专题四 高考数学三角函数复习训练
高考试题中的三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常以简单题形式出现。因此，在复习过程中要特别注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象及其变换、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质，以及化简、求值和最值等重点内容的复习，要求考生熟练记忆和应用三角公式及其恒等变形，同时要注重三角知识的工具性.近年来，三角函数与向量联系问题有所增加，三角知识在几何及实际问题中的应用也是考查重点，应给于充分的重视。
一、知识整合
1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．
2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数
的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．
3．注重三角函数与代数、向量、几何及实际问题中的应用，能利用三角函数相关知识解决综合问题.
二、典型例题分析
例1．扇形
的中心角为
，半径为
，在扇形中作内切圆
及与圆外切，与
相切的圆
，问
为何值时，圆的面积最大？最大值是多少？
解：设圆及与圆的半径分别为
，
则
，得
，
∴
，
∵
，∴
，令
，
，当
，即
时，
圆的半径最大，圆的面积最大，最大面积为
．
例2、（05天津）已知
，求
及
．
【解析】解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
，即
①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
故
②
由①和②式得
，
因此，
，由两角和的正切公式
解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得
，
解得 
，即
由
可得
由于
，且
，故a在第二象限于是，
从而
以下同解法一
【点评】1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含
）进行转换得到．
2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．
例3：设0<θ<
，曲线x2sinθ＋y2cosθ＝1和x2cosθ－y2sinθ＝1有4个不同的交点.
（1）求θ的取值范围；
（2）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围.
解：（1）解方程组
，得
故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为
，（0<θ<）
0<θ<
.
（2）设四个交点的坐标为（xi，yi）（i＝1，2，3，4），
则：xi2＋yi2＝2cosθ∈（
，2）（i＝1，2，3，4）.
故四个交点共圆，并且这个圆的半径r＝cosθ∈（
）.
评注：本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题，这也是曲线与方程的基本方法，同时本题也突出了对三角不等关系的考查.
例4：设关于x的方程sinx＋
cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解α、β.
(Ⅰ)求α的取值范围; (Ⅱ)求tan(α＋β)的值.
解: (Ⅰ)∵sinx＋cosx＝2(
sinx＋
cosx)＝2 sin(x＋
),
∴方程化为sin(x＋)＝－
.
∵方程sinx＋cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解,
∴sin(x＋)≠sin＝ .
又sin(x＋)≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解),
∴－<1 . 且－≠. 即a<2
且a≠－. ∴ a的取值范围是(－2, －)∪(－, 2).
(Ⅱ) ∵α、 β是方程的相异解, ∴sinα＋cosα＋a＝0
①.
sinβ＋cosβ＋a＝0 ②.
①－②得(sinα－ sinβ)＋( cosα－ cosβ)＝0.
∴ 2sin
cos
－2sin
sin＝0, 又sin≠0, ∴tan＝
.
∴tan(α＋β)＝
＝.
【点评】要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2π)这一条件.
例5 已知函数
的最小正周期为
，其图像过点
.
(Ⅰ) 求
和
的值;(Ⅱ) 函数
的图像可由
（x∈R）的图像经过怎样的变换而得到?
解: (Ⅰ) 
函数
的最小正周期为， 
.
. 
.
的图像过点
, 
, 即
.
,
.
(Ⅱ)先把
的图像上所有点向左平移
个单位(纵坐标不变),得到函数
的图像,
再把所得的函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)得到函数
的图像.
【点评】三角函数图像及其变换是当前考查热点，其书写的规范性是考生必须高度重视的.
例6、（2007年湖南卷文16）
已知函数
．求：
(I)函数
的最小正周期；
(II)函数的单调增区间．
解：
．
（I）函数的最小正周期是
；
（II）当
，即
（
）时，函数
是增函数，故函数的单调递增区间是
（）．
【点评】本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的性质以及推理和运算能力．
例7 、已知：
（1）请说明函数
的图象可由函数
的图象经过怎样的变换得到；
（2）设函数图象位于y轴右侧的对称中心从左到右依次为A1、A2、A3、A4、…、
…、
，试求A4的坐标。
解：（1）
∴
所以函数的图象可由函数的图象向左平移
个单位得到
（2）∵函数
图象的对称中心为
，
由
得函数的对称中心为
，
依次取1，2，3，4……可得A1、A2、A3、A4……各点，
∴A4的坐标为
例8、如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC＝a，∠ABC＝
，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．
|
表示S1和S2；
（2）当a固定，变化时，求
取最小值时的角
解（1）∵
∴
设正方形边长为x.
则BQ＝
（2）当
固定，变化时，
令
令
任取
，且
，
．
，
是减函数．
取最小值，此时
三、方法总结与2008年高考预测
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1＝cos2x＋sin2x＝tanx·cotx＝tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x＋2cos2x＝(sin2x＋cos2x)＋cos2x＝1＋cos2x；
配凑角：α＝（α＋β）－β，β＝－等。
（3）升幂与降幂。
（4）化弦（切）法。
（5）引入辅助角。asinθ＋bcosθ＝
sin(θ＋)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan＝
确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
5．高考考点分析
2005－207年各地高考中本部分所占分值在14～20分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：
第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。
第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。
四．强化训练
一、选择题:
1．(2007年全国高考题)函数f (x) ＝ sin x＋cos x 的最小正周期是 （ ）
A． B． C．π D．2π
2．若
的终边所在象限是 （
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数
，则下列判断正确的是（ ）
（A）此函数的最小正周期为
，其图象的一个对称中心是
（B）此函数的最小正周期为
，其图象的一个对称中心是
（C）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
（D）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
4．在△OAB中，O为坐标原点，
，则当△OAB的面积达最大值时，
（ ）
A．
B．
C． D．
5．函数
的部分图像如图所示，则函数表达式为
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
6．设
是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中
.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
| t | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
| y | 12 | 15.1 | 12.1 | 9.1 | 11.9 | 14.9 | 11.9 | 8.9 | 12.1 |
经长期观观察，函数的图象可以近似地看成函数
的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
7．将函数
的图象先向左平移，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）．
A．
B．
C． 
D．
8．已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是( )
(A) 1 (B) －1 (C) 2k＋1 (D) －2k＋1
9.使
（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ）
A．
B．
C．π D．
10. 在△ABC中，sinA＝
，cosB＝
，则cosC等于
（ ）
A．
B．
C． 或 D．
11．当
时，函数
的最小值为 （
）
（A）2 （B）
（C）4 （D）
12．在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，( )
A． B． C． D．
二、填空题:
13.若
－
，∈（0，π），则tan＝
。
14.
，则
范围
。
15.下列命题正确的有_________。
①若－＜
＜
＜，则
范围为（－π，π）；
②若在第一象限，则
在一、三象限；
③若＝
，
，则m∈（3，9）；
④
＝
，
＝
，则在一象限。
16．如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：
，且当P点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论：①A＝10；②
；③
； ④k＝5． 则其中所有正确结论的序号是
．
三、解答题:
17． 化简： 
．
18．已知
，
，
，求
的值．
19．设函数
图像的一条对称轴是直线
。
（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数
的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数在区间
上的图像。
20.一条直角走廊宽1.5米，如图所示．现有一转动灵活的手推车，其平板面的矩形宽为1米，问要想顺利推过直角走廊，平板车的长度不能超过多少米？
21. 在 △ABC 中，已知角 A 为锐角，且
．
（Ⅰ）求 
的最大值；
（Ⅱ）若 
，
，
，求 △ABC 的三个内角和 AC 边的长．
22. 设函数
．
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当
时，的最大值为2，求的值，并求出
的对称轴方程．
23.设函数
的图象过点P（0，1），且 的最大值是2，最小值为－2，其中
.
（1）求表达式；
（2）若射线
图象交点的横坐标，由小到大依次为
求
的值.
（四）、创新试题
例9、已知奇函数f(x)的定义域为实数集,且f(x)在
上是增函数，当
时，是否存在这样的实数m，使
对所有的
均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，说明理由。
解：
为奇函数，
又在
上是增函数，且
是奇函数 
是R上的增函数，
，令
满足条件的
应该使不等式
对任意
均成立。
设
，由条件得
或 
或 
解得，
或
即存在，取值范围是
例10、已知函数
其中
为参数，且
（1）当
时，判断函数是否有极值；
（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间
内都是增函数，求实数的取值范围。
解：（1）当时
则在
内是增函数，故无极值。
（2）
令
得 
由
及（I），只需考虑
的情况。
当
变化时，
的符号及的变化情况如下表：
|
|
| 0 |
|
|
|
|
| ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
|
| 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
因此，函数在
处取得极小值
且
要使
必有
可得
所以
（3）由（2）知，函数在区间
与
内都是增函数。
由题设，函数在内是增函数，则须满足不等式组
或
由（II），参数
时，
要使不等式
关于参数恒成立，必有
综上，解得
或
所以的取值范围是
参考答案：
一．选择题:
１．C. 2．D. ３．B 4．D. 5．A 6．A. 7．D. 8．A 9． A 10．A 11。D 12.D
9. [解析]：要使（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值
只需要最小正周期
1,故
10.
[解析]：∵ cosB＝，∴B是钝角，∴C就是锐角，即cosC>0，故选A
二．填空题:
13．
或
[解析]： ∵－>1，且∈（0，π）∴∈（
，π）
∴ (－
∴2sincos＝
∴＋
∴sin＝ cos＝
或sin＝ cos＝
tan＝或
14．
[解析]： ∵
＝
∴
＝
∴
又
＝
∴＝
∴
故
15．②④
[解析]：∵若－＜＜＜，则范围为（－π，0）∴①错
∵若＝，，则m∈（3，9）
又由
得m＝0或 m＝8
∴m＝8
故③错
16．①②④．
三、解答题:
17．解: 原式
＝
＝
＝1
18．解：由题设知
为第一象限角
由题设知
为第三象限角
19.（Ⅰ）解：
．
因此，函数的最小正周期为
．
（Ⅱ）解法一：因为
在区间
上为增函数，在区间
上为减函数，又
，
，
，
故函数在区间
上的最大值为
，最小值为
．
解法二：作函数在长度为一个周期的区间
上的图象如下：
由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为
．
20．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分.
解：（Ⅰ）
的图像的对称轴，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由题意得 
所以函数
（Ⅲ）由
| x | 0 |
|
|
|
|
|
| y |
| －1 | 0 | 1 | 0 |
|
|
20 . 解：如图，延长AB交直角走廊于A1、B1，设∠CDE1＝，则∠B1A1E1＝，∈(0，)．
∵ CD＝AB＝A1B1－AA1－BB1，
而 A1B1＝1.5(＋)，AA1＝cot，BB1＝tan，
∴ CD＝1.5(＋)―cot―tan
＝．
令sin＋cos＝t，则t∈(1，]．
令 f(t)＝＝ ，
显然，函数f(t)在(1，]上是减函数，所以当t＝，即＝时，
CDmin＝f(t)min＝3－2．
故平板车的长度不能超过3－2米．
19.解：（Ⅰ）
．
∵ 角 A 为锐角，∴ 
，
．
∴ 当 
时， 取得最大值，其最大值为
．
（Ⅱ）由得 
，∴
．
∴ 
，
．又 ∵，∴ 
．∴ 
．
在 △ABC 中，由正弦定理得：
．∴ 
．
21.解：（1）
则的最小正周期
，
且当
时单调递增．
即
为的单调递增区间（写成开区间不扣分）．
（2）当时
，当
，即
时
．
所以
．
为的对称轴．
22. （1）
（2）由题意，知
即
的等差数列
23.已知函数
的图象上以N（1，n）为切点的切线倾斜角为.
（1）求m，n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式
恒成立？若存在，求出最小的正整数k，否则请说明理由.
（3）求出
的取值范围.
22．（1）
从而由
……………………4分
（2）
令
…………………………5分
在[－1，3]中，当
为增函数，
当
为减函数
时取得极大值
当
为增函数时f(3) 为的极大值………………8分
比较
………………9分
……………………10分
（3）
＝
＝
＝
…………………………14分
五、复习的建议
立足课本，抓好基础。注意三角函数作为函数的特征的运用。如在解决周期性、奇偶性、最值等问题时有关数学思想的运用。
1， 加强对三角函数图象的研究。使学生熟练地求解有关图象的特征、图象的对称性、变换、解析式、五点作图等问题。
2， 熟练掌握三角变换的基本公式，弄清公式的推导关系和互相联系，把基本公式记准用熟。在三角变换中经常出现公式的逆用或变形，尤其是二倍角余弦公式、两角和差的正切的变形应用较为广泛。另外，辅助角公式应用也较多，也是考生常出错的地方，应引起注意。
3， 提高学生解决常见综合题的能力，提高运用所学知识分析、提取解题信息的能力。
4， 提高学生的运算和表达的能力，以及确定运算方向和实现转化的能力。
6，三角形中的三角函数问题，要注意正弦定理、余弦定理是实现“边角互换”的关键，而三角变换是解决问题的重要手段。解三角形涉及的变换较多，综合性强，对考生的应变能力和计算能力要求较高，一定要注意控制难度。