高中毕业班数学全国统一考试试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．
参考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件相互独立，那么
其中
表示球的半径
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值为（ ）
Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．14
（3） “
”是“直线
平行于直线
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（4）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
（5）函数
的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
（6）设
为两条直线，
为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若与
所成的角相等，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，，则
D．若
，
，
，则
（7）设双曲线
的离心率为
，且它的一条准线与抛物线
的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（8）设等差数列
的公差
不为0，
．若
是
与
的等比中项，则
（ ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
（9）设函数
，则
（ ）
A．在区间
上是增函数 B．在区间
上是减函数
C．在区间
上是增函数 D．在区间
上是减函数
（10）设是定义在
上的奇函数，且当
时，
，若对任意的
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共12小题，共100分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
（11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
| 分组 |
|
|
|
|
|
|
| 频数 | 1 | 2 | 3 | 10 | 1 |
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％．
（12）
的二项展开式中常数项是
（用数字作答）．
（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为
，
，
，则此球的表面积为 ．
（14）已知两圆
和
相交于
两点，则直线
的方程是 ．
（15）在
中，
，
，
是边
的中点，则
．
（16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
在中，已知
，
，
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值．
（18）（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
是
的中点．
（Ⅰ）求
和平面
所成的角的大小；
（Ⅱ）证明
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的大小．
（20）（本小题满分12分）
在数列中，
，
，
．
（Ⅰ）证明数列
是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前
项和
；
（Ⅲ）证明不等式
，对任意皆成立．
（21）（本小题满分14分）
设函数
（
），其中
．
（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）当
时，求函数的极大值和极小值；
（Ⅲ）当
时，证明存在
，使得不等式
对任意的恒成立．
（22）（本小题满分14分）
设椭圆
的左、右焦点分别为
是椭圆上的一点，
，原点
到直线
的距离为
．
（Ⅰ）证明
；
（Ⅱ）求
使得下述命题成立：设圆
上任意点
处的切线交椭圆于
，
两点，则
．
高中毕业班数学全国统一考试试题
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C
（6）D （7）D （8）B （9）A （10）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
三、解答题
（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在中，
，由正弦定理，
．
所以
．
（Ⅱ）解：因为，所以角
为钝角，从而角
为锐角，于是
，
，
．
．
（18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件．由于事件相互独立，且
，
，
故取出的4个球均为红球的概率是
．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件
，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件．由于事件
互斥，且
，
．
故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为
．
（19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，
平面，故
．
又
，
，从而
平面．故在平面内的射影为
，从而
为和平面所成的角．
在
中，
，故
．
所以和平面所成的角的大小为
．
（Ⅱ）证明：在四棱锥中，
因底面，
平面，故
．
由条件
，
，
面
．
又
面，
．
由
，
，可得
．
是的中点，
，
．综上得平面．
（Ⅲ）解：过点作
，垂足为
，连结
．由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是
，则
．
因此
是二面角的平面角．
由已知，可得
．设
，可得
，
，
，
．
在
中，
，
，则
．
在
中，
．
所以二面角的大小
．
（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：由题设，得
，．
又
，所以数列是首项为，且公比为
的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知
，于是数列的通项公式为
．
所以数列的前项和
．
（Ⅲ）证明：对任意的，
．
所以不等式，对任意皆成立．
（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
（Ⅰ）解：当时，
，得
，且
，
．
所以，曲线
在点
处的切线方程是
，整理得
．
（Ⅱ）解：
．
令
，解得
或
．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）若
，当
变化时，
的正负如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
因此，函数在处取得极小值
，且
；
函数在处取得极大值
，且
．
（2）若
，当变化时，的正负如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（Ⅲ）证明：由，得
，当时，
，
．
由（Ⅱ）知，在
上是减函数，要使，
只要
即
①
设
，则函数
在上的最大值为．
要使①式恒成立，必须
，即
或
．
所以，在区间
上存在
，使得对任意的恒成立．
（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设及
，
，不妨设点
，其中
，由于点在椭圆上，有
，
，
解得
，从而得到
，
直线
的方程为
，整理得
．
由题设，原点到直线的距离为，即
，
将
代入原式并化简得
，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为
，
过点作
，垂足为
，易知
，故
由椭圆定义得
，又
，所以
，
解得
，而
，得
，即．
（Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为
．
当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点
，
的坐标是方程组
的解．当
时，由①式得
代入②式，得
，即
，
于是
，
．
若，则
．
所以，
．由
，得
．在区间
内此方程的解为
．
当
时，必有
，同理求得在区间内的解为．
另一方面，当时，可推出
，从而．
综上所述，
使得所述命题成立．