08年高考数学教学质量检测
数 学 试 题（理科） 2008.02.28
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页. 满分150分. 考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的表格内.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
(1).复数
满足方程：
，则=
(A).
(B).
(C).
(D).
(2).已知集合
，R是实数集，则
（ ）
(A).
(B).R
(C).
(D).
|
(3).右图表示一个几何体的三视图及相应数据，则该几何体的体积是 （ ）
(A).
(B).
(C).
(D). 
(4).偶函数
在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且f（0）·f（a）<0，
则方程
在区间[－a,a]内根的个数是
（ ）
(A). 3 (B). 2 (C). 1 (D). 0
(5).给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：
①“若a,b
”类比推出“若a,b
”；
②“若a,b,c,d
”类比推出“若a,b,c,d
则
”；
③“若a,b
” 类比推出“若a,b
”；
其中类比结论正确的个数是 （ ）
(A).0 (B).1 (C).2 (D).3
|
的定义域为（a,b），其导函数
内的图象如图所示，
则函数在区间（a,b）内极小值点的个数是（ ）
(A).1 (B).2 (C).3 (D).4
(7).已知F1，F2分别是双曲线
的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐用三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
(A).
(B).
(C).
(D).
(8).2006年1月开始实施的《个人所得税法》规定：全月总收入不超过1600元的免征个人工资、薪金所得税，超过1600元的部分需征税，设全月总收入金额为x元，前三级税率如下表：
| 级数 | 全月应纳税金额 x－1600元 |
| ||
| 1 | 不超过500元部分 | 5% | ||
| 2 | 超过500元至2000元部分 | 10% | ||
| 3 | 超过2000元至5000元部分 | 15% | ||
| …… | …… | …… |
当全月总收入不超过3600元时，计算个人所得税的一个
算法框图如上所示，则输出①，输出②分别为 （ ）
(A).0.05x,0.1x (B).0.05x, 0.1x－185
(C).0.05x－80, 0.1x (D).0.05x－80, 0.1x－185
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
(9).若
为等差数列
中的第8项，则二项式
展开式中常数项是第 项.
(10).定义在R上的奇函数满足：对于任意
，若
，
__________.
(11).定义
是向量a和b的“向量积”，它的长度
为向量a和b的夹角，若
=
.
(12).有以下四个命题：
①两直线m,n与平面
所成的角相等的充要条件是m//n；
②若
；
③不等式
上恒成立；
④设有四个函数
，其中在R上是增函数的函数有3个.
其中真命题的序号是 .（漏填、多填或错填均不得分）
(13).(坐标系与参数方程选做题）已知极坐标系的极点
与直角坐标系的原点重合,极轴与
轴的正半轴重合，线
与线
（参数
）交于
、
两点.
写出
的外接圆的标准方程
.
(14).(不等式选讲选做题）
已知方程
的两根分别为1和2，则不等式
的解集为 （用区间表示）.
(15).(几何证明选讲选做题）从⊙外一点
向圆引两条切线
、
（、为切点）和割线
与⊙交于
、
两点
从点作弦
平行于
，连结
交于
,连结
,若
，
，则
.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
(16).(本小题满分12分）
如图，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为
、
、c,
且8=7，
，AB边上的高CM长为
.
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)求△ABC的面积
(17).(本小题满分12分）
设数列
的前项和为
，且
；数列
为等差数列，且
，
.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)若
，
为数列
的前项和. 求证：
.
(18).(本小题满分14分）
有10张形状、大小相同的卡片，其中2张上写着数字
，另外5张上写着数字1，余下3张上写着数字2。从中随机地取出1张，记下它的数字后放回原处。当这种手续重复进行2次时，
为所记下的两个数之和。
(Ⅰ)求=2时的概率；
(Ⅱ)求的数学期望；
(19).(本小题满分14分）
如图，平面
⊥平面
，为正方形，
，
且
分别是线段
的中点。
(Ⅰ)求证：//平面
；
(Ⅱ)求异面直线
与
所成的角；
(Ⅲ)在线段
上是否存在一点
，使得点
到平面
的距离为
;
若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由。
(20).(本小题满分14分）
已知椭圆
的离心率为
，直线
:
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设椭圆的左焦点为
，右焦点
，直线
过点且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于点，线段
垂直平分线交于点
，求点的轨迹
的方程；
(Ⅲ)设 (Ⅱ) 中的与轴交于点
，不同的两点
在上，且满足
求
的取值范围.
(21).(本小题满分14分）
已知
、b为函数的极值点
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)判断函数
上的单调性，并证明你的结论；
(Ⅲ)若曲线
处的切线斜率为－4，且方程
有两个不等的实根，求实数
的取值范围.
参考答案
一．选择题：每小题5分，满分40分．
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答 案 | C | D | A | B | C | A | B | D |
二．填空题：每小题5分，满分30分．（其中13~15题只能选做二题）
(9) [9] (10) [0] (11) [
] (12) ②③
(13)
(14) [
] (15) [6]
三．解答题：本大题共6小题,满分80分.
(16).【解】(Ⅰ) ∵
，故设=7k，b=8k（k>0），由余弦定理可
=（72+82 -2×7×8cos1200）k2=169k2，∴c=13k，因此
……………………（6分）
(Ⅱ)∵
∴
∴
……………………………………………………（12分）
(17).【解】(Ⅰ)由
，令
，则
，又
，所以
.
，则
.…………………………………2分
当
时，由，可得
.
即
. ………3分
所以是以为首项，
为公比的等比数列，于是
.……………4分
(Ⅱ)数列为等差数列，公差
,可得
.…………6分
从而
. ………………………7分
∴
∴
. ……………10分
从而
. ………………………12分
(17).【解】(Ⅰ) 卡片的出法有(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)共9种
而=2时，出现三种(0,2),(2,0),(1,1)
故
………………………（7分）
(Ⅱ)同(Ⅰ)处理方法可求 
，
，
，
因此，的数学期望
……（14分）
(18).【解】法一：(Ⅰ)证明：取AB中点H，连结GH，HE，
∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，
∴GH//AD//EF，
∴E，F，G，H四点共面。………………1分
又H为AB中点，
∴EH//PB。…………2分
又
面EFG，
平面EFG，
∴PB//面EFG。…………3分
(Ⅱ)取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM//BD，
∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角。… 4分
在Rt△MAE中，
，
同理
，又
，
∴在Rt△MGE中，
……………………7分
故异面直线EG与BD所成的角为
。……………………………………8分
(Ⅲ)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件。过点Q作QR⊥AB于R，连结RE，则QR//AD。
∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，
∴AD⊥AB，AD⊥PA，
又
，
∴AD⊥平面PAB。
又∵E，F分别是PA，PD中点，
∴EF//AD，∴EF⊥平面PAB
又
面EFQ，
∴面EFQ⊥平面PAB。
过A作AT⊥ER于T，则AT⊥面EFQ，
∴AT就是点A到平面EFQ的距离。……………………12分
设
，则
，
，AE=1，
在Rt△EAR中，
解得
。
故存在点Q，当
时，点A到平面EFQ的距离为 ……14分
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则
，
，
，
，
，
，
，
。
(Ⅰ)∵
，
，
，……………………1分
设
，即
解得
。
∴
，又∵
与
不共线，∴
、与共面。……2分
∵平面EFG，∴PB//平面EFG。………………3分
(Ⅱ)∵
，
，……………………4分
∴
。
故异面直线EG与BD所成的角为。………………………8分
(Ⅲ)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件。令
，则
，
∴点Q的坐标为
，∴
。
而
，设平面EFQ的法向量为
，则
∴
。
令
，则
。…………………………10分
又
，∴点A到平面EFQ的距离
…………13分
即
，∴
或
不合题意，舍去。
故存在点Q，当时，点A到平面EFQ的距离为………………14分
(19).【解】(Ⅰ) ∵
……1分
∵直线
相切，
∴
…………2分
∴
…………3分
∵椭圆C1的方程是 
………………4分
（Ⅱ）∵MP=MF2，
∴动点M到定直线
的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 ………………6分
∴点M的轨迹C2的方程为 
…………7分
（Ⅲ）Q（0，0），设
…………8分
∴
…………9分
∵
∴
∵
，化简得
∴
………………11分
∴
当且仅当 
时等号成立 …………13分
∵
∴当
的取值范围是
……14分
(20).【解】(Ⅰ) 依题设方程
的两根分别为
………2分,由题意可知：
即
………3分
则
即……………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)：
(Ⅲ)由
，
的变化情况如下：
| (－∞,－3) | －3 |
|
| －1 | （－1，0） | 0 | |
|
| — | 0 | + | + | 0 | — | |
|
|
| 极小值 |
|
| 极大值 －1 |
|
|
|
………………13分
………………14分