高考理科数学2月统一考试试题
（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第l卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，测试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．
一、选择题：本大题共12个小题．每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
的共轭复数是
A．
B．
C．
D．
2．若
是互不重合的直线，
是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
A．若
，
，
，则
B．若
，，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
3．若集合
，
，则
等于
A．
B．
C．
D．{1}
4．在等比数列
中，已知
，那么
A．4 B．6 C．12 D．16
5．已知
与
为互相垂直的单位向量，
，
且
与
的夹角为锐角，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
6．函数
与
在同一直角坐标系下的图象大致是
7．在
的展开式中，
的幂的指数是整数的项共有
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
8．如果实数、
满足条件
，那么
的最大值为
A．2 B．1 C．
D．
9．锐角三角形ABC中，若
，则
的范围是
A．
B．
C．
D．
10．把函数
的图像向左平移
（其中
）个单位，所得图像关于y轴对称，则的最小值是
A．
B．
C．
D．
11．若直线
（
，
）被圆
截得的弦长为4，则
的最小值为
A．
B．
C．2 D．4
12．已知
是以2为周期的偶函数，当
时，
，那么在区间
内，关于的方程
（其中
走为不等于l的实数）有四个不同的实根，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或蓝圆珠笔直接写在试卷中．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共4个小题．每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
13．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为2，2，3，则此球的表面积为
．
14．如图，是一程序框图，则输出结果为 ．
15．已知双曲线
的一条渐近线方程为
，则该双曲线的离心率
为
．
16．设
：方程
有两个不相等的正根；
：方程
无实根．则使
为真，
为假的实数的取值范围是
三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
设向量
，
，且
．
（1）求
；
（2）求
．
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．
（1）证明：EF∥面PAD；
（2）证明：面PDC⊥面PAD；
（3）求锐二面角B—PD—C的余弦值．
19．（本小题满分12分）
甲乙两个奥运会主办城市之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为l，1，2，2，2，3，3，现从中任选三条网线，设可通过的信息量为X，当可通过的信息量X≥6，则可保证信息通畅．
（1）求线路信息通畅的概率；
（2）求线路可通过的信息量X的分布列；
（3）求线路可通过的信息量X的数学期望．
20．（本小题满分12分）
已知定义在正实数集上的函数
，其中。设两曲线
有公共点，且在公共点处的切线相同。
（1）若
，求
的值；
（2）用
表示，并求的最大值。
21．（本小题满分12分）
已知椭圆
的左、右两个焦点为
，离心率为，又抛物线
与椭圆
有公共焦点
．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设直线
经过椭圆的左焦点
且与抛物线交于不同两点P、Q且满足
，求实数的取值范围．
22．（本小题满分14分）
在数列中，
．
（1）求数列的通项；
（2）若
对任意
的整数恒成立，求实数的取值范围；
（3）设数列
，
的前
项和为
，求证：
．
数学（理工类）试题参考答案及评分标准
一、
1．B 2．D 3．D 4．A 5．A 6．C 7．C 8．B 9．C 10．C
11．D 12．C
二、
13．
14．
15．
或
16．
三、
17．（1）
3分
∴
4分
∴
6分
（2）
． 12分
18．（1）如图，连接AC，
∵ABCD为矩形且F是BD的中点，
∴AC必经过F 1分
又E是PC的中点，
所以，EF∥AP 2分
∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD 4分
（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD
面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，
又AP
面PAD，∴AP⊥CD 6分
又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD 7分
又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD 8分
（3）由P作PO⊥AD于O，以OA为x轴，以OF为y轴，以OP为z轴，则
A（1，0，0），P（0，0，1） 9分
由（2）知
是面PCD的法向量，B（1，1，0），D（一1，0，0），
，
10分
设面BPD的法向量
，
由
得
取
，则
，
向量和
的夹角的余弦
11分
所以，锐二面角B—PD—C的余弦值
12分
19．（1）
3分
所以线路信息通畅的概率为
5分
（2）
X的分布列为
| X | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|
|
|
|
|
|
|
9分
（3）由分布列知
12分
20．（1）设
与
在公共点
处的切线相同
1分
由题意知
，∴
由
得，
，或
（舍去） 4分
即有
5分
（2）设与在公共点处的切线相同
由题意知 ，∴
由
得，
，或
（舍去） 7分
即有
8分
令
，则
，于是
当
，即
时，
；
当
，即
时，
10分
故
在
的最大值为
，故的最大值为
12分
21．（1）椭圆中
，所以
，椭圆方程为：
抛物线中
，所以
，抛物线方程为：
4分
（2）设直线的方程为：
，和抛物线方程联立得
消去，整理得
因为直线和抛物线有两个交点，所以
解得
且
7分
设
，则
又，所以
又，由此得
，即
9分
由
，解得
又
，所以，
10分
又因为
，所以
，解得
且
12分
22．（1）将
整理得：
1分
所以
，即
3分
时，上式也成立，所以， 5分
（2）若恒成立，即
恒成立 6分
整理得：
令
8分
因为，所以上式
，即
为单调递增数列，所以
最小，
，
所以的取值范围为
10分
（3）由，得
所以，
14分
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