08届高中毕业班文科数学第三次质量检查

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数学试题(文科)

考试时间：120分钟　　试卷满分：150分

注意事项：

　  准考证号码填写说明：准考证号码共九位，每位都体现不同的分类，具体如下：

0

5

0

0

0

　　答题卡上科目栏内必须填涂考试科目

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填入答题纸的相应位置，否则不给分)

1．已知直线平行，则a等于　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．1　　　　　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　　　 D．－1或2

2．若成立的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　　A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　B．必要不充分条件

　　　　C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件

3．过点的直线l经过圆的圆心，则直线l的倾斜角大小为（　　）

　　　　A．150°　　　　　　　　B．120°　　　　　　　　 C．30°　　　　　　　　　 D．60°

4．已知集合,，且，若，则（　　）

　　　　A．　　 B．　　　 C．　　　　 D．

5．设定点F₁（0，－3）、F₂（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是　　　　　　　　 （　　）

　　　　A．椭圆　　　　　　B．线段　　　　　　 C．不存在　　　　　　　 D．椭圆或线段

6．若，则函数与的图象　　 （　　）

　　　　A．关于轴对称　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．关于轴对称　　

　　　　C．关于直线对称　　　　  　　　　D．关于原点对称

7．设则等于　　　　　（　　）

　　　 A．2¹³　　　　　　　　　　　B．2¹²C．2⁶D．2⁷

8．椭圆和具有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　　A．相同的离心率　　　　　　　　　　　　　　　　　B．相同的焦点

　　　　C．相同的顶点 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．相同的长、短轴

9．已知x、y满足约束条件 ，则的最小值为 　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

1,3,5

10．焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　B．　　　　C．　　　 D．

11．设的平均数，m是的平均数，n是的平均数，则下列各式正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A． 　　　　B．　　　　C．　　　D．

12．已知是椭圆上的一点，若到椭圆右准线的距离是，则点到左焦点的距离是　　　　　　　　　 （　　）

　　　A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

二、填空题:(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 请将答案填入答题纸的相应位置，否则不给分)

13．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n = 3ⁿ－2，则a_n = 　　　　 .

14．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 　　　　 .

15．如果实数x、y满足等式，则最大值　 　　　　　  

16．下列命题中，

　　　 ①的最小值是2 ；　　　　　  ②的最小值是；

　　　 ③的最小值是2；④当x>0时，的最小值是2，

　　　 ⑤当x>1时，的最小值是2；

其正确命题的序号为　 　　　　　

1,3,5

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。请将答案填入答题纸的相应位置，否则不给分）

17．（本小题满分12分，每小题6分）

　 （1）求经过点，且与两坐标轴构成等腰三角形的直线方程．

　 （2）求满足（1）中条件的直线与y轴围成的三角形的外接圆的方程.

18．（本小题满分12分）

已知函数。

　 （1）写出函数的单调递减区间；

　 （2）设，f (x)的最小值是－2，最大值是，求实数a、b的值．

19．（本小题满分12分）

如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

　 （Ⅰ）求证：平面；

　 （Ⅱ）求二面角的大小．

20．（本小题满分12分）

已知圆C圆心在x轴，且过两点A（－1，1），B

　 （1）求圆C的方程

　 （2）设有点列，过点P_n（n=1，2……）引圆C的切线，若切线的斜率为k_n，求和

21． (本小题满分14分)

已知两个函数，.

　 （1），解不等式

　 （2）若对任意[－3，3]，都有成立，求实数的取值范围；

22．（本小题满分12分）

已知平面内任意一点P满足PF₁+PF₂=10，其中F₁(0,－4)、F₂(0,4) 为平面内两个定点，

　 （1）求点P的轨迹方程.

　 （2）若O为原点，Q是OP的中点，M在F₂Q上，且，求点M的轨迹方程．

参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）：

1,3,5

1—6　 DABDDA　 7—12　　AADBCB　

二、填空题（每小题4分，共16分）：

13．； 14．或；　15． ； 16．①⑤.

三、解答题：

17．(12分) 解（1）：设直线的方程为：　　 ……2分，

又上，　　　　　　　  ……3分

由①②解得a=3,b=3或a=－1,b=1　　　　　　　　　 ……5分

∴直线的方程为：x+y－3=0或x－y+1=0　　　　　  ……6分

　 （2）因为（1）中所求得的两条直线互相垂直，所以y轴被两直线截得的线段即是所求圆的直径且经过P点.令圆心为（0，b），

又x+y－3=0和x－y+1=0在y轴截距分别为3和1，　 ……9分

则=r², 得到b=2.　　　　　　　　 ……11分

所求圆的标准方程为.　　　　　 ……12分

18．(12分)(1)解：
.……4分　　　　　
∵a＞0，x∈R，∴f (x)的递减区间是 (k∈Z)……6分

　　　

　 （2）解：∵x∈[0，]，∴2x∈[0，]，2x－∈[]　 …….8分　
　　　 ∴　　　　　　　　　　 ……9分　　　　　　　　　　　　　　　　　∴函数f (x)的　

最小值是，最大值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由已知得，……11分.　 解得a＝2，b＝  ……12分

19． (12分)解法一：（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

连结，在正方形中，分别为的中点，

，

．在正方形中，

，

平面．

（Ⅱ）设与交于点，在平面中，

作于，连结，

由（Ⅰ）得平面．，

为二面角的平面角．

在中，由等面积法可求得，

又，

．

所以二面角的大小为．

解法二：（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

在正三棱柱中，

平面平面，

平面．

取中点，以为原点，，

，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，　　……2分

则，，，，，

，，．　

，， ……4分

，．平面．　　……5分

（Ⅱ）设平面的法向量为．　　　……6分

，．，，

　　

　　……8分

令得为平面的一个法向量． …….9分

由（Ⅰ）知平面，

为平面的法向量．……10分

，　 ……11分

二面角的大小为．　　　　……12分

20．(12分)（1）设圆C方程　 代入A、B两点坐标，得

　 解得 　 

∴圆C： ……5分

（2）设过点P_n（n，0）的圆C的切线方程为　　 ……6分

即　　 又圆心C（－1，0）到切线距离等于圆的半径

∴……8分　即

解得　 ……9分; 又可变形为：…… 10分

　　　 　　　　　　　　　　　  12分

21 (14分)（1）设函数的图象上任一点关于原点的对称点为,

则　　.　　　　

∵点在函数的图象上.

　 即　 故

由可得：

当时，，此时不等式无解 　

当时，，

因此，原不等式的解集为.

（另解：得

 ，因此，原不等式的解集为）

（2）依题意：

列表（略）

22．(12分)解：（1）已知PF₁+PF₂=10>F₁F₂=8,所以P点的轨迹是以2a=10为长轴，以F₁、F₂为焦点，而且焦点在y轴上的椭圆…..2分

即：a=5，c=4, 则b=3.　　所以P点的轨迹方程为……4分

（2）令M(x,y)，Q(x₁,y₁)，P(x_o,y_o)，由已知M也为F₂Q中点……5分

则有　　  ……9分；　　

得方程为……11分

故点M轨迹方程为…….12分