高考数学复习直线与圆测试题
1.(北师大版必修2 第93 页A组第1题)
已知点,求直线
的斜率.
变式1:已知点,则直线
的倾斜角是( )
A.
B.
C.
D.
解:∵,∴
,∵
,∴
,故选(C).
变式2:(2006年北京卷)若三点共线,则
的值等于 .
解:∵、
、
三点共线,∴
,∴
,∴
,∴
.
变式3:已知点,直线
的倾斜角是直线
的倾斜角的一半,求直线
的斜率.
解:设直线的倾斜角为
,则直线
的倾斜角为
,依题意有
,∴
,∴
,∴
或
.由
,得
,∴
,∴
,∴直线
的斜率为
.
2.(人教A版必修2 第111页A组第9题)
求过点,并且在两轴上的截距相等的直线方程.
变式1:直线在
轴上的截距为
,在
轴上的截距为
,则( )
A. B.
C.
D.
解:令得
,∴直线在
轴上的截距为
;令
得
,∴直线在
轴上的截距为
,故选(B).
变式2:过点,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .
解:依题意,直线的斜率为1或直线经过原点,∴直线的方程为或
,即
或
.
变式3:直线经过点
,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,求直线
的方程.
解:依题意,直线的斜率为±1,∴直线
的方程为
或
,即
或
.
3.(人教A版必修2 第124页A组第3题)
求直线与坐标轴围成的三角形的面积.
变式1:过点(-5,-4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 .
解:设所求直线方程为,依题意有
,
∴(无解)或
,解得
或
.
∴直线的方程是或
.
变式2:(2006年上海春季卷)已知直线过点
,且与
轴、
轴的正半轴分别交于
、
两点,
为坐标原点,则△OAB面积的最小值为 .
解:设直线的方程为
,
则,当且仅当
即
时取等号,∴当
时,
有最小值4.
变式3:已知射线和点
,在射线
上求一点
,使直线
与
及
轴围成的三角形面积
最小.
解:设,则直线
的方程为
.令
得
,∴
,当且仅当
即
时取等号,∴当
为(2,8)时,三角形面积
最小.
4.(北师大版必修2 第117页A组第10题)
求过点,且与直线
平行的直线的方程.
变式1:(2005年全国卷)已知过点和
的直线与直线
平行,则
的值为( )
A.0 B.-8 C.2 D.10
解:依题意有,解得
,故选(B).
变式2:与直线平行,且距离等于
的直线方程是 .
解:设所求直线方程为,则
,解得
或
,∴直线方程为
或
.
变式3:已知三条直线不能构成三角形,求实数
的取值集合.
解:依题意,当三条直线中有两条平行或重合,或三条直线交于一点时,三条直线不能构成三角形,故或
或
,∴实数
的取值集合是
.
5.(北师大版必修2 第117页A组第7题)
若直线和直线
垂直,求
的值.
变式1:(1987年上海卷)若直线与直线
平行但不重合,则
等于( )
A.-1或2
B.-1
C.2
D.
解:∵,∴
且
,∴
且
,解得
,故选(B).
变式2:(2005年北京春季卷)“”是“直线
与直线
相互垂直”的( )
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解:由或
,知由
可推出
,但由
推不出
,故
是
的充分不必要条件,故选(B).
变式3:设直线与圆
相交于点
、
两点,
为坐标原点,且
,求
的值.
解:∵圆经过原点
,且
,∴
是圆的直径,∴圆心(1,-2)在直线
上,∴
.
6.(人教A版必修2 第110页A组第3题)
已知,
,求线段
的垂直平分线的方程.
变式1:已知关于直线
的对称点为
,则直线
的方程是( )
A. B.
C.
D.
解:依题意得,直线是线段
的垂直平分线.∵
,∴
,∵
的中点为(1,1),∴直线
的方程是
即
,故选(B).
变式2:已知圆与圆
关于直线
对称 ,则直线
的方程是
.
解:依题意得,两圆的圆心与
关于直线
对称,故直线
是线段
的垂直平分线,由变式1可得直线
的方程为
.
变式3:求点关于直线
的对称点
的坐标.
解:设.由
,且
的中点在直线
上,得
,解得
,∴
.
7.(北师大版必修2 第118页B组第2题)
光线自点射到点
后被
轴反射,求反射光线所在直线的方程.
变式1:一条光线从点射出,经
轴反射,与圆
相切,则反射光线所在直线的方程是 .
解:依题意得,点关于
轴的对称点
在反射光线所在的直线上,故可设反射光线所在直线的方程为
,即
.由反射光线与圆相切得
,解得
或
,∴反射光线所在直线的方程是
或
,即
或
.
变式2:(2003年全国卷)已知长方形的四个顶点、
、
和
,一质点从
的中点
沿与
夹角为
的方向射到
上的点
后,依次反射到
、
和
上的点
、
和
(入射角等于反射角).设
的坐标为
.若
,则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解:用特例法,取,则
、
、
、
分别为
、
、
、
的中点,此时
.依题意,包含
的选项(A)(B)(D)应排除,故选(C).
变式3:已知点,在直线
上求一点P,使
最小.
解:由题意知,点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知,先作出点
关于直线
的对称点
,然后连结
,则直线
与
的交点P为所求.事实上,设点
是
上异于P的点,则
.
设,则
,解得
,∴
,∴直线
的方程为
.由
,解得
,∴
.
8.(人教A版必修2第144页A组 3)
求以为圆心,并且与直线
相切的圆的方程.
变式1:(2006年重庆卷)过坐标原点且与圆相切的直线的方程为( )
A.或
B.
或
C.或
D.
或
解:设直线方程为,即
.∵圆方程可化为
,∴圆心为(2,-1),半径为
.依题意有
,解得
或
,∴直线方程为
或
,故选(A).
变式2:(2006年湖北卷)已知直线与圆
相切,则
的值为 .
解:∵圆的圆心为(1,0),半径为1,∴
,解得
或
.
变式3:求经过点,且与直线
和
都相切的圆的方程.
解:设所求圆的方程为,则
,
解得或
,∴圆的方程为
或
.
9.(人教A版必修2 第144页 A组 第5题)
求直线被圆
截得的弦
的长.
变式1:(1999年全国卷)直线截圆
得的劣弧所对的圆心角为( )
A.
B.
C.
D.
解:依题意得,弦心距,故弦长
,从而△OAB是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为
,故选(C).
变式2:(2006年天津卷)设直线与圆
相交于
、
两点,且弦
的长为
,则
.
解:由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形,得,解得
.
变式3:已知圆,直线
.
(1)求证:不论取什么实数,直线
与圆
恒交于两点;
(2)求直线被圆
截得的弦长最小时
的方程.
解:(1)∵直线恒过定点
,且
,∴点
在圆内,∴直线
与圆
恒交于两点.
(2)由平面几何性质可知,当过圆内的定点的直线
垂直于
时,直线
被圆
截得的弦长最小,此时
,∴所求直线
的方程为
即
.
10.(北师大版必修2第117页A组 第14题)
已知直线和圆
,判断此直线与已知圆的位置关系.
变式1:(2006年安徽卷)直线与圆
没有公共点,则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解:依题意有,解得
.∵
,∴
,故选(A).
变式2:(2006年湖北卷)若直线与圆
有两个不同的交点,则
的取值范围是 .
解:依题意有,解得
,∴
的取值范围是
.
变式3:若直线与曲线
有且只有一个公共点,求实数
的取值范围.
解:∵曲线表示半圆
,∴利用数形结合法,可得实数
的取值范围是
或
.
11.(北师大版必修2第101页例8)
判断圆与圆
的位置关系,并画出图形.
变式1:(1995年全国卷)圆和圆
的位置关系是( )
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
解:∵圆的圆心为
,半径
,圆
的圆心为
,半径
,∴
.∵
,∴两圆相交,故选(C).
变式2:若圆与圆
相切,则实数
的取值集合是
.
解:∵圆的圆心为
,半径
,圆
的圆心为
,半径
,且两圆相切,∴
或
,∴
或
,解得
或
,或
或
,∴实数
的取值集合是
.
变式3:求与圆外切于点
,且半径为
的圆的方程.
解:设所求圆的圆心为,则所求圆的方程为
.∵两圆外切于点
,∴
,∴
,∴
,∴所求圆的方程为
.
12.(人教A版必修2 第145页B组第2题)
已知点,点
在圆
上运动,求
的最大值和最小值.
变式1:(2006年湖南卷)圆上的点到直线
的最大距离与最小距离的差是( )
A.36
B.18
C.
D.
解:∵圆的圆心为(2,2),半径
,∴圆心到直线的距离
,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
,故选(C).
变式2:已知,
,点
在圆
上运动,则
的最小值是 .
解:设,则
.设圆心为
,则
,∴
的最小值为
.
变式3:已知点在圆
上运动.
(1)求的最大值与最小值;(2)求
的最大值与最小值.
解:(1)设,则
表示点
与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时,
取得最大值与最小值.由
,解得
,∴
的最大值为
,最小值为
.
(2)设,则
表示直线
在
轴上的截距. 当该直线与圆相切时,
取得最大值与最小值.由
,解得
,∴
的最大值为
,最小值为
.
13.(人教A版必修2第135页B组第3题)
已知点与两个定点
,
的距离的比为
,求点
的轨迹方程.
变式1:(2006年四川卷)已知两定点,
,如果动点
满足
,则点
的轨迹所包围的面积等于( )
A.
B.
C.
D.
解:设点的坐标是
.由
,得
,化简得
,∴点
的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,∴所求面积为
,故选(B).
变式2:(2004年全国卷)由动点向圆
引两条切线
、
,切点分别为
、
,
=600,则动点
的轨迹方程是
.
解:设.∵
=600,∴
=300.∵
,∴
,∴
,化简得
,∴动点
的轨迹方程是
.
变式3:(2003年北京春季卷)设为两定点,动点
到
点的距离与到
点的距离的比为定值
,求
点的轨迹.
解:设动点的坐标为
.由
,得
,
化简得.
当时,化简得
,整理得
;
当时,化简得
.
所以当时,
点的轨迹是以
为圆心,
为半径的圆;
当时,
点的轨迹是
轴.
14.(人教A版必修2第133页例5)
已知线段的端点
的坐标是(4,3),端点
在圆
上运动,求线段
的中点
的轨迹方程.
变式1:已知定点,点
在圆
上运动,
是线段
上的一点,且
,则点
的轨迹方程是( )
A.
B.
C.
D.
解:设.∵
,∴
,
∴,∴
.∵点
在圆
上运动,∴
,∴
,即
,∴点
的轨迹方程是
,故选(C).
变式2:已知定点,点
在圆
上运动,
的平分线交
于点
,则点
的轨迹方程是
.
解:设.∵
是
的平分线,∴
, ∴
.由变式1可得点
的轨迹方程是
.
变式3:已知直线与圆
相交于
、
两点,以
、
为邻边作平行四边形
,求点
的轨迹方程.
解:设,
的中点为
.∵
是平行四边形,∴
是
的中点,∴点
的坐标为
,且
.∵直线
经过定点
,∴
,∴
,化简得
.∴点
的轨迹方程是
.
15.(人教A版必修2第144页练习第3题)
某圆拱桥的水面跨度20,拱高4
.现有一船宽10
,水面以上高3
,这条船能否从桥下通过?
变式1:某圆拱桥的水面跨度是20,拱高为4
.现有一船宽9
,在水面以上部分高3
,故通行无阻.近日水位暴涨了1.5
,为此,必须加重船载,降低船身.当船身至少应降低
时,船才能通过桥洞.(结果精确到0.01
)
解:建立直角坐标系,设圆拱所在圆的方程为.
∵圆经过点(10,0),(0,4),∴,解得
.
∴圆的方程是. 令
,得
.
故当水位暴涨1.5后,船身至少应降低
,船才能通过桥洞.
变式2:据气象台预报:在城正东方300
的海面
处有一台风中心,正以每小时40
的速度向西北方向移动,在距台风中心250
以内的地区将受其影响.从现在起经过约
,台风将影响
城,持续时间约为
.(结果精确到0.1
)
解:以为原点,正东方向所在直线为
轴,建立直角坐标系,则台风中心的移动轨迹是
,受台风影响的区域边界的曲线方程是
.
依题意有,解得
.
∴.
∴从现在起经过约2.0,台风将影响
城,持续时间约为6.6
.
变式3:有一种商品,、
两地均有出售,且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时,单位距离的运费
地是
地的3倍.已知
、
两地的距离是10
,顾客购买这种商品选择
地或
地的标准是:包括运费在内的总费用比较便宜.求
、
两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.
解:以的中点为原点,
所在直线为
轴,建立直角坐标系,则
,
.设
是售货区域分界线上的任意一点,单位距离的运费为
元
,则
,∴
,化简得
.∴
、
两地售货区域的分界线是以
为圆心,
为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去
地购货,在曲线外的居民选择去
地购货,在曲线上的居民去
、
两地购货均可.