绝密★启用前
08年高中毕业班数学第一次模拟考试题
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时l20分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。[www.shulihua.net]
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．
如果事件
、
互斥，那么
．
如果事件、相互独立，那么
．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合
则
为
A． 
B．
C．
D．
2．设i为虚数单位，则
展开式中的第三项为
A 
B 
C 30 D 
3．
为互不相等的正数，且
，则下列关系中可能成立的是
A.
B.
C.
D.
4．计算机的价格大约每３年下降
，那么今年花8100元买的一台计算机，９年后的价格大约是
A. 2400元 B. 900元 C. 300元 D. 100元
|
| 1.99 | 3 | 4 | 5.1 | 6.12 |
|
| 1.5 | 4.04 | 7.5 | 12 | 18.01 |
5．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了右边一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
A.
B.
C.
D. 
6．两个正数a、b的等差中项是
，一个等比中项是
，且
则双曲线
的离心率为
A．
B．
C．
D．
7．对
、
，运算“
”、“
”定义为：
=
，
=
，则下列各式其中恒成立的是
⑴
⑵
⑶
⑷
A. ⑴、⑵、⑶、⑷ B. ⑴、⑵、⑶ C. ⑴、⑶ D.⑵、⑷
8．
已知：
，直线
和曲线
有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域
上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为
，若
，则实数m的取值范围为[www.shulihua.net]
A．
B．
C．
D． 
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．
9．由抛物线
和直线
所围成图形的面积为________________．
10．已知点P(2,1)在圆C：
上，点P关于直线
的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为 、半径为 ．
11. 设
,
则
．
12．某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简
称活动）．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如
右图所示．则该文学社学生参加活动的人均次数为 ；从文学
社中任意选两名学生，他们参加活动次数不同的概率是 ．
13. （几何证明选讲选做题） 如图，
是半圆
的直径，点
在半圆上，
于点
，且
，设
，则
＝
．
14. (不等式选讲选做题) 函数y=
的最大值为
．
15．(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为
，则直线的极坐标方程为______________.
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知：向量
，
，函数
（1）若
且
，求
的值；
（2）求函数
的单调增区间以及函数取得最大值时，向量
与
的夹角．
17．（本小题满分13分）[www.shulihua.net]
已知函数
，函数
(1)判断方程
的零点个数；
(2)解关于的不等式
，并用程序框图表示你的求解过程．
18．（本小题满分14分）
已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论;
（3）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．
19．（本小题满分13分）
为迎接2008年奥运会召开，某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该厂所用的主要原料为A、B两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？
20．（本小题满分14分）
设直线
与椭圆
相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.
（1）证明：
；
（2）若
的面积取得最大值时的椭圆方程．
21．（本小题满分14分）
已知二次函数
同时满足：①不等式≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在
，使得不等式
成立，设数列｛
｝的前
项和
．
（1）求函数的表达式；
(2) 设各项均不为0的数列｛
｝中，所有满足
的整数
的个数称为这个数列｛｝的变号数，令
（
）,求数列｛｝的变号数； [www.shulihua.net]
（3）设数列｛
｝满足：
，试探究数列｛｝是否存在最小项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由．
数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一．选择题：CDCD BBCD
解析：1. ∵
∴=,选C.
２．在展开式中，
，故选D.
3．由
可排除A,D,令
可得
可知C可能成立。
4. ９年后的价格大约是
元，选C.
5．由该表提供的信息知，该模拟函数在
应为增函数，故排除D,将
、4…代入选项A、B、C易得B最接近，故答案应选B. [www.shulihua.net]
6. 由已知得
，
，
，选D。
7．由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案C.
8.已知直线过半圆上一点（－２，０），当
时，
直线与ｘ轴重合，这时ｍ＝０，故可排除A,C,若ｍ＝１，如图可求得当
，故选D.
二．填空题：9.
；10. （０，１）、２；11. 
；12.2.2、
；13.
；14. 10; 15. 
.
解析：9. 由定积分的几何意义得，所求面积
.
10.由点P(2,1)在圆上得
，由点P关于直线的对称点也在圆C上知直线过圆心，
即
满足方程，∴
，圆心坐标为（０，１），半径
２。
11. 由
得
…
12. 由统计图知该文学社学生参加活动的人均次数为
从中任意选两名学生，他们参加活动次数不同的概率是
.
13. 
即
，
14. 根据柯西不等式，得
15．由正弦定理得
即
，∴所求直线的极坐标方程为.
三．解答题：
16.解：∵＝
-----------------2分
（1）由得
即
∵
∴
或
∴
或
-------------------------------------------------4分
（2）∵
＝
[www.shulihua.net]
----------------------------------8分
由
得
∴的单调增区间
.---------------------------------10分
由上可得
，当
时，由
得
，
∴
-------------12分
17．解：（1）∵
∴
----------1分
∵
∴当
时，方程有一个零点；
当
时，方程有两个零点；------3分
（2）将不等式化为
-----5
当
------6分
当
----7分
当
---------8分
求解过程的程序框图如右图：
注：完整画出框图给4分，（3）、（4）缺一且其它完整给2分，其它画法请参照给分。
18.（1）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2. ---------------------------------2分
∴
----------------------------4分[www.shulihua.net]
(2) 不论点E在何位置，都有BD⊥AE---------------------------------------5分
证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且
平面
∴BD⊥PC-----------7分
又∵
∴BD⊥平面PAC
∵不论点E在何位置，都有AE
平面PAC
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE ----------------------------------------------9分
(3) 解法1：在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G，连结BG
∵CD=CB,EC=EC, ∴
≌
∴ED=EB, ∵AD=AB ∴△EDA≌△EBA
∴BG⊥EA ∴
为二面角D－EA－B的平面角--------------------------12分
∵BC⊥DE, AD∥BC ∴AD⊥DE
在Rｔ△ADE中
=
=BG
在△DGB中，由余弦定理得
∴=
-----------------------14分
[解法２：以点C为坐标原点，CD所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：
则
,从而
--------------11分
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
由法向量的性质可得：
，
令
，则
，∴
------13分
设二面角D－AE－B的平面角为
，则
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∴
--------------------------------------------------------14分]
19.解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为
套，月利润为
元，由题意得
（
） -----------------------4分
目标函数为
…………5分
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即
可行域，如图： …………7分
目标函数可变形为
，
∴当
通过图中的点A时，
最大，这时Z最大。
解
得点A的坐标为（20,24）， …………10分
将点
代入
得
元
答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20，24套时月利润最大，最大利润为42800元----12分
20．（1）证明：由
得
将
代入
消去得
① ………………………… 3分
由直线l与椭圆相交于两个不同的点得
整理得
，即 ………5分
（2）解：设
由①，得
∵
而点
, ∴
得
代入上式，得
……………8分
于是，△OAB的面积 
--------11分
其中，上式取等号的条件是
即
……………………12分[www.shulihua.net]
由可得
将
及
这两组值分别代入①，均可解出
∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是
………………14分
21．解（１）∵不等式≤0的解集有且只有一个元素
∴
解得
或
----------------------------2分
当时函数
在递增，不满足条件②
当时函数
在（０，２）上递减，满足条件②
综上得，即------------------------------4分
（２）由（１）知
当
时，
当≥２时
＝
＝
∴
-------------------------------------------6分
由题设可得
---------------------------------------7分
∵
，
，∴
，
都满足
∵当≥３时，
即当≥３时，数列｛｝递增，[www.shulihua.net]
∵
，由
，可知
满足
∴数列｛｝的变号数为３。--------------------------------------9分
（３）∵＝
, 由（２）可得：
--------------11分
＝
＝
-------13分
∵当
时数列｛｝递增，∴当时，
最小, 又∵
，
∴数列｛｝存在最小项-----------------------------14分
〔或∵＝,由（２）可得：
--------------11分
＝
对于函数
∵
[www.shulihua.net]
∴函数在
上为增函数，∴当时数列｛｝递增，
∴当时，最小，--------13分
又∵， ∴数列｛｝存在最小项-------------------14分〕