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高考数学复习直线与圆测试题

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高考数学复习直线与圆测试题

1.(北师大版必修2 第93 页A组第1题)

已知点,求直线的斜率.

变式1:已知点,则直线的倾斜角是( )

A.         B.        C.        D.

解:,∴,∵,∴,故选(C).

变式2:(2006年北京卷)若三点共线,则的值等于  .

解:三点共线,∴,∴,∴,∴.

变式3:已知点,直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半,求直线的斜率.

解:设直线的倾斜角为,则直线的倾斜角为,依题意有,∴,∴,∴.由,得,∴,∴,∴直线的斜率为.

2.(人教A版必修2 第111页A组第9题)

求过点,并且在两轴上的截距相等的直线方程.

变式1:直线轴上的截距为,在轴上的截距为,则( )

A.    B.    C.    D.

解:,∴直线在轴上的截距为;令,∴直线在轴上的截距为,故选(B).

变式2:过点,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是    .

解:依题意,直线的斜率为1或直线经过原点,∴直线的方程为,即.

变式3:直线经过点,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,求直线的方程.

解:依题意,直线的斜率为±1,∴直线的方程为,即.

3.(人教A版必修2 第124页A组第3题)

求直线与坐标轴围成的三角形的面积.

变式1:过点(-5,-4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是    .

解:设所求直线方程为,依题意有

(无解)或,解得.

∴直线的方程是.

变式2:(2006年上海春季卷)已知直线过点,且与轴、轴的正半轴分别交于两点,为坐标原点,则△OAB面积的最小值为    .

解:设直线的方程为

,当且仅当时取等号,∴当时,有最小值4.

变式3:已知射线和点,在射线上求一点,使直线轴围成的三角形面积最小.

解:,则直线的方程为.令,∴

,当且仅当时取等号,∴当为(2,8)时,三角形面积最小.

4.(北师大版必修2 第117页A组第10题)

求过点,且与直线平行的直线的方程.

变式1:(2005年全国卷)已知过点的直线与直线平行,则的值为( )

A.0         B.-8         C.2         D.10

解:依题意有,解得,故选(B).

变式2:与直线平行,且距离等于的直线方程是    .

解:设所求直线方程为,则,解得,∴直线方程为.

变式3:已知三条直线不能构成三角形,求实数的取值集合.

解:依题意,当三条直线中有两条平行或重合,或三条直线交于一点时,三条直线不能构成三角形,故,∴实数的取值集合是.

5.(北师大版必修2 第117页A组第7题)

若直线和直线垂直,求的值.

变式1:(1987年上海卷)若直线与直线平行但不重合,则等于( )

A.-1或2       B.-1         C.2         D.

解:,∴,∴,解得,故选(B).

变式2:(2005年北京春季卷)“”是“直线与直线相互垂直”的( )

A.充分必要条件              B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件            D.既不充分也不必要条件

解:,知由可推出,但由推不出,故的充分不必要条件,故选(B).

变式3:设直线与圆相交于点两点,为坐标原点,且,求的值.

解:∵圆经过原点,且,∴是圆的直径,∴圆心(1,-2)在直线上,∴.

6.(人教A版必修2 第110页A组第3题)

已知,求线段的垂直平分线的方程.

变式1:已知关于直线的对称点为,则直线的方程是( )

A.  B.   C.  D.

解:依题意得,直线是线段的垂直平分线.∵,∴,∵的中点为(1,1),∴直线的方程是,故选(B).

变式2:已知圆与圆关于直线对称 ,则直线的方程是      .

解:依题意得,两圆的圆心关于直线对称,故直线是线段的垂直平分线,由变式1可得直线的方程为.

变式3:求点关于直线的对称点的坐标.

解:.由,且的中点在直线上,得,解得,∴.

7.(北师大版必修2 第118页B组第2题)

光线自点射到点后被轴反射,求反射光线所在直线的方程.

变式1:一条光线从点射出,经轴反射,与圆相切,则反射光线所在直线的方程是    .

解:依题意得,点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上,故可设反射光线所在直线的方程为,即.由反射光线与圆相切得,解得,∴反射光线所在直线的方程是,即.

变式2:(2003年全国卷)已知长方形的四个顶点,一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后,依次反射到上的点(入射角等于反射角).设的坐标为.若,则的取值范围是( )

A.       B.       C.      D.

解:用特例法,取,则分别为的中点,此时.依题意,包含的选项(A)(B)(D)应排除,故选(C).

变式3:已知点,在直线上求一点P,使最小.

解:由题意知,点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知,先作出点关于直线的对称点,然后连结,则直线的交点P为所求.事实上,设点上异于P的点,则.

,则,解得,∴,∴直线的方程为.由,解得,∴.

8.(人教A版必修2第144页A组 3)

求以为圆心,并且与直线相切的圆的方程.

变式1:(2006年重庆卷)过坐标原点且与圆相切的直线的方程为( )

A.           B.

C.          D.

解:设直线方程为,即.∵圆方程可化为,∴圆心为(2,-1),半径为.依题意有,解得,∴直线方程为,故选(A).

变式2:(2006年湖北卷)已知直线与圆相切,则的值为    .

解:∵圆的圆心为(1,0),半径为1,∴,解得.

变式3:求经过点,且与直线都相切的圆的方程.

解:设所求圆的方程为,则

解得,∴圆的方程为.

9.(人教A版必修2 第144页 A组 第5题)

求直线被圆截得的弦的长.

变式1:(1999年全国卷)直线截圆得的劣弧所对的圆心角为( )

A.         B.        C.         D.

解:依题意得,弦心距,故弦长,从而△OAB是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为,故选(C).

变式2:(2006年天津卷)设直线与圆相交于两点,且弦的长为,则    .

解:由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形,得,解得.

变式3:已知圆,直线.

(1)求证:不论取什么实数,直线与圆恒交于两点;

(2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程.

解:(1)∵直线恒过定点,且,∴点在圆内,∴直线与圆恒交于两点.

(2)由平面几何性质可知,当过圆内的定点的直线垂直于时,直线被圆截得的弦长最小,此时,∴所求直线的方程为.

10.(北师大版必修2第117页A组 第14题)

已知直线和圆,判断此直线与已知圆的位置关系.

变式1:(2006年安徽卷)直线与圆没有公共点,则的取值范围是( )

A.    B.    C.    D.

解:依题意有,解得.∵,∴,故选(A).

变式2:(2006年湖北卷)若直线与圆有两个不同的交点,则的取值范围是      .

解:依题意有,解得,∴的取值范围是.

变式3:若直线与曲线有且只有一个公共点,求实数的取值范围.

解:∵曲线表示半圆,∴利用数形结合法,可得实数的取值范围是.

11.(北师大版必修2第101页例8)

判断圆与圆的位置关系,并画出图形.

变式1:(1995年全国卷)圆和圆的位置关系是( )

A.相离        B.外切        C.相交       D.内切

解:∵圆的圆心为,半径,圆的圆心为,半径,∴.∵,∴两圆相交,故选(C).

变式2:若圆与圆相切,则实数的取值集合是      .

解:∵圆的圆心为,半径,圆的圆心为,半径,且两圆相切,∴,∴,解得,或,∴实数的取值集合是.

变式3:求与圆外切于点,且半径为的圆的方程.

解:设所求圆的圆心为,则所求圆的方程为.∵两圆外切于点,∴,∴,∴,∴所求圆的方程为.

12.(人教A版必修2 第145页B组第2题)

已知点,点在圆上运动,求的最大值和最小值.

变式1:(2006年湖南卷)圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是( )

A.36         B.18         C.       D.

解:∵圆的圆心为(2,2),半径,∴圆心到直线的距离,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是,故选(C).

变式2:已知,点在圆上运动,则的最小值是    .

解:,则.设圆心为,则,∴的最小值为.

变式3:已知点在圆上运动.

(1)求的最大值与最小值;(2)求的最大值与最小值.

解:(1)设,则表示点与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时,取得最大值与最小值.由,解得,∴的最大值为,最小值为.

(2)设,则表示直线轴上的截距. 当该直线与圆相切时,取得最大值与最小值.由,解得,∴的最大值为,最小值为.

13.(人教A版必修2第135页B组第3题)

已知点与两个定点的距离的比为,求点的轨迹方程.

变式1:(2006年四川卷)已知两定点,如果动点满足,则点的轨迹所包围的面积等于( )

A.         B.        C.       D.

解:设点的坐标是.由,得,化简得,∴点的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,∴所求面积为,故选(B).

变式2:(2004年全国卷)由动点向圆引两条切线,切点分别为=600,则动点的轨迹方程是      .

解:.∵=600,∴=300.∵,∴,∴,化简得,∴动点的轨迹方程是.

变式3:(2003年北京春季卷)设为两定点,动点点的距离与到点的距离的比为定值,求点的轨迹.

解:设动点的坐标为.由,得

化简得.

时,化简得,整理得

时,化简得.

所以当时,点的轨迹是以为圆心,为半径的圆;

时,点的轨迹是轴.

14.(人教A版必修2第133页例5)

已知线段的端点的坐标是(4,3),端点在圆上运动,求线段的中点的轨迹方程.

变式1:已知定点,点在圆上运动,是线段上的一点,且,则点的轨迹方程是( )

A.            B.

C.           D.

解:.∵,∴

,∴.∵点在圆上运动,∴,∴,即,∴点的轨迹方程是,故选(C).

变式2:已知定点,点在圆上运动,的平分线交于点,则点的轨迹方程是      .

解:.∵的平分线,∴, ∴.由变式1可得点的轨迹方程是.

变式3:已知直线与圆相交于两点,以为邻边作平行四边形,求点的轨迹方程.

解:的中点为.∵是平行四边形,∴的中点,∴点的坐标为,且.∵直线经过定点,∴,∴,化简得.∴点的轨迹方程是.

15.(人教A版必修2第144页练习第3题)

某圆拱桥的水面跨度20,拱高4.现有一船宽10,水面以上高3,这条船能否从桥下通过?

变式1:某圆拱桥的水面跨度是20,拱高为4.现有一船宽9,在水面以上部分高3,故通行无阻.近日水位暴涨了1.5,为此,必须加重船载,降低船身.当船身至少应降低

    时,船才能通过桥洞.(结果精确到0.01

解:建立直角坐标系,设圆拱所在圆的方程为.

∵圆经过点(10,0),(0,4),∴,解得.

∴圆的方程是. 令,得.

故当水位暴涨1.5后,船身至少应降低,船才能通过桥洞.

变式2:据气象台预报:在城正东方300的海面处有一台风中心,正以每小时40的速度向西北方向移动,在距台风中心250以内的地区将受其影响.从现在起经过约

   ,台风将影响城,持续时间约为   .(结果精确到0.1

解:为原点,正东方向所在直线为轴,建立直角坐标系,则台风中心的移动轨迹是,受台风影响的区域边界的曲线方程是.

依题意有,解得.

.

∴从现在起经过约2.0,台风将影响城,持续时间约为6.6.

变式3:有一种商品,两地均有出售,且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时,单位距离的运费地是地的3倍.已知两地的距离是10,顾客购买这种商品选择地或地的标准是:包括运费在内的总费用比较便宜.求两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.

解:的中点为原点,所在直线为轴,建立直角坐标系,则.设是售货区域分界线上的任意一点,单位距离的运费为,则,∴,化简得.∴两地售货区域的分界线是以为圆心,为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去地购货,在曲线外的居民选择去地购货,在曲线上的居民去两地购货均可.