高中毕业班数学质量检查试题
数学（理工农医类）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上。
2．答题要求，见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率
其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合
，
，则
为
A．
B．
C．
D．
2．复数
，
，则
A．
B．
C．
D．
3．一个田径队，有男运动员30人，女运动员20人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为10的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽
A．3人 B．4人 C．5人 D．6人
4．要得到函数
的图象，需将函数
的图象
A．向左平移
个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移个单位
5．若随机变量
的分布列是：
|
| 1 | 3 | 5 |
|
| 0．2 | 0．6 |
|
则其数学期望
等于
A．1 B．
C．
D．3
6．已知
的一条渐近线方程为
，则双曲线的离心率为
A．
B．
C． 
D．
7．已知函数
，且
的解集为
，则函数
的图象大致是
 |  |  |  | ||||
A B C D
8．设
、
为不同的直线，
为平面，且
，下列为假命题的是
A．若
，则
B．若
，则
C．若，则
D．若，则
9．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为
，乙及格的概率为
，丙及格的概率为
，三人各自检测一次，则三人中至少一人及格的概率为
A．
B．
C．
D．
10．若把英语单词“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误的种数是
A．59 B．60 C．119 D．120
11．已知
是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的
，
，满足关系式：
，则
的奇偶性为
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数
12．已知
、
是椭圆
的两个焦点，P是椭圆上的一点，若
的内切圆半径为1，则点P到
轴的距离为
A．
B．
C．3
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡对应题号的横线上。
13．在
的展开式中，常数项是
（用数字作答）。
14．函数
，
的反函数是
。
15．球面上三点A、B、C，AB=AC=BC=3，若球心到截面ABC的距离等于球半径的一半，则球的表面积为 。
16．定义运算*
为：*
，例如：1*2=1，则函数
*
的值域为
。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知向量
，
。
记函数
，若函数 的最小正周期为
。
（1）求
；
（2）求函数的最大值，并求此时的值。
18．（本小题满分12分）
已知函数
的图象与直线
相切于点
。
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间和极小值。
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中， AA1=4，AB=5，BC=3，AC=4，D为CC1的中点。
（1）求异面直线AD与A1B1所成角的余弦值；
（2）试在线段AB上找一点E，使得：A1E⊥AD；
（3）求点D到平面B1C1E的距离。
20．（本小题满分12分）
某高速公路指挥部接到通知，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道临时堤坝，以防山洪淹没正在紧张施工的隧道工程。经测算，除现有施工人员外，还须调用翻斗车搬运立方米的土方。已知每辆翻斗车每小时可搬运的土方量为
，指挥部可调用25辆上述型号的翻斗车，但其中只有一辆可以立即投入施工，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工。
（1）从第一辆车投入施工算起，第25辆车须多久才能到达？
（2）24小时内能否完成防洪堤坝工程？请说明理由。
21．（本小题满分12分）
已知抛物线的顶点在原点，焦点F在轴上。M为抛物线上的点，M的横坐标为2，且MF=3。
（1）求此抛物线的方程；
（2）如图，过轴正半轴上任一点
作直线与此抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。点P分有向线段
所成的比为
。
求证：
。
22．（本小题满分14分）
已知函数
，若的定义域为[－1，0]，值域也为
[－1，0]。
（1）求出符合条件的函数的表达式；
（2）若数列
的前项和为
，数列
的前项和为
，试求
；
（3）若数列
满足
，记数列的前项和为
，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有
？并证明你的结论。
参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．A 2．D 3．D 4．B 5．D 6．C 7．C 8．B 9．B 10．A 11．A 12．B
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
13．495 14．
15．16 16．
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
17．解：∵，
∴
………………………2分
………………………4分
………………………6分
（1）∵函数的最小正周期
，
∴
，∴
………………………8分
（2）当
时，函数取得最大值
，
此时，
，解得
……………12分
18．解：（1）∵，∴
， ……2分
∵函数在
处的切线方程为
，
∴
，∴
……………………………………………………5分
（2）∵点在直线上， ∴
，∴
，
∵
在
的图象上，∴
，
∴
…………………………………………7分
由（1）得：
，
令
，则
，因此函数的单调递增区间为（1，+∞），……9分
令
，则
，因此函数的单调递减区间为（－1，1）
∴当
时，函数取得极小值
………………………………………12分
19．解：（1）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，
（1）∵
，
∴
（或其补角）为异面直线AD与A1B1所成的角，
………………………2分，连结BD，
在
中，∵AC=4，
∴
，
在
中，∵BC=3，CD=2，∴
，
在△ABD中，∵AB=5，
∴异面直线AD与A1B1所成角的余弦值为
………………………………4分
（2）证明：∵AB=5，BC=3，AC=4，∴
，
∵底面ABC⊥侧面ACC1A1，∴BC⊥侧面ACC1A1，………………………………6分
取AB、AC的中点E、F，连结EF、A1F，则EF//BC，
∴EF⊥平面ACC1A1， ∴A1F为A1E在侧面AC1内的射影，
在正方形C1CAA1内，∵ D、F分别为CC1、AC的中点，
∴≌
，∴
，
∴
，∴
，
∴
（三垂线定理）………………8分
（3）连结
，过D作DH⊥，垂足为H。
∵EF//BC，BC//B1C1，∴EF// B1C1，∴点F在平面B1C1E内。
∵EF⊥平面ACC1A1，
平面ACC1A1，EF⊥DH，………………10分
∵
，
，∴DH⊥平面B1C1E。
在
中，∵
，∴
。……………12分
20．解：（1）设从第一辆车投入施工算起，各车到达时间依此为
、
、…、
，依题意，它们组成一个首项为0，公差为
（小时）的等差数列，…………3分
则=+24d，∴=24×=8，
答：第25辆车须8小时后才能到达。………………6分
（2）设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间依次为
、
、…、
，依题意，它们组成一个公差为－（小时）的等差数列，且
………………8分
∵每辆车每小时的工作效率为
，∴
即
，……………………10分
又∵
，∴
，即
，
由于
，可见的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成。
答：24小时内能完成防洪堤坝。………………………………………………12分
21．（本小题满分12分）。
（1）解：依题意，可设所求抛物线方程为：
则抛物线的准线方程为：
，∴点M（2，y）到准线的距离
，……2分
由抛物线定义知：
，故
，∴
，
故所求抛物线方程为：
。………………4分
（2）证明：依题意，可设直线AB的方程为
，代入抛物线方程得：
，①
设A、B两点的坐标分别是
、
，则
、
是方程①的两根，
∵
，∴
………………6分
由点
分有向线段所成的比为得：
，即
，
又点Q是点关于原点的对称点，故点Q的坐标是
，从而
，
∵
，
∴
…………………………………9分
，
∴
。………………………………………12分。
22．解：（1）
，
∵
，∴
，故当时，
。……………………………2分
若
，∴
，则
，∴
若
，则
，则
，∴（舍去）
故
……………………………………4分
（2）当
时，
，
当
时，
∴
…………………………………………………6分
∴
，
∴
∴
……………………………………………9分
（3）∵
……………………………………………10分
∴
，
∵
，
，…………
，
故当
时，
，
因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，
则当
时，必有
。
故不存在常数A使对所有
的正整数恒成立。……………………14分