数列
中，公差
，且
，
（1）求
的值．
（2）当
时，在数列中是否存在一项
（正整数），使得 
，
，成等比数列，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
（3）若自然数
(为正整数)
满足
< 
<
< 
< 
<， 使得
成等比数列，
（文科考生做）当
时， 用表示 ．
（理科考生做）求的所有可能值．
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
设抛物线
的焦点为
，经过点的直线交抛物线于
、两点，且、两点坐标分别为
，
是抛物线的准线上的一点，
是坐标原点．若直线
、
、
的斜率分别记为：
、
、
，（如图）
（1）若
，求抛物线的方程．
（2）当
时，求
的值．
（3）如果取
，
时，
（文科考生做）判定
和
的值大小关系．并说明理由．
（理科考生做）判定和的值大小关系．并说明理由．
通过你对以上问题的研究，请概括出在怎样的更一般的条件下，使得你研究的结果（即和的值大小关系）不变，并证明你的结论．
 |
参考答案
说明
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中
|
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的
评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变
这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过
后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.
3．第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分
数.
4．给分或扣分均以1分为单位.
一、（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
1.arctan3； 2.. 
； 3. 若
则m>0； 4. 
5. p； 6. 
； 7. (文) 1（理）
； 8.
；
9．
； 10. 
11. y=1 12. ③.
二、（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
13.B 14.A 15.B 16.C
三、（第17至22题）
17．（文）[解一]设z=a+bi（a、bÎR ，
）
……………………2分
由
=
∵
， ∴
，
∴a=1， ……………………8分
又z=
， 即
，∴b=
， ∴z=1
.
…………………12分
[解二] 设z=a+bi（a、bÎR ，）
则 ∵
，
（参考解法一评分标准给分）
（理） [解一]设z=x+yi（x、yÎR ，
）
……………………2分
由 =
∵， ∴
，
∴x=1， ……………………-8分
又z=， 即
， ∴y=，
∴z=1.
∵ z虚部为正数， ∴y=
，
∴z=1
，
∴w=1+2i+ai …………………………10分
∴w=
， aÎ[0，1]
∴wÎ[，
].
……………………12分
[解二] （同文科，参考上评分标准给分）
18．[解]（1）∵
， ∴
， …………………2分
∴sinxcosx －=0， sin2x=1， ……………………4分
∴2x=2kp+
，
∴x=kp+
.……………………-6分
（2）（文）
f（x）=
……………………8分
=sinxcosx+cos2x+
=sin2x+
+
=
sin（2x+
）+1
……………………10分
∴f（x）max=
+1，f（x）max=1-. ……………………12分
（理）
f（x）= ……………………8分
=sinxcosx+cos2x+
=sin2x++
=sin（2x+）+1 …………………9分
－
£2x+£, ……………………10分
∴f（x）max=
， f（x）max=1—.
……………………12分
19． [解] （1）（文）
∴B[－2，0] ……………………6分
（理）A={x
∴ －1<x<1
∴A=（－1，1），定义域关于原点对称 ……………………3分
f（x）= lg
，
则 f（－x）=lg
= lg
=
lg，
∴f（x）是奇函数. ……………………6分
（2）B={x
B=[－1－a，1－a] ……………………8分
当a ³2时， －1－a£－3， 1－a£－1，
由A=（－1，1）， B=[－1－a，1－a]， 有
……………11分
反之，若，可取－a－1=2，则a=－3，a小于2. （注：反例不唯一）
……………………13分
所以，a ³2是的充分非必要条件. …………………14分
20．[解]（1）每套“福娃”所需成本费用为
…………………………3分
…………………………4分
当
， 即x=100时，每套“福娃”所需成本费用最少为25元. ………6分
（2）利润为
………………………………8分
=（
…………………---9分
由题意，
……………………12分
解得 a= 25， b= 30. ……………………14分
21．[解]（1）在等差数列中，公差
，且，
则
……………………3分
（2）在等差数列中，公差，且，
则
…………5分
又 
则 36=3am，
…………8分
（文科）（3）在等差数列中，公差，且，
则
……10分
又因为公比
首项，
…………14分
又因为 
……………………16分
（理科）（3）
成等比数列，
∴
…………14分
又∵成等比数列， ∴
∴
{6，7，8，9，10，…}对一切
成立，
∴
{2，3，4，5，…}（*），设
（
{2，3，4，5，…}），
∴
，（由二项式定理知，
恒成立） ∴
（{2，3，4，5，…}）
（注的证明可用无穷递降法完成，证略. ） ………………16分
22．[解]（1）设过抛物线的焦点
的直线方程为
或
（斜率
不存在）
……………………1分
则 
得 
…………2分
当（斜率不存在）时，则
又
……………………4分
所求抛物线方程为
（2）[解] 设 
由已知直线、、的斜率分别记为：、、，得
且 
…………6分
故
当时
4
………………10分
（文科） [解]（3）和的值相等 …………12分
如果取
，
时， 则由（2）问得 
即
， 又由（2）问得
设
1）若
轴，则
……………………13分
2）若
＞0 则 
同理可得
而
则 
，易知都是锐角
…………………………16分
3）若＜0，类似的也可证明.
综上所述 即和的值相等 …………18分
（理科） [解]（3）和的值相等 …………10分
如果取， 时， 则由（2）问得
即 ， 又由（2）问得
设
1）若轴，则 ………………11分
2）若＞0 则
同理可得
而
即，易知都是锐角
…………………………12分
3）若＜0，类似的也可证明.
综上所述 即和的值相等 …………13分
[解一]（3）概括出的条件：（即 ）或
，等
…………………………14分
即 ， 又由（2）问得
设
1）若轴，则 ………………15分
2）若＞0 则
同理可得
而
，则；易知
都是锐角
…………………………17分
3）若＜0，类似的也可证明.
综上所述 即和的值相等 ……18分
[解二] （略）（其它证法可参考上述评分标准给分）