高中毕业班数学全国统一考试试题
数学（理工类）
第I卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）“
”是“
”的（ ）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分不必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
（2）若函数
，
（其中
，
）的最小正周期是
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
（3）直线
关于直线
对称的直线方程是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（5）已知随机变量
服从正态分布
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D，
（6）若
两条异面直线
外的任意一点，则（ ）
Ａ．过点有且仅有一条直线与都平行
Ｂ．过点有且仅有一条直线与都垂直
Ｃ．过点有且仅有一条直线与都相交
Ｄ．过点有且仅有一条直线与都异面
（7）若非零向量
满足
，则（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ． 
（8）设
是函数
的导函数，将
和
的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
 |
（9）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，是准线上一点，且
，
，则双曲线的离心率是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（10）设
是二次函数，若
的值域是
，则的值域是（ ）
A．
B．
C． D．
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
（11）已知复数
，
，则复数
．
（12）已知
，且
，则
的值是
．
（13）不等式
的解集是
．
（14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）．
（15）随机变量的分布列如下：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
其中
成等差数列，若
，则
的值是
．
（16）已知点
在二面角
的棱上，点在
内，且
．若对于
内异于的任意一点
，都有
，则二面角的大小是 ．
（17）设
为实数，若
，则的取值范围是
．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（18）（本题14分）已知
的周长为
，且
．
（I）求边
的长；
（II）若的面积为
，求角
的度数．
（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，
平面
，
平面，
，且
，
是的中点．
（I）求证：
；
（II）求
与平面
所成的角．
（20）（本题14分）如图，直线
与椭圆
交于
两点，记
的面积为
．
（I）求在
，
的条件下，的最大值；
（II）当
，
时，求直线的方程．
（21）（本题15分）已知数列
中的相邻两项
是关于
的方程
的两个根，且
．
（I）求
，
，
，
；
（II）求数列的前
项和
；
（Ⅲ）记
，
，
求证：
．
（22）（本题15分）设
，对任意实数
，记
．
（I）求函数
的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当
时，
对任意正实数成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数
，使得
对任意正实数成立．
数学（理工类）答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
（1）A （2）D （3）D （4）B （5）A
（6）B （7）C （8）D （9）B （10）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
三、解答题
（18）解：（I）由题意及正弦定理，得
，
，
两式相减，得
．
（II）由的面积
，得
，
由余弦定理，得
，
所以
．
（19）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分．
方法一：
（I）证明：因为
，是的中点，
所以
．
又平面，
所以．
（II）解：过点作
平面，垂足是
，连结
交延长交
于点
，连结
，
．
是直线和平面所成的角．
因为平面，
所以
，
又因为
平面
，
所以
，
则
平面
，因此
．
设
，
，
在直角梯形
中，
，是的中点，
所以
，
，
，
得
是直角三角形，其中
，
所以
．
在
中，
，
所以
，
故与平面所成的角是
．
方法二：
如图，以点为坐标原点，以
，
分别为轴和
轴，过点作与平面垂直的直线为
轴，建立直角坐标系
，设，则
，
，
．
，
．
（I）证明：因为
，
，
所以
，
故
．
（II）解：设向量
与平面垂直，则
，
，
即
，
．
因为
，
，
所以
，
，
即
，
，
直线与平面所成的角
是
与
夹角的余角，
所以
，
因此直线与平面所成的角是．
（20）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设点
的坐标为
，点
的坐标为
，
由
，解得
，
所以
．
当且仅当
时，取到最大值．
（Ⅱ）解：由
得
，
，
．
②
设到的距离为
，则
，
又因为
，
所以
，代入②式并整理，得
，
解得
，
，代入①式检验，
，
故直线的方程是
或
或
，或
．
21．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．
（I）解：方程的两个根为
，
，
当
时，
，
所以
；
当
时，
，
，
所以
；
当
时，
，
，
所以
时；
当
时，
，
，
所以
．
（II）解：
．
（III）证明：
，
所以
，
．
当
时，
，
，
同时，
．
综上，当
时，
．
22．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．
（I）解：
．
由
，得
．
因为当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
故所求函数的单调递增区间是
，
，
单调递减区间是
．
（II）证明：（i）方法一：
令
，则
，
当
时，由
，得
，
当
时，
，
所以
在
内的最小值是
．
故当时，对任意正实数成立．
方法二：
对任意固定的，令
，则
，
由
，得
．
当
时，
．
当
时，
，
所以当时，
取得最大值
．
因此当时，
对任意正实数成立．
（ii）方法一：
．
由（i）得，
对任意正实数成立．
即存在正实数
，使得
对任意正实数成立．
下面证明的唯一性：
当
，
，
时，
，
，
由（i）得，
，
再取
，得
，
所以
，
即时，不满足对任意都成立．
故有且仅有一个正实数，
使得
对任意正实数成立．
方法二：对任意，，
因为
关于的最大值是
，所以要使
对任意正实数成立的充分必要条件是：
，
即
， ①
又因为，不等式①成立的充分必要条件是，
所以有且仅有一个正实数，
使得对任意正实数成立．