08届高考数学典型问题与易错问题

08届高考数学典型问题与易错问题

　　　　　　　　　　　　　

典型问题

1．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，，则△ABC的形状为（　B　）

　　　 A．正三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．直角三角形　　　　

　　　 C．等腰直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　 D．等腰三角形或直角三角形

2.“”是“”的　　 条件。（答：充分非必要条件）

3．已知平面上三点A、B、C满足的值等于　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　（　 C ）

　　　 A．25　　　　　　　　　　　B．24　　　　　　　　　　　 C．－25　　　　　　　　　 D．－24

4.函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则＝________（答：）

5、已知两圆方程分别为：，，则两圆的公切线方程为（A）

A、　　B、　　C、　　  D、

6、已知动点满足，为坐标原点，则的取值范围是_______

16、对正整数，设抛物线，过任作直线交抛物线于，两点，则数列的前项和为__—n(n+1)________

7．正实数x₁，x₂及函数，f (x)满足，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ B　 ）

　　　 A．4　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　　　D．

8．已知函数，则“b > 2a”是“f (－2) < 0”的（ A　 ）

　　　 A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

　　　 C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

9．椭圆与直线交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为的值为　　　　　　　　　　　　　　　　（　 A ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　 D．

10.已知：是直线，是平面，给出下列四个命题：（1）若垂直于内的两条直线，则；（2）若，则平行于内的所有直线；（3）若且则；（4）若且则；（5）若且则。其中正确命题的个数是　　　　　  　　　（ B　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(A) 0　 　　　　 (B) 1　　　 　　 (C) 2　　　 　　 (D) 3

11．如图所示，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的侧面AB₁内

有一动点P到平面A₁C₁的距离是直线BC的距离的2

倍，点M是棱BB₁的中点，则动点P所在曲线的大致

形状为　　　　　　　　　　　　　　　　 （　C　）

12．一次研究性课堂上，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：

　　甲：函数f (x)的值域为（－1，1）；

　　乙：若x₁≠x₂，则一定有f (x₁)≠f (x₂)；

　　丙：若规定对任意恒成立.

　　你认为上述三个命题中正确的个数有（ D　 ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 A．0个　　　　　　　　　　B．1个　　　　　　　　　　C．2个　　　　　　　　　　D．3个

13.已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是____(答：))；

14. 在△ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，若=m，=n，则

= mn. 拓展到空间：在三棱锥S-ABC中，D、E、F分别是侧棱SA、SB、SC上的点，若= m，=n，= p，则= 　　　　 .

15．已知双曲线的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，

　　△OAF的面积为(O为坐标原点)，则双曲线的两条渐近线的夹角为 60°　　

16．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x)的图象恰好通过k个格点，则称函数f (x)为k阶格点函数.下列函数：①；②；③；④其中是一阶格点函数的有　　 ①②④　　 .（填上所有满足题意的序号）

17．已知△ABC，若对任意t∈R，≥，则C

A．∠A=90⁰ 　　B．∠B＝90⁰　　 C．∠C＝90⁰　　 D．∠A＝∠B＝∠C＝60⁰

18．等差数列的前项和为，公差. 若存在正整数，使得，则当（）时，有（填“>”、“<”、“=”）．  

(6)设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁₂＞0，S₁₃＜0，则 ，，…， 中最大的是  B

　　(A) 　　　　　  (B) 　　　　　  (C) 　　　　　  (D)

19．定义在N*上的函数满足：f(0) = 2，f(1) = 3，

且．

（Ⅰ）求f(n)（nÎN*）；

（Ⅱ）求．

（Ⅰ）由题意：，所以有：，又，所以，即，故．

（Ⅱ）．

20．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=－13，

　 （Ⅰ）设的通项公式；

　 （Ⅱ）求n为何值时，最小（不需要求的最小值）

解：（I）　

即数列{b_n}的通项公式为

（Ⅱ）若a_n最小，则

注意n是正整数，解得8≤n≤9

∴当n=8或n=9时，a_n的值相等并最小

21．已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c关于点(1,1)成中心对称，且f '(1)=0．

　 （Ⅰ)求函数f(x)的表达式；

　 （Ⅱ)设数列{a_n}满足条件：a₁∈(1,2)，a_n+1=f (a_n)

　　求证：(a₁－ a₂)·(a₃－1)+(a₂－ a₃)·(a₄－1)+…+(a_n－ a_n+1)·(a_n+2－1)＜1

解：(Ⅰ)由f(x)=x³+ax²+bx+c关于点(1,1)成中心对称，所以

　　　　x³+ax²+bx+c+(2－x)³+a(2－x)²+b(2－x)+c=2　　　　　　

对一切实数x恒成立．得：a=－3，b+c=3，

对由f '(1)=0，得b=3，c=0，

故所求的表达式为：f(x)= x³－3x²+3x．　　　　　　　　　　

(Ⅱ) a_n+1=f (a_n)= a_n ³－3 a_n ²+3 a_n　　(1)

令b_n=a_n－1，0<b_n<1，由代入(1)得：b_n+1=，b_n=，

∴ 1＞b_n ＞b_n+1 ＞0

　　(a₁－a₂)·(a₃－1)+(a₂－a₃)·(a₄－1)+…+(a_n－a_n+1)·(a_n+2－1)=

＜=b₁-b_n+1＜b₁＜1。　　　　　　　　 

22．设函数．

（Ⅰ）如果,点P曲线上一个动点,求以P为切点的切线其斜率取最小值时的切线方程；

（Ⅱ）若时,恒成立,求的取值范围．

．解(Ⅰ)设切线斜率为则当时最小值为．

所以切线方程为即　　　　

(Ⅱ)由>0 <0得．

函数在为增函数,在减函数

(1),无解；　　 (2) 无解；

(3)，解得．综上所述 ．

23.已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A、M、N满足（），，，．

（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程；

（Ⅱ）点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，若，求实数的范围．

解：（Ⅰ）∵，，

∴ MN垂直平分AF．

又，∴ 点M在AE上，

∴ ，，

∴ ，　　

∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距，

∴ ．

∴ 点M的轨迹W的方程为（）．

（Ⅱ）设

∵ ，，

∴ 　　 ∴ 　

由点P、Q均在椭圆W上，

∴ 　　　　　 

消去并整理，得，

由及，解得．　　

24．已知函数的定义域为，导数满足0＜＜2  且，常数为方程的实数根，常数为方程的实数根．

（Ⅰ）若对任意，存在，使等式成立．试问：方程有几个实数根；

（Ⅱ）求证：当时，总有成立；

（Ⅲ）对任意，若满足，求证：。

21、（I）假设方程有异于的实根m，即．则有

成立 ．

因为，所以必有，但这与≠1矛盾，

因此方程不存在异于c₁的实数根．

∴方程只有一个实数根．

（II）令，

∴函数为减函数．

又，

∴当时，，即成立．

（III）不妨设，为增函数，

即．又，∴函数为减函数

即．

，

即．

，

．

25、平面直角坐标系中，已知、、，满足向量

与向量共线，且点都在斜率为6的同一条直线上．

（1）试用与n来表示；

（2）设，且12＜a≤15，求数列中的最小值的项．

解：（1）点都在斜率为6的同一条直线上，

，即，

于是数列是等差数列，故．

 ，，又与共线，

　　

　　　　　

　　　　 　　　．　

当n＝1时，上式也成立．

所以a_n．　

（2）把代入上式，

得

　 12＜a≤15，，

　 当n=4时，取最小值， 最小值为a₄=18－2a．　

26．已知二次函数为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切.

　 （1）求f（x）的解析式

　 （2）若函数上是单调减函数，求k的取值范围.

（1）∵f（x+1）为偶函数，

∴

恒成立，

即（2a+b）x=0恒成立，

∴2a+b=0

∴b=－2a

∴

∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，

∴二次方程有两相等实数根，

∴

（2）∵

故k的取值范围为

27．已知AB是抛物线的任一弦，F为抛物线的焦点，l为准线.m是过点A且以向量为方向向量的直线.

　 （1）若过点A的抛物线的切线与y轴相交于点C，求证：AF=CF；

　 （2）若异于原点），直线OB与m相交于点P，求点P的轨迹方程；

　 （3）若AB过焦点F，分别过A，B的抛物线两切线相交于点T，求证：且T在直线l上.

解：（1）设A（，因为导数，

　　　 则直线AC的方程：

　　　 由抛物线定义知，AF=+，又CF=－（－）=+，故AF=CF.

　 （2）设

　　　 由

　　　 得.　　　　　  ①

　　　 直线OB方程：　　②

　　　 直线m的方程:，　　 ③

　　　 由①②③得y=－p，故点P的轨迹方程为y=－p（x≠0）.

　 （3）设则

　　　 因为AB是焦点弦，设AB的方程为：

　　　 得

　　　 由（1）知直线AT方程：

　　　 同理直线BT方程：

　　　 所以直线AB方程：，

　　　 又因为AB过焦点，，故T在准线上.

28．

　  如图，已知直线l与半径为1的⊙D相切于点C，动点P到直线l的距离为d，若

　 （Ⅰ）求点P的轨迹方程；

　 （Ⅱ）若轨迹上的点P与同一平面上的点G、M分别满足

，

求以P、G、D为项点的三角形的面积.

解：（Ⅰ）

　　∴点P的轨迹是D为焦点，l为相应准线的椭圆.

　　由

　　以CD所在直线为x轴，以CD与⊙D的另一个交点O为坐标原点建立直角坐标系.

　　∴所求点P的轨迹方程为

　　（Ⅱ）G为椭圆的左焦点.

　　又

　　由题意，（否则P、G、M、D四点共线与已经矛盾）

　　

　　又∵点P在椭圆上，

　　又

　　 

29．设无穷数列{a_n}具有以下性质：①a₁=1；②当

　 （Ⅰ）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式 对于任意的都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）；

　 （Ⅱ）若，其中，且记数列{b_n}的前n项和B_n，证明：

解：（Ⅰ）令，

　　则无穷数列{a_n}可由a₁ = 1，给出.

　　显然，该数列满足，且

　　 

　 （Ⅱ）

　　　　 

　　　 又

　　　　　 

　　　　　 

　　　　

　　　　

30、已知函数为偶函数，且其

图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为。

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若  的值。

31．设分别为的重心和外心，，且。

（I）求点的轨迹的方程；

（II）若是过点且垂直于轴的直线，是否存在直线，使得与曲线交于两个不同的点，且恰被平分？若存在，求出的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由。

13．解：（I）设，则，因为 ，可得；又由，

　　　 可得点的轨迹的方程为。

　　　 （II）假设存在直线，代入并整理得

，

　　　 设，则　 　　　又

　　　

，解得或

　　　 特别地，若，代入得，，此方程无解，即。

　　　 综上，的斜率的取值范围是或。

18．已知△ABC中，三个内角是A、B、C的对边分别是a、b、c，其中c=10，且

　　　 （I）求证：△ABC是直角三角形；

　　　 （II）设圆O过A、B、C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°,.求四边形ABCP的面积.

18．解：（Ⅰ）证明：根据正弦定理得，

整理为，sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B.

∴2A=2B或2A+2B=　 ∴.

　∴舍去A=B.　 ∴即.

故△ABC是直角三角形.

（Ⅱ）解：由（1）可得：a=6，b=8.

在Rt△ACB中，

∴

　　　　=

　　　　=

连结PB，在Rt△APB中，AP=AB·cos∠PAB=5.

∴四边形ABCP的面积

=24+=18+.

32.已知三次函数在和时取极值，且．

(1) 求函数的表达式；

(2) 求函数的单调区间和极值；

(3) 若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件．

解：(1) ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由题意得，是的两个根，

解得，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

再由可得．

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2) ，

当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，．　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴函数在区间上是增函数；
在区间上是减函数；在区间上是增函数．
函数的极大值是，极小值是．　　　　　　　　　　　　　　　

(3) 函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到的，

所以，函数在区间上的值域为（）．

而，∴，即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

于是，函数在区间上的值域为．

令得或．

由的单调性知，，即．

综上所述，、应满足的条件是：，且．　　　　　　　　　　　

易错问题

1.定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为____ (答：)；

2.函数的图象与轴的交点个数有____个(答：2)

3.如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是__ (答：)．

4.(1)设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.（答：）。

(2)设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.（答：）。

5.已知函数过点作曲线的切线，求此切线的方程（答：或）。

6.已知函数在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b＋c有最__值__答：大，）

7.函数处有极小值10，则a+b的值为____（答：－7）

8.已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：或且）；

9.若点是的外心，且，则的内角为____（答：）；

　　 　　　　　　　　 

10.设集合，，，则_____（答：）　

11.，如果，求的取值。（答：a≤0）

已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。　（答：）

12．已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足,，则动点P的轨迹一定通过△ABC的　　　　　　　　　　　　　　　 （D）

A．内心　　　　　　　　　 B．垂心　　　　　　　　　 C．外心　　　　　　　　　 D．重心

13．如图，从双曲线的左焦

　  点F引圆的切线，切点为T，延长FT交

双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标

原点，则MO－MT与b－a的大小关系为　 （B　 ）

　　A．MO－MT > b－a

　　B．MO－MT = b－a

　　C．MO－MT < b－a

　　D．不确定

14．如图，所在的平面和四边形所在的平面垂直，且， ， ，，，则点在平面内的轨迹是　（A 　）

A．圆的一部分　　　　　　　 

B．椭圆的一部分　

　 C．双曲线的一部分　　　　　　　

D．抛物线的一部分

15若函数的导函数为，则函数的单调递减区间是（C　 ）

（A）　 （B）　 （C）　 （D）

16．定义在R上的函数，它同时满足具有下述性质：

　　①对任何

　　　 ②对任何则 0　　　　　.

17．设数列{a_n}是等比数列，，则a₄与a₁₀的等比中项为　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　 D．

18.已知数列的前项和为非零常数），则数列为（　 ）

（A）等差数列　　　　　　　　　　　　　　　  （B）等比数列

（C）既不是等差数列，又不是等比数列　 　（D）既是等差数列又是等比数列

19．已知全集U=R，集合，则　　 　　

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．{（1，－2）}　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．（　　）

20. 已知椭圆的左右焦点分别为F₁与F₂，点P在直线l：上，

当取最大值时，点P的坐标为　　　（-10，-4）或（-2，4）　　  　　　　　。

21．椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，若P，F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，则P到X轴距离为　　1或　　　.

22．过轴上一点，向圆作切线，切点分别为，则面积的最大值为　 　　　 。

已知向量是两个不共线的非零向量, 向量满足.则向量用向量一定可以表示为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 （C）

A.  且.　 　　　B.   

C.   　D.  , 或  

（5）若数列中，，且对任意的正整数、都有，则

（A）　　（B）　　（C）　 （D）　　　　　　　　 (　 C)

16.已知x∈N^*，f(x)= ，其值域设为D，给出下列数值：-26，-1，9，14，27，65，则其中属于集合D的元素 ___14,65　　 _　　　　 _.(写出所有可能的数值)

23、如图，垂直正方形所在的平面，，动点在线段上，则二面角的取值范围是

A、　　　 B、　
C、　　　　　　　　　D、

24．在△OAB（O为原点）中，，若，则S_△AOB的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　D．

25．若y＝3^x(x∈[a，b])的值域为[1，9]，则a²＋b²－2a的取值范围是（　　）

A．[2，4]　　 B．[4，16]　　C．[2，2]　　D．[4，12]

26.在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,

则等于（　C ）

(A)　　　 (B) 　　　 (C) 　　　(D)　

27、点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，－3）（即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（　D　）

（A）（－2，4）　（B）（－30，25）　　　（C）（5，－10） （D）（10，－5）

28、已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC

的距离乘积的最大值是　　 3　　　　。

29、若函数内为增函数，则实数a的取值范围（A　 ）

A．　　　　B．　　  C．　　　　D．

30、如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不包括边界）. 若，且点落在第Ⅲ部分，则实数满足(　B  )

　　(A) .　　　　　　　　 (B) .

　　(C) .　　　　　　　　 (D) .

31．已知双曲线的焦点分别为F₁、F₂，点P在双曲线上且PF₁ =4PF₂，则双曲线离心率的最大值为（ B　 ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　　　D．

8、某班有48名学生，某次数学考试，算术平均分为70分，标准差为s，后来发现成绩记录有误，某甲得80分却误记为50分，某乙得70分却误记为100分，更正后计算得标准差为s₁，则s₁和s之间的大小关系为　　…………………………………………………（D　　）

　 (A) s₁＞s　　　　　　　　　　　　　(B) s₁＝s　　　　　　　　　　　　　(C) s＋5＜s₁　　　　　　　　　 (D) s＞s₁

15．在ABC中，若：= = ,则COSA等于___________.

4、已知等差数列{a_n}的首项a₁=120，d=－4，记S_n= a₁＋a₂＋…＋a_n，若S_n≤a_n（n＞1），则n最小值为………………………………………………………………………………（B　　）

　 (A)60　　　　　　　　　　　　　　　(B)62　　　　　　　　　　　　　　　 (C)63　　　　　　　　　　　　　　 (D)70

7．二元函数定义域为，则函数的定义域所表示的平面区域是（B）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

9、一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 11 m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有　　　　　　　 （　 D）

(A)个　　(B) 个　　C. 个　　(D) 个

(18)已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n.

　　(Ⅰ)若S_m，S_m＋2，S_m＋1成等差数列，证明a_m，a_m＋2，a_m＋1成等差数列；

　　(Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.

　  证 (Ⅰ) ∵S_m＋1＝S_m＋a_m＋1，S_m＋2＝S_m＋a_m＋1＋a_m＋2．

由已知2S_m＋2＝S_m＋S_m＋1，∴ 2(S_m＋a_m＋1＋a_m＋2)＝S_m＋(S_m＋a_m＋1)，

∴a_m＋2＝－a_m＋1，即数列{a_n}的公比q＝－.

　  ∴a_m＋1＝－a_m，a_m＋2＝a_m，∴2a_m＋2＝a_m＋a_m＋1，∴a_m，a_m＋2，a_m＋1成等差数列.

　  (Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若a_m，a_m＋2，a_m＋1成等差数列，则S_m，S_m＋2，S_m＋1成等差数列.

　  设数列{a_n}的公比为q，∵a_m＋1＝a_mq，a_m＋2＝a_mq²．

由题设，2a_m＋2＝a_m＋a_m＋1，即2a_mq²＝a_m＋a_mq，即2q²－q－1＝0，∴q＝1或q＝－.

　　当q＝1时，A≠0，∴S_m， S_m＋2， S_m＋1不成等差数列.

逆命题为假.

19. (12分)设某物体一天中的温度T是时间t的函数，，其中温度的单位是，时间的单位是小时。t=0表示12:00, t取正值表示12:00点以后。若测得该物体在8:00的温度为8,12:00的温度为60,13:00的温度为58,且已知该物体的温度在8:00和16:00有相同的变化率。

（1）写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式；

（2）该物体在10:00到14:00这段时间中（包括10:00,14:00）何时温度最高？并求出最高温度。

（1）依题意得

解得：a=1,b=0,c=－3,d=60　 故T(t)=t³-3t+60

（2）=0,得：

比较T（－2）,T（－1）,T（1）,T（2）知，在10:0014:00这段时间中，该物体在11:00和14:00的温度最高，且最高温度为62.