高考数学难点互动达标提高测试卷
数学（文理合卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．由等式x4 + a1x3
+ a2x2 + a3x + a4
= ( x + 1 )4 + b1 ( x + 1 )3
+ b2 ( x + 1 )2 + b3 ( x
+ 1 ) + b4，定义映射f : ( a1, a2,
a, a4 ) → ( b1 ,b2, b3
,b4 )，则f ( 4, 3, 2 ) = ( )
A．（1，2，3，4） B．（0，3，4，0）
C．（–1，0，2，–2） D．（0，–3，4，–1）
2．如图，三棱锥P—ABC的高PO
= 8，AC = BC = 3，∠ACB = 30°，M、N分别在BC和PO上，且CM = x，PN = 2 cm，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥N —AMC的体积V与x ( x∈
)的变化关系的是（ ）
3．定义在实数集上的偶函数f ( x )，满足f
( x + 2 ) = f ( x )，且f ( x )在[ –3 ，–2 ]上单调递减，又
、
是锐角三角形的三个内角，则（ ）
A．f (
sin )＞f ( sin ) B．f (
cos )＜f ( cos )
C．f (
sin )＞f ( cos ) D．f (
sin ) ＜f (
cos )
4．已知P是以F1、F2为焦点的椭圆
+
=1 ( a＞b＞0 )上一点，若
·
= 0，tan∠PF1F2 =
，则此椭圆的离率为（ ）
A． B．
C．
D．
5．（理）甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别为
、、
，现三人各投篮一次至少有1人命中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
（文）5人随意排一排，如果甲不在左端，乙不在右端的概率是（ ）
A． B．
C．
D．
6．设MN为互相帮助垂直的异面直线a、b的公垂线，P为MN上不同于M、N的点，A、B分别为a、b上的点，则三角形APB为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．都有可能三角形
7．（理）设f ( x )、g ( x )在[ a , b ]上可导，且f′( x )＞g′( x )，则当a＜x＜b时，有（ ）
A．f ( x )＞g ( x ) B．f ( x )＜g ( x )
C．f ( x ) + g ( x )＞g ( x ) + f ( a ) D．f ( x ) + g ( b )＞g ( x ) + f ( b )
（文）曲线y = x3在点P处的切线斜率为k，当k = 3时的P点坐标为（ ）
A．（–2，–8） B．（–1，–1）或（1，1）
C．（2，8） D．（
）
8．将函数y =
( cos 3x – sin 3x )的图象沿向量a = ( h , 0 )平移，可以得到y = – sin 3x的图象，其中h = ( )
A．
B．
C．
D．
|
|
|
确定的平面区域内，则点N ( a + b , a – b
)所在平面区域的面积是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
10．给出四个函数，分别满足
①f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ②g ( x + y ) = g ( x )·g ( y )
③h ( x·y ) = h ( x ) + h ( y ) ④t ( x·y ) = t ( x ) + t ( y )
又给出四个函数图象
正确的匹配方案是（ ）
A．①—a,②—b,③—c,④—d B．①—b,②—c,③—a,④—d
C．①—c,②—a,③—b,④—d D．①—d,②—a,③—b,④—c
11．设{an}是等差数列，从{a1 , a2 ,…, a20}中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（ ）
A．90个 B．120个 C．180个 D．200个
12．已知f ( x ) = 3x–b ( 2≤x≤4 ,b为常数)的图象经过（2，1），则F (x ) = [f–1( x ) ]2 – f–1 ( x )2的值域为（ ）
A．[2，5] B．
C．[2，10] D．[2，13]
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上）
13．若函数f ( x )对任意实数x满足f (
x + 2 ) =
, 且f ( 1 ) = –5, 则f [f
( 5 )] =______。
14．f ( x ) sin4x –2sinx·cosx + cos4x , 则函数f ( x )的值域是_____________。
15．（理）某新品的次品率为5%，今在这产品中抽查200件，
表示抽到的次品数，则E=__________ 。
（文）某校一年级有甲、乙两班，甲班有40人，乙班有50人。一次考试中，甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是不是81分，则该校一年级的平均成绩是____________。
16．不等式 x –3 + y + 3 ≤2围成的图形的面积是_____________。
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解关于x的不等式：
＞x 。
18．（本小题满分12分）
波士顿 ( boston )的水位午夜12点是高潮位，水面高出海平面3.01 m，早晨低潮位，水面高出海平面0.01 m ；水位的变化呈周期性变化，试选择一个函数，描述水位的变化。
（1）写出函数的解析式；
（2）求出午后两点的水位。
19．如图所示，已知直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中AD⊥BD，AD = BD = a , E是CC1的中点，A1D⊥BE。
（1）求证：A1D⊥平面BDE ；
（2）求二面角E—BD—C的大小；
（3）求点B到平面A1DE的距离。
20．（本小题满分12分）
数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1 = 1 , an+1
=
( n≥1)
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn = 2n·an ，求{bn}的前n项和Tn 。
21．（本小题满分12分）
（理）已知函数f ( x ) = x2 + alnx + 1 , ( a≠0 ) 。
（1）若f ( x )在区间 ( 0 ， 2 )上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）函数y = f ( x )的图像上是否存在两条与直线y = 2x 平行或重合的切线，若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。
（文）已知a为实数，函数f ( x ) = （x2 –4 ）( x – a ).
（1）若函数y = f ( x ) 在 ( 0 , 2 )上是减函数a的取值范围；
（2）是否存在a的值，使y = f ( x )的切线与y = – 5x平行，若存在，求出a的值，若不存在，说明理由。
22．（本小题满分14分）
如图所示，过抛物线x2 = 4y的对称轴上任一点P ( 0 , m ) ( m＞0 )作直线抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。
（1）设点P分有向线段
⊥（
–
）；
（2）设直线AB的方程是x – 2y + 12 = 0 , 过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。
参考答案
1．D 2．A 3．C 4．D 5．（理）C （文）B 6．B 7．（理）C
（文）B 8．D 9．C 10．D 11．C 12．A
13．
14．
15．（理）10 （文）85
16．8
17．解：把原不等式变为
＞0 ，（3分）
∴当a = 0 ，原不等式的解集为（－∞，0） （6分）
a＞0时，原不等式的解集为（－∞，0）∪
（9分）
当a＜0时，原不等式的解集为（
，0）（12分）
18．解：（1）易选择y = A cos
t + B的解析式（2分）
进而求A
= 1.5 , =
, B = 1.51。所以函数解析式为：
y
= 1.5 cost +1.51 。（8分）
（2）由（1）可知当t = 14时，
y = 1.5 cos (×14 ) + 1.51 = 1.5×+ 1.51 = 2.26 （m）
所以，午后两点水位高出海平面2.26 m （12分）
19．（1）
，
又A1D⊥BE，所以A1D⊥面BDE 。（4分）
（2）连接如图所示B1C ，
|
|
EC⊥面ABCD
EC⊥BD
为二面角E—BD—C的平面角。由△BB1C∽△CBE
可得EC
=
，
所以tan∠EBC =，∠EBC = arctan（8分）
（3）连接DE，作HB垂直DF于H，则易证BH⊥面DA1E，BH的长即为所求。在直角三角形BDE中，易求得BH =
。也可用VB–A1DE = VE –A1DB 求解。（12分）
20．解：（1）
= Sn ，( n≥1) 
= Sn–1 ( n≥1 )
∴
–= an , （
n≥2 ） 。（4分）
整理得：an+1 =
，（n≥2） ，
an
= 
， （3分）
an–1
=
…
a3
=
各式相乘得：an =
（n≥3）
由已知可得a2 = 2 , a1 = 1 ， 所以an = n , ( n ≥1) （6分）
（2）bn = 2n ·n，由错位相减法可得Tn = ( n – 1 )·2n+1 + 2 （12分）
21．解：（理）f′( x )
= 2x + 
，
（1）由题意有f′( x )≤0在x∈（0，2）上恒成立。
所以当x∈（0，2）时，2x +≤0恒成立。
即：x∈（0，2）时，a≤– 2x2∈（－∞，0）
所以a≤– 8（6分）
（2）假设存在与y = 2x平行或重合的切线，则2x + = 2有正根。
即：方程a
= – 2x2 + 2x = –2
+有正数解。（8分）
当a＞时，不存在满足条件的切线；
当a =时，存在一条满足条件的切线；
当0＜a＜时，存在两条满足条件的切线；
当a＜0时，存在一条满足条件的切线。（12分）
（文）f′( x ) = 3x2 – 2ax – 4 ，
（1）由题意：f′( x )≤0在x∈（0，2）上恒成立。
|
|
解之得a≥2 （6分）
（2）假设存在满足条件的a的值，则关于x的一元二次方程
3x2 – 2ax – 4 = –5 有解，即△= 4a2 –12≥0成立，
所以a≥
或a≤
。（12分）
22．解：（1）依题意，可设直线AB的方程为y = kx + m ,代入抛物线方程x2 = 4y得
x2 – 4kx – 4m – 0 ① （2分）
设A，B两点的坐标分别是( x1，y1 ) , ( x2，y2 )，则x1, x2是方程①的两根，所以x1x2 = – 4 m，由点P ( 0 , m ) 分有向线段
所成的比为，得
= 0，即= –
，又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是 ( 0 , m ) ，从而= ( 0, 2m )。
= ( x1 , y1 + m )
–( x2 , y2 + m ) =
( x1 –x2 , y1 + ( 1 –) m ) 。
= 2m [y1
–y2 + ( 1 –) m ]
=
2m 
=2m
( x1 + x2 )·
= 0
所以
。（7分）
（2）由
得点A、B的坐标分别是（–4 ，4）和（6，9）
由x2 = 4y得y = 
,
所以折射线x2 =
4y在点A处切线的斜率为y′ x = – 4
= –2 （9分）
设圆C的方程是(x – a )2 + ( y – b )2 = r2
则
解之得
r2
= ( a + 4 )2 + ( b – 4 )2 =
所以圆C的方程是( x –1 )2 + 
即x2 + y2 –2x –13y + 12 = 0 （14分）