高考数学导数试题分类汇编（）
已知对任意实数
，有
，且
时，
，则
时（
B ）
A． B．
C．
D．
（海南理10）
曲线
在点
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（
D ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（海南文10）
曲线
在点
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（
D ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（江苏9）
已知二次函数
的导数为
，
，对于任意实数都有
，则
的最小值为（
C ）
A．
B．
C．
D．
（江西理9）
12．设
在
内单调递增，
，则
是
的（ B ）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
（江西理5）
5．若
，则下列命题中正确的是（ D ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（江西文8）
若，则下列命题正确的是（
B ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
（辽宁理12）
已知
与
是定义在
上的连续函数，如果与仅当
时的函数值为0，且
，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A．0是的极大值，也是的极大值
B．0是的极小值，也是的极小值
C．0是的极大值，但不是的极值
D．0是的极小值，但不是的极值
（全国一文11）
曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A
）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（全国二文8）
已知曲线
的一条切线的斜率为
，则切点的横坐标为（
A ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（浙江理8）
设
是函数的导函数，将
和
的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（
D ）
(北京文9)
是
的导函数，则
的值是＿＿＿＿．3
（广东文12）
函数
的单调递增区间是＿＿＿＿．
（江苏13）
已知函数
在区间
上的最大值与最小值分别为
，则
＿＿．32
（湖北文13）
已知函数的图象在点
处的切线方程是
，则
＿＿＿＿．3
（湖南理13）
函数
在区间
上的最小值是＿＿＿＿．
（浙江文15）
曲线
在点
处的切线方程是＿＿＿＿．
（安徽理 18）
设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．
（Ⅰ）解：根据求导法则有
，
故
，
于是
，
列表如下：
|
|
| 2 |
|
|
|
| 0 |
|
|
|
| 极小值 |
|
故知
在
内是减函数，在
内是增函数，所以，在
处取得极小值
．
（Ⅱ）证明：由
知，的极小值
．
于是由上表知，对一切
，恒有
．
从而当时，恒有
，故在
内单调增加．
所以当
时，
，即
．
故当时，恒有
．
(安徽文 20)
设函数f（x）=-cos2x-4tsin
cos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中
≤1，将f(x)的最小值记为g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表达式；
(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．
解：（I）我们有
．
由于
，
，故当
时，达到其最小值
，即
．
（II）我们有
．
列表如下：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 极大值 |
| 极小值 |
|
由此可见，在区间
和
单调增加，在区间
单调减小，极小值为
，极大值为
．
（北京理 19）
如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为
，短半轴长为
，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底
是半椭圆的短轴，上底
的端点在椭圆上，记
，梯形面积为
．
（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积的最大值．
解：（I）依题意，以的中点
为原点建立直角坐标系
（如图），则点
的横坐标为．
点的纵坐标
满足方程
，
解得
，
其定义域为
．
（II）记
，
则
．
令
，得
．
因为当
时，；当
时，
，所以
是的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为
．
即梯形面积的最大值为
．
（福建理 22）
已知函数
（Ⅰ）若
，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若
，且对于任意
，
恒成立，试确定实数
的取值范围；
（Ⅲ）设函数
，求证：
．
本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：（Ⅰ）由得
，所以
．
由得，故的单调递增区间是
，
由得
，故的单调递减区间是
．
（Ⅱ）由
可知
是偶函数．
于是对任意成立等价于
对任意
成立．
由
得
．
①当
时，
．
此时在
上单调递增．
故
，符合题意．
②当
时，
．
当变化时
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
由此可得，在上，
．
依题意，
，又
．
综合①，②得，实数的取值范围是
．
（Ⅲ）
，
，
，
由此得，
故
．
（福建文 20）
设函数
．
（Ⅰ）求的最小值
；
（Ⅱ）若
对
恒成立，求实数
的取值范围．
本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）
，
当
时，取最小值
，
即
．
（Ⅱ）令
，
由
得
，
（不合题意，舍去）．
当
变化时
，的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 递增 | 极大值 | 递减 |
在
内有最大值
．
在内恒成立等价于
在内恒成立，
即等价于
，
所以的取值范围为
．
(广东理、文 20)
已知
是实数，函数
．如果函数在区间
上有
零点，求的取值范围．
解: 若
, 
,显然在上没有零点, 所以 
令 
得 
当 
时, 
恰有一个零点在
上;
当 
即 
时, 也恰有一个零点在上;
当
在上有两个零点时, 则
或
解得
或
因此的取值范围是 
或 
;
（海南理 21）
设函数
（I）若当
时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于
．
解：（Ⅰ）
，
依题意有
，故
．
从而
．
的定义域为
，当
时，；
当
时，；
当
时，．
从而，分别在区间
单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）的定义域为
，
．
方程
的判别式
．
（ⅰ）若
，即
，在的定义域内，故的极值．
（ⅱ）若
，则
或
．
若
，
，
．
当
时，，当
时，，所以无极值．
若，
，
，也无极值．
（ⅲ）若
，即
或
，则有两个不同的实根
，
．
当时，
，从而有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，
，
，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在
取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为
．
的极值之和为
．
（海南文 19）
设函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间
的最大值和最小值．
解：的定义域为．
（Ⅰ）
．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间
，
单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为
．
又
．
所以在区间的最大值为
．
（湖北理 20）
已知定义在正实数集上的函数
，
，其中
．设两曲线，
有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用表示
，并求的最大值；
（II）求证：（）．
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
解：（Ⅰ）设与
在公共点
处的切线相同．
，
，由题意
，
．
即
由
得：
，或
（舍去）．
即有
．
令
，则
．于是
当
，即
时，
；
当
，即
时，
．
故在
为增函数，在
为减函数，
于是在的最大值为
．
（Ⅱ）设
，
则
．
故在
为减函数，在
为增函数，
于是函数在上的最小值是
．
故当时，有
，即当时，
．
（湖北文 19）
设二次函数
，方程
的两根
和
满足
．
（I）求实数的取值范围；
（II）试比较
与
的大小．并说明理由．
本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．
解法1：（Ⅰ）令
，
则由题意可得
．
故所求实数的取值范围是
．
（II）
，令
．
当时，
单调增加，当
时，
，即
．
解法2：（I）同解法1．
（II）
，由（I）知，
．又
于是
，
即
，故
．
解法3：（I）方程
，由韦达定理得
，
，于是
．
故所求实数的取值范围是．
（II）依题意可设
，则由，得
，故．
（湖南理 19）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点
和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面
所成的二面角为
（
），且
，点到平面的距离
（km）．沿山脚原有一段笔直的公路可供利用．从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为
万元/km．当山坡上公路长度为
km（
）时，其造价为
万元．已知
，
，
，
．
（I）在上求一点
，使沿折线
修建公路的总造价最小；
（II） 对于（I）中得到的点，在
上求一点
，使沿折线
修建公路的总造价最小．
（III）在上是否存在两个不同的点
，
，使沿折线
修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．
解：（I）如图，
，
，，
由三垂线定理逆定理知，
，所以
是
山坡与所成二面角的平面角，则
，
．
设
，
．则
．
记总造价为
万元，
据题设有
当
，即
时，总造价最小．
（II）设
，
，总造价为
万元，根据题设有
．
则
，由
，得
．
当
时，
，在
内是减函数；
当
时，
，在
内是增函数．
故当，即
（km）时总造价最小，且最小总造价为
万元．
（III）解法一：不存在这样的点，．
事实上，在上任取不同的两点，．为使总造价最小，显然不能位于 与
之间．故可设位于与
之间，且
=
，
，
，总造价为万元，则
．类似于（I）、（II）讨论知，
，
，当且仅当
，
同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时
，
，取得最小值，点
分别与点
重合，所以不存在这样的点 ，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．
解法二：同解法一得
．
当且仅当且
，即
同时成立时，取得最小值，以上同解法一．
（湖南文 21）
已知函数
在区间
，
内各有一个极值点．
（I）求
的最大值；
（II）当
时，设函数在点
处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以
在，内分别有一个实根，
设两实根为
（
），则
，且
．于是
，
，且当
，即
，
时等号成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由
知在点
处的切线的方程是
，即
，
因为切线在点
处空过的图象，
所以
在
两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．
而
，且
．
若
，则和
都是的极值点．
所以
，即，又由，得
，故
．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在
（
）．
当
时，
，当
时，
；
或当时，，当时，．
设
，则
当时，
，当时，；
或当时，
，当时，．
由
知是
的一个极值点，则
，
所以，又由，得，故．
（辽宁理 22）
已知函数
，
．
（I）证明：当
时，在上是增函数；
（II）对于给定的闭区间
，试说明存在实数 ，当
时，在闭区间上是减函数；
（III）证明：
．
（辽宁文 22）
已知函数
，
，且对任意的实数均有
，
．
（I）求函数的解析式；
（II）若对任意的
，恒有
，求的取值范围．
（全国一 理20）
设函数
．
（Ⅰ）证明：的导数
；
（Ⅱ）若对所有都有
，求的取值范围．
解：（Ⅰ）的导数
．
由于
，故．
（当且仅当时，等号成立）．
（Ⅱ）令
，则
，
（ⅰ）若
，当时，
，
故在上为增函数，
所以，时，
，即．
（ⅱ）若
，方程
的正根为
，
此时，若
，则
，故在该区间为减函数．
所以，时，
，即
，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是
．
（全国一文 20）
设函数
在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的
，都有
成立，求c的取值范围．
解：（Ⅰ）
，
因为函数在及取得极值，则有
，
．
即
解得
，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
，
．
当
时，；
当
时，；
当
时，．
所以，当时，取得极大值
，又
，
．
则当
时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以 
，
解得 
或
，
因此
的取值范围为
．
（全国二理 22）
已知函数
．
（1）求曲线在点
处的切线方程；
（2）设，如果过点
可作曲线的三条切线，证明：
．
解：（1）求函数的导数；
．
曲线在点处的切线方程为：
，
即 
．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使
．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程
有三个相异的实数根．
记 
，
则 
．
当变化时，
变化情况如下表：
|
|
| 0 |
|
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
|
| 极大值 |
| 极小值 |
|
由的单调性，当极大值
或极小值
时，方程
最多有一个实数根；
当
时，解方程得
，即方程只有两个相异的实数根；
当
时，解方程得
，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即 ．
（全国二文 22）
已知函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值，且
．
（1）证明；
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
解：求函数的导数
．
（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知
是的两个根．
所以
当
时，为增函数，，由
，
得．
（Ⅱ）在题设下，等价于
即
．
化简得
．
此不等式组表示的区域为平面
上三条直线：
．
所围成的
的内部，其三个顶点分别为：
．
在这三点的值依次为
．
所以的取值范围为
．
（山东理 22）
设函数
，其中
．
（Ⅰ）当
时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数
，不等式
都成立．
解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为
，
设
，其图象的对称轴为
，
．
当时，
，
即
在上恒成立，
当
时，，
当时，函数在定义域上单调递增．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．
②
时，
有两个相同的解
，
时，，
时，，
时，函数在上无极值点．
③当
时，有两个不同解，
，
，
时，
，
，
即
，
．
时，，随的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 极小值 |
|
由此表可知：
时，有惟一极小值点，
当
时，
，
，
此时，，随的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 极大值 |
| 极小值 |
|
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；
综上所述：
时，有惟一最小值点
；
时，有一个极大值点
和一个极小值点
；
时，无极值点．
（Ⅲ）当时，函数
，
令函数
，
则
．
当
时，，所以函数在
上单调递增，
又
．
时，恒有
，即
恒成立．
故当
时，有
．
对任意正整数取
，则有．
所以结论成立．
（山东文 21）
设函数
，其中
．
证明：当
时，函数没有极值点；当
时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．
证明：因为
，所以的定义域为．
．
当时，如果
在上单调递增；
如果
在上单调递减．
所以当，函数没有极值点．
当时，
令，
将
（舍去），
，
当
时，随的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
| 极小值 |
|
从上表可看出，
函数有且只有一个极小值点，极小值为
．
当
时，随的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
| 极大值 |
|
从上表可看出，
函数有且只有一个极大值点，极大值为．
综上所述，
当时，函数没有极值点；
当时，
若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为
．
若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．
（陕西理 20）
设函数f(x)=
其中a为实数.
(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;
(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.
解：（Ⅰ）的定义域为，
恒成立，
，
，即当
时的定义域为．
（Ⅱ）
，令
，得
．
由，得或
，又
，
时，由得
；
当
时，
；当
时，由得
，
即当
时，的单调减区间为
；
当时，的单调减区间为
．
(陕西文21)
已知
在区间[0,1]上是增函数,在区间
上是减函数,又
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在区间
(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.
解：（Ⅰ）
，由已知
，
即
解得
，
，
，
．
（Ⅱ）令
，即
，
，
或
．
又在区间
上恒成立，
．
(上海理科19)
已知函数
，常数
．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在
上为增函数，求的取值范围．
解：（1）当
时，
，
对任意
，
， 
为偶函数．
当
时，
，
取
，得 
，
，
函数既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）解法一：设
，
，
要使函数在上为增函数，必须
恒成立．
，即
恒成立．
又
，
．
的取值范围是
．
解法二：当时，，显然在
为增函数．
当
时，反比例函数
在为增函数，
在为增函数．
当
时，同解法一．
(上海文科19)
已知函数，常数
．
（1）当
时，解不等式
；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由．
解： （1）
，
，
．
原不等式的解为
．
（2）当时，，
对任意，，
为偶函数．
当时，，
取，得 ，
，
函数既不是奇函数，也不是偶函数．
(四川理 22)
设函数
.
(Ⅰ)当x=6时,求
的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明
＞
(Ⅲ)是否存在
,使得an＜
＜
恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因
证法二：因
而
故只需对
和
进行比较。
令
，有
由
，得
因为当
时，
，
单调递减；当
时，
，单调递增，所以在处有极小值
故当时，
，
从而有
，亦即
故有
恒成立。
所以
，原不等式成立。
（Ⅲ）对
，且
有
又因
，故
∵，从而有
成立，
即存在，使得恒成立。
（四川文20）
设函数
为奇函数，其图象在点
处的切线与直线
垂直，导函数的最小值为
．
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在
上的最大值和最小值．
解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．
（Ⅰ）∵为奇函数，
∴
即
∴
∵
的最小值为
∴
又直线的斜率为
因此，
∴，，．
（Ⅱ）
．
，列表如下：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 极大 |
| 极小 |
|
所以函数的单调增区间是
和
∵
，
，
∴在上的最大值是，最小值是．
（天津理 20）
已知函数
，其中
．
（Ⅰ）当
时，求曲线在点
处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）解：当时，
，
，
又
，
．
所以，曲线在点处的切线方程为
，
即
．
（Ⅱ）解：
．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令，得到
，
．当变化时，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
|
|
| 极小值 |
| 极大值 |
|
所以在区间
，内为减函数，在区间
内为增函数．
函数在处取得极小值
，且
，
函数在
处取得极大值
，且
．
（2）当
时，令，得到
，当变化时，的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
|
|
| 极大值 |
| 极小值 |
|
所以在区间
，
内为增函数，在区间
内为减函数．
函数在
处取得极大值，且．
函数在
处取得极小值，且．
（天津文 21）
设函数
（），其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点
处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；
（Ⅲ）当
时，证明存在
，使得不等式
对任意的恒成立．
本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
（Ⅰ）解：当时，
，得
，且
，
．
所以，曲线
在点
处的切线方程是
，整理得
．
（Ⅱ）解：
．
令，解得
或
．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）若，当变化时，的正负如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
因此，函数在处取得极小值
，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（2）若，当变化时，的正负如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（Ⅲ）证明：由，得
，当时，
，
．
由（Ⅱ）知，在
上是减函数，要使，
只要
即
①
设
，则函数在上的最大值为．
要使①式恒成立，必须
，即
或
．
所以，在区间
上存在
，使得对任意的恒成立．
（浙江理 22）
设
，对任意实数，记
．
（I）求函数
的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当时，
对任意正实数成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数
，使得
对任意正实数成立．
本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．
（I）解：
．
由
，得
．
因为当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
故所求函数的单调递增区间是
，
，
单调递减区间是
．
（II）证明：（i）方法一：
令
，则
，
当
时，由
，得
，
当
时，
，
所以在内的最小值是
．
故当时，对任意正实数成立．
方法二：
对任意固定的，令
，则
，
由
，得
．
当
时，．
当
时，，
所以当时，取得最大值
．
因此当时，对任意正实数成立．
（ii）方法一：
．
由（i）得，
对任意正实数成立．
即存在正实数
，使得
对任意正实数成立．
下面证明的唯一性：
当
，
，
时，
，
，
由（i）得，
，
再取
，得
，
所以
，
即时，不满足对任意都成立．
故有且仅有一个正实数，
使得
对任意正实数成立．
方法二：对任意，，
因为
关于的最大值是
，所以要使
对任意正实数成立的充分必要条件是：
，
即
， ①
又因为，不等式①成立的充分必要条件是，
所以有且仅有一个正实数，
使得对任意正实数成立．
(重庆理 20)
已知函数
(x>0)在x = 1处取得极值--3--c，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式
恒成立，求c的取值范围。
解：（I）由题意知
，因此
，从而．
又对求导得
．
由题意，因此
，解得
．
（II）由（I）知
（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为
．
（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使
（）恒成立，只需
．
即
，从而
，
解得
或
．
所以的取值范围为
．
（重庆文20）
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
（20）（本小题12分）
解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜
时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。