08届高考数学（文理科）模拟卷(一)
命题人：徐唐藩 校对：蒋李萍 方肇飞 编审：高三数学组
第(Ⅰ)卷 (选择题 共60分)
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)
1.已知非空集合
、
、
都是全集
的子集,且
,则( ).
A.
B.
C.
D.
2.(文)在检查产品尺寸过程中,将其尺寸分成若干组,
是其中一组,抽查出的个体在该组上频率
为
,该组上的直方图的高为
,则
( ).
A.
B. 
C. 
D.
(理)在某学校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的成绩近似服从正态分布
.已知成绩在
分以上(含分)的学生有
名,则此次竞赛的学生总人数约( )人.
(参考数据：
)
A.
B.
C.
D.
3.“
”是 “
”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.等比数列中,
,则
的值为( ).
A.
B.
C.
D.
5.已知
,且
,其中
,则关于
的值,以下四个答案中,可能正确
的是( ).
A.
B.
或
C.
D.或
6.(文)若
的展开式中含有常数项,则这样的正整数
的最小值是( ).
A.
B.
C.
D.
(理)函数
在
处连续,则
的值为( ).
A.
B.
C.
D.
7.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的个数为( ).
A.
B.
C.
D.多于个
8.已知实数
满足不等式组
,且
的最小值为,则实常数的
取值范围是( ).
A.
B.
C.
D.
9.在正方体
中,
分别为
和
的中点,则
与平面
所成的角
为( ).
A.
B.
C.
D.
10.(文)设双曲线
的右准线与两条渐近线交于
、
两点,右焦点为
,且
,则双曲线的离心率为( ).
A.
B.
C.
D.
(理)设双曲线
的左、右焦点为
、
,若该双曲线上有一点
到点的距离为
,且
的内切圆圆心
的横坐标为
,则该双曲线的离心率为( ).
A.
B.
C.
D.
11.设
为
的内心,当
,
,
时,
,则
( ).
A.
B.
C.
D.
12.(文)已知二次函数
的值域是
,那么
的最大值是( ).
A.
B.
C.
D.
(理)已知二次函数的值域是,那么
的最小值是( ).
A.
B.
C.
D.
第(Ⅱ)卷 (非选择题 共90分)
二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
13.已知函数
,且
,则函数
的值域为
.
14.(文)已知抛物线
,过点
的直线与抛物线交于两点
,则
的
最小值为.
(理)已知抛物线上的点到抛物线的准线距离为
,到直线
的距离为
,
则
的最小值为.
15.如果一个三位数
满足
且
,则称这样的三位数为“非凸数”(如
等),
那么所有非凸数的个数是.
16.有两个相同的直三棱柱,高为
,底面三角形的三边长
分别为
、
、
.用它们拼成一个三棱柱
或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个
四棱柱,则
的取值范围是.
三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知三内角、、
成等差数列,
,
.
(Ⅰ)若
,判断形状；
(Ⅱ)求
取得最大值时三内角的大小.
18.(本小题满分12分)(文)已知函数
.
(Ⅰ)当
时,若满足
,
,试求的解析式；
(Ⅱ)当
时,
图象上的任意一点处的切线斜率
恒成立,求的取值范围.
(理)已知函数
.
(Ⅰ)求在
上的极值；
(Ⅱ)若对任意
,不等式
成立,求实数的取值范围.
19.(本小题满分12分)(文)在中国红歌会的全国十强歌手中,有男歌手人,女歌手
人,另一名为三
人组合歌手.现从中任选名歌手参加某专场演出.
(Ⅰ)求三人组合歌手参加演出的概率；
(Ⅱ)求至多有名男歌手参加演出的概率.
(理)盒中有张卡片,其中
张写有字母,张写有字母,每次从中任取张卡片,直到取出卡
片为止.
(Ⅰ)若不放回抽取卡片,求取卡片次数的期望和方差；
(Ⅱ)若有放回抽取卡片,求取卡片次数的分布列和期望值.
20.(本小题满分12分)如图,已知正三棱柱
中,
,
,点
、
、分别在
棱
、
、
上,且
.
(Ⅰ)求平面
与平面
所成锐二面角的大小；
(Ⅱ)求点
到平面的距离..
21.(本小题满分12分)(文)已知数列
是首项
,公比
的等比数列.设
,且
,
.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设
的前项和为
,求当
最大时的值.
(理)已知数列与有如下关系：
,
,
.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)令
求数列
的通项公式；
(Ⅲ)设
是数列的前项和,当
时,求证
.
22.(本小题满分14分)(文)椭圆
左、右焦点分别为、,是椭圆上一点,
,设
.
(Ⅰ)求椭圆离心率
和
的关系式；
(Ⅱ)设是离心率最小的椭圆上的动点,若
的最大值为
,求椭圆的方程.
(理)椭圆左、右焦点分别为、,是椭圆上一点,,
设
.
(Ⅰ)求椭圆离心率和的关系式；
(Ⅱ)过点离心率最小的椭圆的切线,交
轴于点,求证：
.
参考答案
命题人：徐唐藩 校对：涂彩琴 方肇飞 编审：高三数学组
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | 文B 理B | B | A | C | 文B 理D | C | B | C | 文D 理A | B | 文A 理B |
提示：(文)
12.(文)由二次函数的值域是,得且
,∴
且
,
.∴
.当
时取等号.
(理)提示：由二次函数的值域是,得且,∴且
,.∴
.
当时取等号.
二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
13.
14.(文) (理)
15.
16.
三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由、、成等差数列及
,知
.
∵,∴
.由、、为三角形
内角,且
,∴
,故为等边三角形.
(Ⅱ)
,
∴当
时,取得最大值,此时,
,.
18.(本小题满分12分)(文) 解：(Ⅰ)由
,得
或
.
当,变化时,
、的变化如下表：
|
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∴
,
,解得
,
.∴
.
(Ⅱ)由题意,时,恒有
,即
恒成立.∵
,当且仅当
时取等号,∴
,故的取值范围为
.
(理)解：(Ⅰ)
,令
得
或
(舍去)
∴当
时,
单调递增；当
时,
单调递减.
∴
为函数在上的极大值.
(Ⅱ)由得,
或
.
设
,
,依题意知
或
在上恒成立, ∵
,
,∴
与
都在
上单增,要使不等式①
成立,当且仅当
或
,即
或
.
19.(本小题满分12分)(文)解：(Ⅰ)
.
(Ⅱ)
或
.
(理)解：(Ⅰ)取卡片次数
的可能值为
.∴
. 
,
,
.故
.
.
(Ⅱ)设有放回抽取卡片时,取卡片次数为
,则的可能值为
.
∵
,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∴的分布列为：
∴
.
20.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)延长
、
相交于点
,连结
,则二面角
的大小为所求.作
于点,连结
,由三垂线定理知
.∴
为所求二面角的大小.由已知
,
,
.由余弦定理得,
.
∴
,可得
.
在
中,
,则所求角为
.
(Ⅱ)由已知矩形
的面积为
,
,
,
,
∴
.取
的中点
,则
.
作
交
于点
,可得
,∴
平面
,
.由
,
,得
.设所求距离为
,则由
得,
,∴
为所求.
21.(本小题满分12分)
(文)解：(Ⅰ)
.∵,
∴
.又,若
,则
,即
,这与
矛盾,故
.∴
,
,
.∴
.
(Ⅱ)∵
,∴是首项为,公差为
的等差数列,∴
,
.故
是首项为,公差为
的等差数列.∵
时,
；
时,
；
时,
.故当
或时,最大.
(理)解：(Ⅰ)∵
,∴
.
∴
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,∴
.
∴
.
(Ⅲ)∵当时,
,当且仅当
时取等号.且
,
故
,
,……,
. 以上
个式子相加,
得
,∴
,
∴
,∴
.
故
得证.
22.(本小题满分14分)(文)解：(Ⅰ)
,,∴
,
.
由余弦定理,
,得
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,
,
,∴
时,
的最小值为.当
时,
.可设椭圆的方程
此时由得,
,∴
.设
,则
.当
时,的最大值为
,
∴
,故椭圆的方程
.
(理)解：(Ⅰ),,∴,.由余弦定理,
,得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.设
,知
时,在
上单调递增,∴
时,
,得
.设
,则
,
.不妨设
点
在第一象限.由
,
得,
,∴
.
设
是椭圆上动点,则
,相减得
,
即
.则
时,
.设切线
的方程为：
①, 又
②. 将②代入①整理得,
.
令
得,
,∴
.又
,故.