高中毕业班数学全国统一考试试题
数学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．
参考公式：
·如果事件
互斥，那么 球的表面积公式
·如果事件相互独立，那么 其中
表示球的半径
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
是虚数单位，
（ ）
Ａ．
Ｂ． 
Ｃ．
Ｄ．
2．设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值为（ ）
Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14
3．“
”是“
”的（ ）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
4．设双曲线
的离心率为
，且它的一条准线与抛物线
的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
5．函数
的反函数是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
6．设
为两条直线，
为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
Ａ．若与
所成的角相等，则
Ｂ．若
，
，则
Ｃ．若
，则
Ｄ．若
，
，则
7．在
上定义的函数
是偶函数，且
，若在区间
上是减函数，则（ ）
Ａ．在区间
上是增函数，在区间
上是增函数
Ｂ．在区间上是增函数，在区间上是减函数
Ｃ．在区间上是减函数，在区间上是增函数
Ｄ．在区间上是减函数，在区间上是减函数
8．设等差数列
的公差
不为0，
．若
是
与
的等比中项，则
（ ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
9．设
均为正数，且
，
，
．则（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
10．设两个向量
和
，其中
为实数．若
，中央电视台
的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
高中毕业班数学全国统一考试试题
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答案前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共12小题，共100分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．
11．若
的二项展开式中
的系数为
，则
（用数字作答）．
12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
13．设等差数列的公差是2，前
项的和为
，则
．
14．已知两圆
和
相交于两点，则直线
的方程是 ．
15．如图，在
中，
，
是边
上一点，
，则
．
16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数
．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间
上的最小值和最大值．
18．（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设
为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
是
的中点．
（Ⅰ）证明
；
（Ⅱ）证明
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的大小．
20．（本小题满分12分）
已知函数
，其中
．
（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）当
时，求函数的单调区间与极值．
21．（本小题满分14分）
在数列中，
，其中
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明存在
，使得
对任意
均成立．
22．（本小题满分14分）
设椭圆
的左、右焦点分别为
是椭圆上的一点，
，原点
到直线
的距离为
．
（Ⅰ）证明
；
（Ⅱ）设
为椭圆上的两个动点，
，过原点作直线
的垂线
，垂足为，求点的轨迹方程．
数学（理工类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ
6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．
11．2 12．
13．3
14．
15．
16．390
三、解答题
17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数
的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：
．
因此，函数的最小正周期为
．
（Ⅱ）解法一：因为
在区间
上为增函数，在区间
上为减函数，又
，
，
，
故函数在区间上的最大值为
，最小值为
．
解法二：作函数在长度为一个周期的区间
上的图象如下：
由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为
．
18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件
，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件
．由于事件相互独立，且
，
．
故取出的4个球均为黑球的概率为
．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件
，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件
互斥，
且
，
．
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为
．
（Ⅲ）解：可能的取值为
．由（Ⅰ），（Ⅱ）得
，
，
．从而
．
的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
|
的数学期望
．
19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，
平面，故
．
，
平面
．
而
平面，
．
（Ⅱ）证明：由，
，可得
．
是的中点，
．
由（Ⅰ）知，
，且
，所以
平面
．
而
平面，
．
底面
在底面内的射影是
，
，
．
又
，综上得平面．
（Ⅲ）解法一：过点作
，垂足为
，连结
．则（Ⅱ）知，平面，
在平面内的射影是，则
．
因此
是二面角的平面角．
由已知，得
．设
，
可得
．
在
中，
，
，
则
．
在
中，
．
所以二面角的大小是
．
解法二：由题设底面，
平面
，则平面
平面
，交线为．
过点作
，垂足为
，故
平面．过点作
，垂足为，连结
，故
．因此
是二面角的平面角．
由已知，可得，设，
可得
．
，
．
于是，
．
在
中，
．
所以二面角的大小是
．
20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）解：当时，
，
，
又
，
．
所以，曲线在点处的切线方程为
，
即
．
（Ⅱ）解：
．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当
时，令
，得到
，
．当
变化时，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
|
|
| 极小值 |
| 极大值 |
|
所以在区间
，
内为减函数，在区间
内为增函数．
函数在处取得极小值
，且
，
函数在
处取得极大值
，且
．
（2）当
时，令，得到
，当变化时，的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
|
|
| 极大值 |
| 极小值 |
|
所以在区间
，
内为增函数，在区间
内为减函数．
函数在
处取得极大值，且．
函数在
处取得极小值，且．
21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解法一：
，
，
．
由此可猜想出数列的通项公式为
．
以下用数学归纳法证明．
（1）当
时，
，等式成立．
（2）假设当
时等式成立，即
，
那么
．
这就是说，当
时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．
解法二：由
，，
可得
，
所以
为等差数列，其公差为1，首项为0，故
，所以数列的通项公式为．
（Ⅱ）解：设
， ①
②
当
时，①式减去②式，
得
，
．
这时数列的前项和
．
当
时，
．这时数列的前项和
．
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列
的第一项
最大，下面证明：
． ③
由知
，要使③式成立，只要
，
因为
．
所以③式成立．
因此，存在
，使得
对任意均成立．
22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设及
，
，不妨设点
，其中
．由于点在椭圆上，有
，即
．
解得
，从而得到
．
直线的方程为
，整理得
．
由题设，原点到直线的距离为，即
，
将
代入上式并化简得
，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为
．
过点作
，垂足为，易知
，故
．
由椭圆定义得
，又
，
所以
，
解得
，而
，得
，即．
（Ⅱ）解法一：设点的坐标为
．
当
时，由
知，直线的斜率为
，所以直线的方程为
，或
，其中
，
．
点
的坐标满足方程组
将①式代入②式，得
，
整理得
，
于是
，
．
由①式得
．
由知
．将③式和④式代入得
，
．
将
代入上式，整理得
．
当
时，直线的方程为
，的坐标满足方程组
所以
，
．
由知，即
，
解得
．
这时，点的坐标仍满足．
综上，点的轨迹方程为 
．
解法二：设点的坐标为，直线的方程为
，由，垂足为，可知直线的方程为
．
记
（显然
），点的坐标满足方程组
由①式得
． ③
由②式得
． ④
将③式代入④式得
．
整理得
，
于是
． ⑤
由①式得
． ⑥
由②式得
． ⑦
将⑥式代入⑦式得
，
整理得
，
于是
． ⑧
由知．将⑤式和⑧式代入得
，
．
将代入上式，得．
所以，点的轨迹方程为．