08高考数学不等式复习测试

08高考数学不等式复习测试

仲元中学　邹传庆

1（人教A版82页例1）

已知，求证：.

变式1：（1）如果，那么，下列不等式中正确的是（　　）

A.　　　 B.　　　 C.　　 　 D.

解：选A

设计意图：不等式基本性质的熟练应用

变式2：设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是（　　）

A.a+c>b+d　 　　 B.a－c>b－d　　　　C.ac>bd　 　　　　　D.

解：选A

设计意图：不等式基本性质的熟练应用

2（人教A版89页习题3.2A组第3题）

 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.

变式1：解关于x的不等式

解：下面对参数m进行分类讨论：

①当m=时，原不等式为 –(x+1)>0，∴不等式的解为

②当时，原不等式可化为

，∴不等式的解为或

③当时，原不等式可化为

，

  当时，原不等式的解集为；

  当时，原不等式的解集为；

  当时，原不等式无解

综上述，原不等式的解集情况为：

①当时，解为；

②当时，无解；

③当时，解为；

④当m=时，解为；

⑤当时，解为或

设计意图：含参数的不等式的解法.

变式2：设不等式x²－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围？

解：（1）M［1，4］有两种情况：其一是M=，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围。

设f(x)=x² －2ax+a+2，有Δ=(－2a)²－4(a+2)=4(a²－a－2)

当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=［1，4］；

当Δ=0时，a=－1或2；

当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］。

当Δ＞0时，a＜－1或a＞2。

设方程f(x)=0的两根x₁，x₂，且x₁＜x₂，

那么M=［x₁，x₂］，M［1，4］1≤x₁＜x₂≤4，

即，解得2＜a＜，

∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，).

设计意图：一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的综合应用.

3（人教A版103页练习1（1））

 求的最大值，使满足约束条件.

变式1：设动点坐标（x，y）满足

（x－y+1）（x+y－4）≥0，x≥3，则x²+y²的最小值为(　)

A　　　　　　 B　　　　　  C　　　　　　　 D10

解：数形结合可知当x=3，y=1时，x²+y²的最小值为10 选D

设计意图：用线性规划的知识解决简单的非线性规划问题.

4.(人教A版105习题3.3A组第2题)

画出不等式组表示的平面区域.

变式1：点（－2，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是______

解：（－2，t）在2x－3y+6=0的上方，则2×（－2）－3t+6＜0，解得t＞ 答案：t＞

设计意图：熟悉判断不等式所代表的区域的方法.

变式2：求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积

解：｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为

或或或

其平面区域如图

∴面积S=×4×4=8

设计意图：不同形式的可行域的作图.

5.(人教A版113页习题3.4A组第1题)

（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

变式1：函数y =＋的值域为　　　　　　　 

解：y=＋= (＋1)＋－1≥2-1=1 ，所以值域为[1, +∞)

设计意图：均值不等式的灵活应用.

变式2：设x≥0, y≥0,　x²+=1,则的最大值为＿＿

解法一: ∵x≥0, y≥0, x²+=1　

∴==

≤==

当且仅当x=,y=(即x²= )时, 取得最大值

解法二:　令(0≤≤)

  则=cos=

≤=

当=,

即=时,x=,y=时，取得最大值

设计意图：均值不等式的灵活应用.

6．(人教A版115复习参考题A组第2题)

已知集合，，求.

变式1：已知A={xx³＋3x²＋2x＞0}，B={xx²＋ax＋b≤0}且A∩B={x0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值

解：A={x－2＜x＜－1或x＞0}，

设B=［x₁，x₂］，由A∩B=（0，2］知x₂＝2，

且－1≤x₁≤0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x₁≤－1　　　　　②

由①②知x₁＝－1，x₂＝2，

∴a＝－（x₁＋x₂）＝－1，b＝x₁x₂＝－2

设计意图：一元二次不等式与集合的运算综合。

变式2：解关于x的不等式

解：下面对参数m进行分类讨论：

①当m=时，原不等式为x+1>0，∴不等式的解为

②当时，原不等式可化为

，∴不等式的解为或

③当时，原不等式可化为

，

  当时，原不等式的解集为；

  当时，原不等式的解集为；

  当时，原不等式无解

综上述，原不等式的解集情况为：

①当时，解为；

②当时，无解；

③当时，解为；

④当m=时，解为；

⑤当时，解为或

设计意图：含参数的一元二次不等式的解法。

7. (人教A版115复习参考题B组第1题)

求证：

变式1：己知都是正数，且成等比数列，

求证：

证明：

　成等比数列，

都是正数，

　　

设计意图：基本不等式的灵活应用。

变式2：若，求证ab与 不能都大于

证明：假设ab, (1－a) (1－b)都大于

设计意图：基本不等式与累乘、反证法综合应用。

8. (人教A版116复习参考题B组第7题)

要制造一个无盖的盒子，形状为长方体，底宽为2m。现有制盒材料60m²,当盒子的长、高各为多少时，盒子的体积最大？

变式1：今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论

解:不对

设左、右臂长分别是 ,物体放在左、右托盘称得重量分别为真实重量为为G，则由杠杆平衡原理有：

　　 ，　　　　

 ①×②得G²=, ∴G=

由于，故 ,由平均值不等式 > 知说法不对

设计意图：基本不等式的应用。