08年咸阳市高考数学第一次模拟考试

08年咸阳市高考数学第一次模拟考试

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

P(A＋B)=P(A)＋P(B)

如果事件A、B相互独立，那么

P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

正棱锥、圆锥的侧面积公式S锥体侧S_锥体侧=　其中c表示底面周长,　l表示斜高或母线长.

球的体积公式 球_球= 　其中R表示球的半径.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合=｛｝, ,则为　（　　）

A．　　B.　　 C.｛1｝　　D.｛（）｝

2．若函数的定义域是,则其值域为　　　　　　　　　　　 （　　）

A.　　　　B.　　　　C.　　　　 D.

3．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈［0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．外心　　　　 B．垂心　　　　 C．内心　　　　D．重心

4．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为　　　　　 (　　 )

　 A．　　　　　　B．　　　　　　 C．　　　　　D．

5．全国十运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为　　　(　　)

　　A.　　  B.　　　　 C. 　　　D.　

6．对于不重合的两个平面，给定下列条件：

　 ①存在平面，使得都垂直于；

　 ②存在平面，使得都平行于；

　 ③存在直线，直线，使得；

　 ④存在异面直线l、m，使得

　 其中，可以判定α与β平行的条件有　　　　　　　　　　　 （　　）

　　A．1个　　　　　 B．2个　　　　　 C．3个　　　　　 D．4个

7.已知首项为正数的等差数列｛a_n｝满足:a₂₀₀₅+a₂₀₀₆>0,a_2005·a₂₀₀₆<0,则使前项S_n>0成立的最大自然数n是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　　　  A. 4009　　　　B.4010　　　 C. 4011　　　　  D.4012

8. 函数的反函数图像大致是　　　　　　　  （ 　　）

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　A　　　　　　　　　　　　 B　　　　　  C　　　　　　　　　　　　 D

9. 在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁D₁、B₁C₁的中点，则在面BCC₁B₁内到BC的距离是到EF的距离的2倍的点的轨迹是（　 ）

A．一条线段　 B．椭圆的一部分　　 C．抛物线的一部分　D．双曲线的一部分．

10.已知F₁、F₂是双曲线的两焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是　　　　　　　（　　）

　　A．　　　 B．　　　　 C．　　　　D．

11.已知函数在上恒正，则实数的取值范围是　　 （　　 ）

A.　　  B.　　 C. 　　 D.

12. 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C

地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流

的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离　　　　　 

比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上

选一处M建一座码头，向B、C两地转运

货物.经测算，从M到B、M到C修建公

路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，

那么修建这两条公路的总费用最低是（　　）

　　　 A．(2－2)a万元 　　　　　　　　　　　　　　　　B．5a万元　　　　　　　

　　　 C．(2+1) a万元　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(2+3) a万元

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题4个小题，每小题4分，共16分．

13．已知函数f(x)=Acos²(ωx+)+1（A>0，ω>0）的最大值为3，f(x)的图象在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=____________

14. 设点P是曲线y=x³－x+2上的任意一点,P点处切线倾斜角为α,则角α的取值范围是______________

15. 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则＝_____________．

16.若函数满足：对于任意都有，且成立，则称函数具有性质M.　

 给出下列四个函数：①，②③，④.

　 其中具有性质M的函数是　　　　　　 　（注：把满足题意的所有函数的序号都填上）

17．如图,在杨辉三角中,斜线l上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前n项和为S_n,则S₁₉等于­____________.

　　　　　　　  　　　　　　　　

1

1　　　　　　　　 1　　　　　 l

　　　　　　　  1　　　 2　　　 1

　　　　　　 1　　　3　　　　3　　　 1

　　　　　 1　　 4　　　 6　　　　4　　　1

　　　　1　　 5　　　10　　　 10　　　5　　　1

　　…　　 …　　 …　　  …　　　 …　　 …　　…

 18. 已知f（x+y）=f(x)·f(y)对任意的实数x、y都成立,且f(1)=2,则+++…++= ___________________.

三、解答题：本大题6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明．推理过程或计算步骤.

19．（本题满分12分）

已知向量 ()　和=()，∈［π，2π］．

(Ⅰ)求的最大值；(Ⅱ)当=时，求的值．

20．（本小题满分12分）

甲、乙两人在一场五局三胜制的象棋比赛中，规定甲或乙无论谁先赢满三局就获胜，并且比赛就此结束.现已知甲、乙两人每比赛一局甲取胜的概率是，乙取胜的概率为，且每局比赛的胜负是独立的，试求下列问题：

(Ⅰ)比赛以甲3胜1而结束的概率；

(Ⅱ)比赛以乙3胜2而结束的概率；

(Ⅲ)设甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，求a：b的值.

　　

21．（本题满分14分）

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，

AB=，AF=1，M是线段EF的中点。

(Ⅰ)求证：AM∥平面BDE；

(Ⅱ) 求二面角A－DF－B的大小.

（Ⅲ）试问：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°？

22.（本题满分14分）已知=（c,0）(c>0), =(n,n)(n∈R), 的最小值为1,若动点P同时满足下列三个条件:

① = (a>c>0);

② = (其中=(,t),≠0,t∈R);　　　

③动点P的轨迹C经过点B(0,－1) .

(Ⅰ)求c的值;

(Ⅱ)求曲线C的方程;

(Ⅲ)是否存在方向向量为a=(1,k)(k≠0)的直线l,使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且=?若存在,求出k的范围;若不存在,请说明理由.

23．（本题满分14分）

如图，过点P(1,0)作曲线C: 的切线，切点为,设点在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为,设在x轴上的投影是；…；依此下去,得到一系列点,,…,,…,设点的横坐标为.

（Ⅰ）试求数列｛｝的通项公式；（用的代数式表示）

（Ⅱ）求证：

（Ⅲ）求证：（注：）.

08年咸阳市高考数学第一次模拟考试

参考答案及评分标准

一、选择题

1．C 易知A=｛-1，0，1｝，B=｛1，2｝，故A∩B=｛1｝.

2．D 分x<1与2≤x<5讨论.

3．D   =+λ(+)=+2λ(其中D为BC的中点),于是有=2λ,从而点A、D、P共线，即点P的轨迹通过三角形ABC的重心.

4．B 作出不等式表示的平面区域即可.

5．A  先从14人中选出12人,再将12人进行分组,且每组4人.

6．B　由线面位置关系不难知道:①③正确的.

7．B  [解析]由题意知:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始为负数,S₄₀₁₀=2005(a₁+a₄₀₁₀)=2005(a₂₀₀₅+a₂₀₀₆)>0,

　　　　　　　  S₄₀₁₁==4011a₂₀₀₆<0, 故n的最大值为4010.

　　　　　 另解:由题意可得:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始是负数,则所有的正项的和为S_n的最大值,即当n=2005时,取得最大值,显然S_n是关于n的缺常数项的二次函数,且开口向下,所以第2005项离对称轴最近,故其对称轴介于2005到2005.5之间,又因为二次函数的图象与x轴的一个交点是(0,0),则设另一个交点(x,0),x应介于4010到4011之间.所以使S_n>0的最大自然数是4010,故选B.

　　　　　 本小题结论可以推广成一般结论:等差数列中,a₁>0,a_k+a_k+1>0,且a_ka_k+1<0,则使前n项和Sn>0的最大自然数n是2k..

8．B  原函数的图象是由y=图象向下移动一个单位,且在(－∞,0),(0,＋∞)上为减函数,所以其反函数的图象是由y=的图象向左移动一个单位,且在定义域上为减函数.

9．B　 易知面BCC₁B₁内的点到点F的距离是到BC的距离倍的，由椭圆的第二定义即知.

10．D　设 M F双曲线的交点为P，焦点F（－c,0）, F₂(c,0),由平面几何知识知：F₂P⊥FM，又F F₂=2c　于是 PF₂ =2csin60°=c　　PF₁ =c　

　　　  故　2a= PF₂ －PF₁ =c－c　=（ －1）c　e= =+1.

11．C  特值法：令a=2与可知在上恒正，显然选项D不正确.

12．B 依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 x²－＝1，点C的坐标为（3，）.则修建这条公路的总费用ω=a[MB+2MC]=2a[MB+MC],设点M、C在右准线上射影分别为点M 、C ，根据双曲线的定义有M M=MB，所以=2a[M M+MC]≥2aC C=2a×（3-）=5a.当且仅当点M在线段C C上时取等号，故ω的最小值是5a.

二、填空题

13.200　 易知A=2 ,ω= ,=±,y=2－cos(πx+)=2±sinπx,从而

f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=2×100=200.

14.　 [解析]∵y^’=3x²－≥－,　　∴tanα≥－

　　　 又∵ 0≤α≤∏　　　　  ∴0≤α<

15.  由二项式定理知: 的展开式中的系数为 C·,的展开式中的系数为C·,于是有C·= C·,解得 =.

16.①、③ 　 可通过作差比较得到结论.

17. 283　 [解析] 由条件知道:该数列的奇数项分别为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,…,偶数项分别为3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,把奇数项的前10项与偶数项的前9项相加即得S₁₉=283.

 

18. 4012　[解析]∵f(1+0)=f(1)·f(0),2=2f(0),∴f(0)=1

　　　　　  ∵f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=2²,

　　　　　　　  f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=2³,

　　　　　　　  依此类推:f(2005)=2²⁰⁰⁵,f(2006)=2²⁰⁰⁶,

　　　　　　  ∴原式==4012.

三、解答题

19．解：(Ⅰ)　　　　　　　　　　 1分

=

==　　　 3分

∵θ∈［π，2π］，∴，∴≤1

_max=2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  5分

(Ⅱ)　由已知,得　　　　　　　　　　 7分

又　 _∴　　　　　10分　

∵θ∈［π，2π］∴，∴．　　　　 12分

20．解: (Ⅰ) 比赛以甲3胜1而结束,则第四局一定甲胜，前三局中甲胜两局,　　 1分

∴所求概率为:.　　　　　　　　　　　　  3分　　　　

答：比赛以甲3胜1而结束的概率为.　　　　　　　　　　　　　  4分　　　

(Ⅱ) 比赛以乙3胜2而结束，则第五局一定乙胜，前四局中乙胜两局，　　　　 5分

∴所求概率为: 　　　　　　　　　　　7分

答：比赛以乙3胜2而结束的概率为.　　　　　　　　　　　　　 8分

(Ⅲ)甲先胜3局的情况有3种:3胜无败,3胜1败,3胜2败.，则其概率分别为　　9分

，=，，　　　　　　

于是甲获胜的概率　　　　　　　　　　　　　　　　 11分

∴乙获胜的概率　　  ∴.　　　　　　　　　　 12分

21．方法一

解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,　　　　　　 1分

 ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，　　　　　  　　　　 2分

∴AM∥OE.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

∵平面BDE， 平面BDE，　　　　　 

　　　　∴AM∥平面BDE.　　　　　　　　　　　　 4分　

 (Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD，

∴AB⊥平面ADF，　　　　　　　　　　　　　　　 5分

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂线定理得BS⊥DF.

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。　　　　　  7分

在RtΔASB中，

∴　　　　　　　　  8分　

∴二面角A—DF—B的大小为60º.　　　　　　　　 9分

（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，

∴PQ⊥平面ABF，QF平面ABF，　　　　　　

∴PQ⊥QF.　　　　　　　　　　　　　　　　　　  11分　

在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ.

∵ΔPAQ为等腰直角三角形，

∴　　　　　　　　　　　　　  12分

又∵ΔPAF为直角三角形，

∴，

∴　　　　　　　　 

所以t=1或t=3(舍去)

即点P是AC的中点.　　　　　　　　　　　　　 14分

方法二（ 仿上给分）

　 （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。

　　设，连接NE，

　　则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,

　  ∴NE=(,

　　又点A、M的坐标分别是

　（）、（

　∴ AM=（

∴NE=AM且NE与AM不共线，

∴NE∥AM.

又∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDF.

（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF.

∴ 为平面DAF的法向量。

∵NE·DB=（·=0，

∴NE·NF=（·=0得

NE⊥DB，NE⊥NF，

∴NE为平面BDF的法向量。

∴cos<AB,NE>=

∴AB与NE的夹角是60º.

即所求二面角A—DF—B的大小是60º.

（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴DA=（0，，0，），

又∵PF和AD所成的角是60º.

∴

解得或（舍去），

即点P是AC的中点.

22．解:(Ⅰ)法一: == ,

当n= 时,　_min==1,所以c=.　　　　　　　　　　　　 3分

法二:设G(x,y),则G在直线y=x上,所以的最小值为点F到直线y=x的距离,即

=1,得c=.

(Ⅱ)∵=  (≠0),∴PE⊥直线x= ,　　又　 = (a>c>0).

　　　　∴点P在以F为焦点,x= 为准线的椭圆上.　　　　　　  5分

设P(x,y), 则有 = －x, 点B(0－1)代入, 解得a=.

∴曲线C的方程为 +y²=1　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　7分

(Ⅲ)假设存在方向向量为a₀=(1,k)(k≠0)的直线l满足条件,则可设l:y=kx+m(k≠0),

与椭圆+y²=1联立,消去y得(1+3k²)x²+6kmx+3m²－3=0.　　　　　　　 10分

由判别式△>0,可得m²<3k²+1.　　　　　　　　　　　　 ①

设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂), MN的中点P(x₀,y₀),由BM=BN, 则有BP⊥MN.

由韦达定理代入k_BP=－,可得到m= 　　　　　　　 ②

联立①②,可得到　k²－1<0,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

 ∵k≠0,　　　　　  ∴ －1<k<0或0<k1.

即存在k∈(－1,0)∪(0,1),使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且=. 14分

 23．解: (Ⅰ) ,若切点是,则

切线方程为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分

当n=1时,切线过点(1,0),即,得

当n>1时,切线过点,即,解得.

数列是首项为，公比为的等比数列，

故所求通项 .　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　4分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ) 由（1）知

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

(Ⅲ)设,则,

两式相减得，

.　　故.　　　　　　　　　　  14分