专题十五 圆锥曲线综合问题
1．
已知向量
，
，
（其中
，
是实数），又设向量
，
，且
，点
的轨迹为曲线C．
⑴ 求曲线
的方程；
⑵ 设曲线与轴的正半轴的交点为
，过点作一条直线
与曲线交于另一点
，当
时，求直线的方程．
2．
如图所示，已知点
，
、两点分别在轴和轴上运动，并且满足
，
．
⑴ 求动点
的轨迹方程；
⑵ 设过点
的直线与的轨迹交于
、
两点，设
，求直线
、
的斜率之和．
3．
已知
、
，点、点
满足
，
，
⑴ 求点的轨迹方程；
⑵ 过点作直线交以、为焦点的椭圆于、两点，线段
的中点到轴的距离为
，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程．
4．
椭圆
的焦点在轴上，其右顶点关于直线
的对称点在椭圆的左准线上．
⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 过椭圆左焦点的直线交椭圆于、两点，交椭圆左准线于点．设
为坐标原点，且
，求
的面积．
5．
已知为坐标原点，点、的坐标分别为
和
，点、
、运动时满足
，
，
，
．
⑴求动点的轨迹的方程；
⑵ 设、是上两点，若
，求直线的方程．
6．
双曲线
的离心率为
，、分别是双曲线的左顶点、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于、两点，交轴于
点，
、
分别交右准线于、两点．
⑴ 若
，求直线的斜率；
⑵ 证明：、两点的纵坐标之积为
．
1．
⑴由已知，
即所求曲线的方程是：
⑵由（I）求得点M（0，1），显然直线l与x轴不垂直，
故可设直线l的方程为y=kx+1.
由
解得x1=0, x2=
分别为M，N的横坐标）.
由
所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.
2．
⑴ 
……2分
由已知
……………………4分
…………5分
⑵ 设过点A的直线为
、F(x2,y2)
联立方程组
……7分
y1y2=12p2………………8分
…………10分
， 所以
…………………………13分
由y1y2=12p2,得
=0…………14分
3．
⑴ 设、点的坐标分别为
，
，则：
，
，
，解得
，即
，即为点的轨迹方程
⑵ 易知直线与轴不垂直，设直线的方程为
①.
又设椭圆方程为
②.
因为直线与圆
相切，故
，解得
将①代入②整理得，
，
而，即
，
设
，
，则
，
由题意有
，求得
，经检验，此时
故所求的椭圆方程为
4．
⑴ 椭圆的右顶点为
（2，0），
设关于直线的对称点为
，
则
，解得
，
，
，所求椭圆方程为
⑵ 设A
由
所以
………① ，
………②
因为，即
，
所以
……③
由①③得
代入②得，
，整理得
所以
所以
由于对称性，只需求
时，△OAB的面积.
此时，
所以
5．
⑴ 为AF的中点.
是
的垂直平分线 
A、E、P三点共线
P为AF的垂直平分线与AE的交点
∴ 点P的轨迹为椭圆，且
，
，
∴ 所求的椭圆方程为
⑵ 设两交点的坐标为
、
则
，
由已知可得：
，
由上式可组成方程组为
把⑶、⑷代入⑴得
⑸
⑸ — ⑵×4得
，把代入⑵得
直线MN与x轴显然不垂直，
∴ 所求直线MN的斜率
∴ 所求的直线MN的方程为
6．
⑴ 解：设
，
，因为双曲线的离心率为，
所以
，
，双曲线方程为
，
因为，所以
，
因为直线
，所以
，
点Q是双曲线上一点，所以
，
整理得，
，解得
⑵ 证明：设，
由已知
，
，
所以
，
，
所以
，
由
，得
所以
，
，
所以，