08届高考数学二摸模拟试卷
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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。把答案填在横线上。
1、已知集合
，
。若
，则实数
的取值范围是____________。
2、已知
，若
，则
。
3、已知直线
，直线
与
关于直线
对称，则直线的斜率为 。
4、方程
有实根的概率为
。
5、三角形ABC中AP为BC边上的中线，
，
，则
＝ 。
6、已知函数
，若方程
有三个不同的根，且从小到大
依次成等比数列，则的值为 。
7、对任意实数
，定义运算
，其中
是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知
，并且有一个非零常数
，使得对任意实数
，都有
，则的值是 。
8、一个几何体的三视图及其尺寸如下左图（单位：㎝），则该几何体的表面积是 ，
|
体积是
。
9、如上右图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列
：1，3，3，4，6，5，10，…，则a21的值为
。
10、对于在区间
上有意义的两个函数
和
，如果对任意
，均有
, 那么我们称和在
上是接近的。若
与
在闭区间
上是接近的，则
的取值范围是
。
11、已知复数
（
为虚数单位），且复数
在复平面上对应的点在第一象限，则实数的取值范围为
。
12、已知数列
满足
，
，
则
。
13、如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝
，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC与地面所成角为
，矩形周边上最高点离地面的距离为
，则＝ 。
14、符号
表示不超过
的最大整数，如
。定义函数
，给出如下四个命题：①函数
的定义域为
，值域为
； ②方程
有无数解；
③函数是周期函数；
④函数是上的增函数。
其中正确命题的序号是 。
二、解答题：本大题共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分14分）
已知a、b、c是△ABC三边长，关于x的方程
的两根之差的平方等于4，△ABC的面积
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求a、b的值.
16、（本小题满分14分）已知
是
的三个内角，
。
（1）若是正三角形，求
的值；
（2）若任意交换中两个角的位置，的值是否变化？证明你的结论；
（3）若中有一内角为
，求的最小值。
17、（本小题满分14分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足
（Ⅰ）判断
是否为等差数列？并证明你的结论；
（Ⅱ）求Sn和an
| |
18、（本小题满分16分）
设
是函数
的两个极值点，且
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）求证：
.
19、（本小题满分16分）
甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f（x）、g（x），当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f（x）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险。
（Ⅰ）试解释
的实际意义；
（Ⅱ）设
，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？
20、（本小题满分16分）
椭圆G：
的两个焦点F1（－c，0）、F2（c，0），M是椭圆上的一点，且满足
（Ⅰ）求离心率e的取值范围；
（Ⅱ）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为
（1）求此时椭圆G的方程；
（2）设斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、
B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点
的直线对称？若能，求出k
的取值范围；若不能，请说明理由.
参考答案
1、
2、
或
3、
4、
5、
6、
7、
8、24
，12 9、66 10、
11、
12、
13、
14、②③
15、解：（Ⅰ）设
的两根
则
……………………………………………………………………2分
………………………………………………………………4分
又
……………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由
①………………………………………………………………8分
由余弦定理：
即：
②……………………………………………………12分
由①②得：a=8，b=5 ……………………………………………………14分
16、（1）
。……………………………………………………………………（3分）
（2）∵
， （7分）
∴若任意交换
中两个角的位置，
的值不会改变。……………………………（8分）
（3）不妨设
，
则
，…（12分）
当且仅当
时，
。……………………………………………（14分）
17、解证：（Ⅰ）
………………………………1分
当n≥2时，
………………2分
故是以2为首项，以2为公差的等差数列.…………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
…………………5分
当n≥2时，
…………………………6分
当n=1时，
………………8分
（Ⅲ）1°当n=1时，
成立…………………………9分
2°假设n=k时，不等式成立，即
成立
则当n=k+1时，
即当n=k+1时，不等式成立
由1°，2°可知对任意n∈N*不等式成立.
（Ⅲ）另证：
…………14分
18、解证：（I）易得
…………………………………………1分
的两个极值点
的两个实根，又a＞0
……………………………………………………5分
∴
∵
……………………………………………………9分
（Ⅱ）设
则
由
上单调递增………………12分
………………………………………………16分
19、解：（I）f（0）=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g（0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费。…………………………4分
（Ⅱ）设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，依题意，当且仅当
成立，双方均无失败的风险……………………8分
由（1）（2）得
……………………14分
答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元。
……………………………………………………………………………………16元
20解：（I）设M（x0，y0）
①
又
②……………………2分
由②得
代入①式整理得 
又
解得
……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）（i）当
设H（x，y）为椭圆上一点，则
若0
由
（舍去）…………………………6分
若b≥3，当y=－3时，HN2有最大值2b2+18
由2b2+18=50得b2=16
∴所求椭圆方程为
……………………………………8分
（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则由
③
又直线PQ⊥直线l ∴直线PQ方程为
将点Q（x0，y0）代入上式得，
④………………11分
由③④得Q
…………………………………………12分
（解1）而Q点必在椭圆内部 
由此得
故当
时A、B两点关于点P、Q的直线对称.…………16分
（解2）∴AB所在直线方程为
由
得
显然1+2k2≠0
而
直线l与椭圆有两不同的交点A、B ∴△＞0
解得
故当时，A、B两点关于点P、Q的直线对称。
…………………………………………………………………………16分
（ii）另解；设直线l的方程为y=kx+b
由
得
设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则
③……………………9分
又直线PQ⊥直线l ∴直线PQ方程为
将点Q（x0，y0）代入上式得， ④………………10分
将③代入④
⑤…………………………………………11分
∵x1，x2是（*）的两根
⑥……12分
⑤代入⑥得
∴当时，A、B两点关于点P、Q的直线对称。……16分