高考数学求线与面的角测试

一、求线与面的角

※直线与平面所成的角,是直线与平面的法向量所成的角（取锐角）的余角。

如图，已知PA为平面a的一条斜线，为平面a的一个法向量，过P作平面a的垂线PO，连结OA则ÐPAO为斜线PA和平面a所成的角记q，易得

　　　

则=

【例1】如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90⁰，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点。

（1）证明：DF//平面ABC（略）

（2）求AB与平面BDF所成角的大小。

（例1图）

解：以B为原点，BA、BC、BE所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系（如图）。设平面BDF的一个法向量　

，而

则得　 所以

又设AB与平面BDF所成角为，则法线与所成的角为

即，故AB与平面BDF所成的角为

 用法向量求解,不用作出AB与平面BDF所成的角,从而避开了作图的难度。

二、求线与面平行

※直线与平面平行是直线与平面的法向量垂直问题，只取和直线平行的向量，验证该向量和平面的法向量的内积是否为零即可。

【例2】如图，四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45⁰，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90⁰，PA=BC=AD=

（1）求证：平面PAC⊥平面PCD（略）

（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE//平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由。

解：分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）

则P(0,0,),C(,,0),D(0,2,0)

设在棱PD上存在点E坐标为(0,y,z),

则

（例2图）

是平面PAB的法向量，又

由CE//面PAB，

代入得

∴E是PD中点，

即存在点E使得CE//面PAB。

三、求二面角的大小

※如图在二面角中和分别为

平面a和b的法向量若二面角,记二面角的大小为q。

（ⅰ）若该二面角为锐二面角，则或(依据两平面法向量的方向而定)，但总有=，所以此时。

（ⅱ）若二面角为钝二面角，

则或

(依据两平面法向量的方向而定)，

但总有=

所以此时

【例3】已知三棱锥P-ABCD中PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，

∠BAD=60⁰，AB=2，PA=4，E为PC的中点。

(1)求证：平面BDE⊥平面ABCD

(2)求B-DE-C的大小

证明：（1）易证（略）

（2）设AC∩BD=O，连结OE，

以O为原点建立空间直角坐标系（如图）

由（1）得为平面EBD的法量，.

设平面CDE的法向量

,　所以B-DE-C为。

四、求点到面的距离

※如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面a的垂线PO，记PA和平面a所成的角为q，则点P到平面的距离为

【例4】设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),

求D到平面ABC的距离。

解：设平面ABC的法向量

 

即

∴点D到平面ABC的距离为

五、求异面直线的距离

※设L₁、L₂是两条异面直线，其公垂向量为，又C、D分别是L₁、L₂上任意一点，则

则L₁、L₂间的距离

【例5】已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为，求异面直线BD与B₁C的距离。

解：如图,建立空间直角坐标系，则

设DB与B₁C的公垂向量

（例5图）

则

令x=－1，则　又，

所以异面直线BD与B₁C的距离为.