08汕头市高考理科数学模拟试题
数学（理）试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，试卷满分150分，答题时间为120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区
域内.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
3．非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整，笔迹清楚，请按照题号顺序在各个题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
参考公式
如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么
如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么
如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率是
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．
为虚数单位)等于 （ ）
A．–
1
B．1 C．
D．
2．
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．以抛物线
上的任意一点为圆心作圆与直线
相切，这些圆必过一定点，
则这一定点的坐标是 （ ）
A．
B．（2，0） C．（4，0） D． 
4．在
中,“
”是“
”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5． 函数
的反函数是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知四面体
，
平面
，
是棱
的中点，
，则异面
直线
与
所成的角等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．公差不为零的等差数列
中，
，数列
是等比数列，
且
（ ）A．2 B．4 C．8 D．16
8．设函数
的最大值为3，则f(x)的图象的一
条对称轴的方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．用数字0，1，2，3，4组成五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有 （ ）
A．480个 B．240个 C．96个 D．48个
|
满足
，使得
取最小值时，则实数对（
是（ ）
A．5，10） B．（6，6） C．（10，5） D．（7，2）
11．函数
则a的所有可能值为（ ）
A．1 B．
C．1， D．1，
12．已知直线
是椭圆
的右准线，如果在直线上存在一点M，使得线段OM（O为坐标原点）的垂直平分线过右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B． 
C ．
D． 
|
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题卡的横线上）
13．已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是
，切点到二面角棱的距离是1，则球的体积是 .
14．点
到直线
的距离等于4，且在不等式
表示的平面区域内，则点P的坐标是
.
15．已知
的展开式中，
的系数为10，则实数
的值为
16．一个总体中的100个个体的号码分别为0，1，2，…，99，依次将其均分为10个小组.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定：如果在第1组（号码为0～9）中随机抽取的号码为m ，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的个位数为m+k-1或m+k-11（如果m+k≥11）.若第6组中抽取的号码为52， 则m= .
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知向量m
n
, m . n
分别为△ABC的三边a，b，c所对的角.
（Ⅰ）求角C的大小;
（Ⅱ）若sinA, sinC, sinB成等比数列,
且
, 求c的值.
18．（本小题满分12分）
“ 五·一”黄金周某旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条旅游线路.
（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；
（Ⅱ）求恰有2条线路被选择的概率；
（Ⅲ）求选择甲线路的旅游团个数的期望.
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD.BC=2AD，BC//AD，AD⊥DC.
（Ⅰ）证明：AC⊥PB；
（Ⅱ）求二面角C—PB—A的大小.
20．（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列{
}满足
（
），且
是
的等差中项.
（Ⅰ）求数列{}的通项公式；
（Ⅱ）若
=
，求使S
>50成立的正整数n的最小值.
21．（本小题满分14分）
如图,
为双曲线
的右焦点,
为双曲线
在第一象限内的一点,为左准线上一点,
为坐标原点,
（Ⅰ）推导双曲线的离心率
与
的关系式；
（Ⅱ）当
时, 经过点
且斜率为
的
直线交双曲线于
两点, 交
轴于点
, 且
，求双曲线的方程.
22．（本小题满分12分）
已知函数
，
（Ⅰ）求函数
的最小值；
（Ⅱ）若
，求证：
.
参考答案
一、选择题：
1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．C 7．D 8．D 9．B 10．A 11．C 12．B
|
13．
14．（7，3） 15．2 16．7
17．解：（1） ∵ m n, m . n
,
∴sinAcosB+cosAsinB=sin2C 1分
即 sinC=sin2C 3分
∴
cosC= 4分
又C为三角形的内角， ∴ 
6分
（Ⅱ） ∵sinA,sinC,sinB成等比数列，
∴ sin2C=sinAsinB 7分
∴ c2=ab 8分
又,即 
，
9分
∴ abcosC=18 10分
∴ ab=36 故 c2=36
∴ c=6 12分
18．解：（Ⅰ）3个旅游团选择3条不同线路的概率为P1=
…………3分
（Ⅱ）恰有两条线路被选择的概率为P2=
……6分
（Ⅲ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）= 
P（ξ=3）= 
……………………8分
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
|
∴ξ的分布列为：
∴期望Eξ=0×
+1×+2×
+3×
=
……………………………12分
19．方法一
（2）
20．解：（Ⅰ）∵，
∴
,
∵数列{}的各项均为正数，
∴
，
∴
，
即
（），所以数列{}是以2为公比的等比数列.………………3分
∵是的等差中项，
∴
，
∴
，∴
，
∴数列{}的通项公式
.……………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及=
得，
， ……………………………8分
∵
，
∴
1
∴
②
②-1得，
=
……………………………10分
要使S>50成立，只需2n+1-2>50成立，即2n+1>52，n³5
∴使S>50成立的正整数n的最小值为5.
……………………………12分
21．解：(Ⅰ)
为平行四边形.
设是双曲线的右准线,且与
交于
点,
,
,
即
………………6分
（Ⅱ）当时,得
所以可设双曲线的方程是
,…8分
设直线的方程是
与双曲线方程联立得:
由
得
.
①
由已知，
，因为，
所以可得
②…………10分
由①②得
，
消去
得
符合
，
所以双曲线的方程是
………………14分
22．解：（Ⅰ）
=
，………………2分
当
时，
，所以当时，
，
则函数在
上单调递增，
所以函数的最小值为
；………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
时，
，∵
，
∴
，
∴
①……………………7分
∵
，
∴
②…………………………10分
由①②得 …………………………………12分