08年高考理科数学模拟考试题卷
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案填在第II卷指定的位置上）
1. 已知集合
则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2. 如果（m
）（1+mi）是实数，则实数m =（ ）
（A）1 （B）-1 （C）
（D）
-
3. 某球与一个120°的二面角的两个面相切于A、B，且A、B间的球面距离为
，则此球体的表面积为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4. 函数
的反函数是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5. 已知P是以F1、F2为焦点的椭圆
上一点，若
=0， 
=2，则椭圆的离心率为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
6. 已知函数y=sinx-cosx,给出以下四个命题,其中正确的命题是（ ）
（A）若x
[
,
],则y[0,
]
（B）在区间[
]上是增函数
（C）直线
是函数图像的一条对称轴
（D）函数的图像可由函数
的图像向左平移
个单位得到．
7. 已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：
= 0，若实数
满足：
，则的值为（ ）
（A）3 （B）
（C）2 （D）8
8. 在等差数列
中，
为的前
项和，若
，则
（ ）
（A）3 （B） 2
（C）
（D） 
9．过抛物线y2 = 2ρx (ρ＞0 )上一定点M ( x0,y0
) ( y0≠0 )，作两条直线分别交抛物线于A ( x1 , y1
) , B ( x2 , y2 )，当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，则
= （ ）
A．–2 B． 2 C．4 D．– 4
10．三位同学在研究函数 f (x) = (x∈R) 时，分别给出下面三个结论：
①
函数
f (x) 的值域为 (－1,1)
②
若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)
③
若规定
f1(x)
= f (x)，fn+1(x) = f [ fn(x)]，则 fn(x) = 对任意 n∈N* 恒成立.
你认为上述三个结论中正确的个数有（ ）
(A) 0个 (B)
1个 (C)
2个 (D)
3个
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题；每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上
11．设常数
展开式中
的系数为
则
= ______
12. 一样本的所有数据分组及频数如下：
则在
的频率为
13．设ｆ(x)= x2+ax+b，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则点(a，b)在aOb平面上的区域面积是
14．将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其它盒子中球的颜色齐全的不同放法共有种.（用数字作答）
15．给出下列四个命题：
①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；
②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；
③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行；
④对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等；
其中正确的命题序号为 （请把所有正确命题的序号都填上）．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.(本小题满分12分)
已知向量 a = (cos x,sin x)，b = (－cos x,cos x)，c = (－1,0)
(I) 若 x = ，求向量 a、c 的夹角；
(II) 当 x∈[,] 时，求函数 f (x) = 2a·b + 1 的最大值。
17．已知数列 {2 n•an} 的前 n 项和 Sn = 9－6n.
(I) 求数列 {an} 的通项公式；
(II) 设 bn = n·(2－log 2 )，求数列 { } 的前 n 项和Tn.
18．（本小题满分12分） 
已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点
在底面上的射影
落在
上．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）当α为何值时，AB1⊥BC1，且使D恰为BC中点？
（Ⅲ）若α = arccos ，且AC=BC=AA1时,求二面角C1—AB—C的大小．
19．(本小题满分12分)
某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张. 每张奖券中奖的概率为 ，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元. 某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券. 设该顾客购买餐桌的实际支出为 x (元).
(I) 求 x 的所有可能取值；
(II) 求 x 的分布列和期望。
20．（本小题共13分）已知
是双曲线
上两点，
为原点，直线
的斜率之积
（Ⅰ）设
，证明当运动时，点
恒在另一双曲线上；
（Ⅱ）设
，是否存在不同时为零的实数
，使得点
在题设双曲线的渐近线上，证明你的结论.
21．（本小题满分14分）
设 f (x) = px－－2 ln x，且 f (e) = qe－－2（e为自然对数的底数）.
(I) 求 p 与 q 的关系；
(II) 若 f (x) 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；
(III)设 g(x) = ，若在 [1,e] 上至少存在一点x0，使得 f (x0) > g(x0) 成立, 求实数 p 的取值范围.
08年高考理科数学模拟考试题卷
参考答案
一、选择题：（本大题共10个小题；每小题5分，共50分。）
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答 案 | D | B | C | A | D | C | A | B | A | D |
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）
11、
； 12、
；
13、1； 14 、720； 15、②④；
三、解答题：（本大题共6小题，共75分。）
16、（本小题满分12分）
解：(I) 当 x = 时，cos <a,c> = ………… 1分
= ………… 2分
= －cos x = －cos = cos ………… 3分
∵ 0≤<a,c>≤p， ………… 4分
∴ <a,c> = ………… 5分
(II) f (x) = 2a·b + 1 = 2 (－cos 2 x + sin x cos x) + 1 ………… 6分
= 2 sin x cos x－(2cos 2 x－1) ………… 7分
= sin 2x－cos 2x ………… 8分
= sin (2x－) ………… 9分
∵ x∈[,]，∴ 2x－∈[,2p]， ………… 10分
故 sin (2x－)∈[－1,] ………… 11分
∴ 当 2x－= ，即 x = 时，f (x)max = 1 ………… 12分
17、（本小题满分12分）
解：(I) n = 1 时，2·a1 = S1 = 3,∴a1 = ; …………2分
当 n≥2 时，2 n·an = Sn－Sn－1 = －6，∴ an = . 又 ≠ …………4分
∴ 通项公式an = …………6分
(II)当 n = 1 时，b1 = 2－log 2 = 3，∴ T1 = = ； …………8分
n≥2时， bn = n·(2－log 2) = n·(n + 1)， ∴ = …………10分
∴ Tn = + + … + = + + + … + = －
∴ Tn = － …………12分
|
18、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵
B1D⊥平面ABC， AC
平面ABC，
∴ B1D⊥AC, 又AC⊥BC, BC∩B1D=D．
∴ AC⊥平面BB1C1C． …………………… 3分
(Ⅱ) ∵ AC⊥平面BB1C1C ，要使AB1⊥BC1 ，由三垂线定理可知，
只须B1C⊥BC1， ………………………… 5 分
∴ 平行四边形BB1C1C为菱形， 此时，BC=BB1．
又∵ B1D⊥BC, 要使D为BC中点，只须B1C= B1B，即△BB1C为正三角形， ∴ ∠B1BC= 60°． ………………………… 7分
∵ B1D⊥平面ABC，且D落在BC上，
∴ ∠B1BC即为侧棱与底面所成的角．
故当α=60°时，AB1⊥BC1，且使D为BC中点…………………… 8分
（Ⅲ）过C1作C1E⊥BC于E，则C1E⊥平面ABC．
过E作EF⊥AB于F，C1F，由三垂线定理，得C1F⊥AB．
∴∠C1FE是所求二面角C1—AB—C的平面角．………………… 10分
设AC=BC=AA1=a，
在Rt△CC1E中，由∠C1BE=α=
，C1E=
a．
在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=
BE=a．
∴∠C1FE=45°，故所求的二面角C1—AB—C为45°．………… 12分
解法二：（1）同解法一 ……………… 3分
（Ⅱ）要使AB1⊥BC1，D是BC的中点，即
=0，=，
∴
， 
=0，∴
．
∴
，故△BB1C为正三角形，∠B1BC=60°；
∵ B1D⊥平面ABC，且D落在BC上， …………………… 7分
∴ ∠B1BC即为侧棱与底面所成的角．
故当α=60°时，AB1⊥BC1，且D为BC中点． …………………8分
（Ⅲ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，经过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，－
，a），
平面ABC的法向量n1=（0，0，1），设平面ABC1的法向量n2=（x，y，z）．
由
n2=0，及
n2=0，得
∴n2=（
，，1）．………………10分
cos<n1, n2>＝= ，
故n1 , n2所成的角为45°，即所求的二面角为45°．……………………12分
19、（本小题满分12分）
解：(I) x 的所有可能取值为3400，2400，1400，400.………………2分
(II) P(x = 3400) = ( ) 3 = ……………………4分
P(x = 2400) = C31( ) ( ) 2 = ………………6分
P(x = 1400) = C32( ) 2 ( ) = ………………8分
P(x = 400) = C33( ) 3 = ……………………10分
x 的分布列为
| x | 3400 | 2400 | 1400 | 400 |
| P |
|
|
|
|
……………………………………10分 
……12分
20、（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设
，由 ，得
由在双曲线上，有
①
②…………………………………………2分
由，即
，得
， ③………………………………………4分
①+2×③+②，并整理，得
这表明点恒在双曲线
上.……………………………6分
（Ⅱ）同（Ⅰ）所设，由
，得
当点在双曲线的渐近线上，有
即
，亦即
…………………10分
将①②③三式代入上式，得
，从而
因此，不存在不同时为零的实数，使得点在题设双曲线的渐近线上.…………………13分
21、（本小题满分14分）
解：(I) 由题意得 f (e) = pe－－2ln e = qe－－2 ………… 1分
Þ (p－q) (e + ) = 0 ………… 2分
而 e + ≠0，∴ p = q ……………………………………………………3分
(II)由(I)知 f (x) = px－－2ln x
f ' (x) = p + －= ……………………4分
令 h(x) = px 2－2x + p，要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+¥) 内满足：h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ……………………5分
① 当 p = 0时， h(x) = －2x，∵ x > 0，∴ h(x) < 0，∴ f ' (x) = － < 0，
∴ f (x) 在 (0,+¥) 内为单调递减，故 p = 0适合题意. ………………………….6分
② 当 p > 0时，h(x) = px 2－2x + p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = ∈(0,+¥)，∴ h(x)min = p－
只需 p－≥0，即 p≥1 时 h(x)≥0，f ' (x)≥0，
∴ f (x) 在 (0,+¥) 内为单调递增，
故 p≥1适合题意. ……………………………………………7分
③当 p < 0时，h(x) = px 2－2x + p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = Ï (0, + ¥).
只需 h(0)≤0，即 p≤0时 h(x)≤0在 (0, + ¥)恒成立.
故 p < 0适合题意. ……………………8分
综上可得， p≥1或 p≤0. ……………………………………………9分
另解：(II) 由 (I) 知 f (x) = px－－2ln x
f’(x) = p + －= p (1 + )－
要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数，只需 f’(x) 在 (0,+¥) 内满足：f’(x)≥0 或 f’(x)≤0 恒成立.
由 f’(x)≥0 Û p (1 + )－≥0 Û p≥ Û p≥()max，x > 0
∵ ≤ = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ()max = 1
∴ p≥1
由 f’(x)≤0 Û p (1 + )－≤0 Û p≤ Û p≤()min，x > 0
而 > 0 且 x → 0 时，→ 0，故 p≤0
综上可得，p≥1或 p≤0
(III) ∵ g(x) = 在 [1,e] 上是减函数
∴ x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e
即 g(x) Î [2,2e] ………… 10分
① p≤0 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 Þ f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合题意。 …… 11分
② 0 < p < 1 时，由x Î [1,e] Þ x－≥0
∴ f (x) = p (x－)－2ln x≤x－－2ln x
右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增
∴ f (x)≤x－－2ln x≤e－－2ln e = e－－2 < 2，不合题意。…… 12分
③ p≥1 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是减函数
∴ 本命题 Û f (x)max > g(x)min = 2，x Î [1,e]
Þ f (x)max = f (e) = p (e－)－2ln e > 2
Þ p > （∵ >1） ………… 13分
综上，p 的取值范围是 (,+¥) ………… 14分