高考数学探析法向量在立体几何解题中的应用
一、用法向量求异面直线间的距离
如右图所示，a、b是两异面直线，
是 a E
a和b 的法向量，点E∈a，F∈b，则
异面直线
a与b之间的距离是
b F
例1、如下图，正四棱锥S-ABCD的高SO=2，底边长
，求异面直线BD和SC之间的距离.
分析：建立如图所示的直角坐标系，则
，
，
，
，
.
，
.令向量
，且
，则
，
，
，
，
.
异面直线BD和SC之间的距离为：
.
例2、如下图，正方体ABCD- A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AA1，BB1的中点，
求（1）CM与D1N的余弦值；
（2）异面直线CM与D1N的距离。（2004年广州调研试题）
分析（2）：建立如图所示右手直角坐标系，则C(0,2,0)、D1（0，0，2）、M（2，0，1）、N（2，2，1）
，
D1
C1
设法向量
A1 B1
则 2x-2y+z=0
x=0 M D
N C
2x+2y-z=0 z=2y A B
令y=1得
，依公式得异面直线CM与D1N的距离是
二、用法向量求点到平面的距离 A
如右图所示，已知AB是平面α的
一条斜线，为平面α的法向量，则
C B
A到平面α的距离为
α
例3、已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。
分析：建立如图所示右手直角坐标系，
G
则E（4，-2，0），F（2，-4，0），
E D C
G（0，0，2），B（4，0，0），
A F B
=（0，-2，0），
=（-4，2，2），
=（-2，4，2），设平面EFG的法向量=（x,y,z），则由
，
得
-4x+2y+2z=0
x= 
-2x+4y+2z=0
y=
不妨设z=3，则=（1，-1，3）,所以依公式可得所求距离为
三、用法向量求直线到平面间的距离
首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
例4、已知边长为
的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，且PA=2，设平面α过PF且与AE平行，求AE与平面α间的距离。
分析：因为AE∥平面α，所以将AE与平面α的距离转化成点A到平面α的距离，建立如图右手直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，2），
E（
，0，0），F（
，
，0），
P
,
,
A F
,设法向量=（x,y,z）， B E C
则由
，
得，
x=0
不妨设防z=1，则=（0，，1）,所以依公式可得所求距离为
四、用法向量求两平行平面间的距离
首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。
例5、
棱长为
的正方体
中.求证：平面AB1C∥平面
；
（1）
求平面
与平面间的距离.
分析(2)：建立如图所示的直角坐标系，
则A、D、A1、C1的坐标分别是
（1，0，0）、（0，0，0）、（1，0，1）、
（0，1，1），∴
，
，
，将平面与平面间的距离转化成点A到平面的距离。设平面的一个法向量，
则
，即
，
，平面与平面间的距离
五、用法向量求二面角
如图，有两个平面α与β，分别作
这两个平面的法向量
与
，则平
面α与β所成的角跟法向量与 α
所成的角相等或互补，所以首先
β
必须判断二面角是锐角还是钝角。
例6、如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=a，AD=3a，sin∠ADC=
，且PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的平面角的余弦值。
分析：依题意，先过C点CE⊥AD，计算得ED=2a，BC=AE=a,建立如图右角直角坐标系，则P（0，0，a）,D(0,3a,0)， P
C(a,a,0),
,
A
E
D
,
,
B
C
取平面ACD的一个法向量
，设平面PCD的法向量是、
，所以得
所以不妨取得
，从而计算得
易得二面角P-CD-A的平面角是锐角，所以其角的余弦是
六、用法向量求直线与平面所成的角
如图，要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量与直线a的夹角的余弦
，易知θ=
或者
例7、如下图，已知正四面体ABCD的边长为2，E为AD的中点，求EC与平面BCD所成的角。
分析：作AO⊥平面BCD，连结OD，并且
A
过O作OF∥BC交CD于F，建立如图所
E
示右手直角坐标系，则O（0，0，0），
B
O
D
E（0，
，
）, 
C
F
易取得平面BCD上的一个法向量
，所以
，观察与
的方向，易知EC与平面BCD所成的角是
七、用法向量证明两平面平行问题
如果有一向量
垂直于平面α，则向量叫做平面α的法向量。要证两个平面平行，只需证这两个平面同时垂直于它们的法向量。
例8、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面B1D1C
分析：作如图所示右手直角坐标系，
D
C
则各点坐标是A1（1，0，0），
A
B
D1（0，0，0），B1（1，1，0），
D1 C1
B（1，1，1），D（0，0，1），
A1
B1
C（0，1，1） ，则
=（0，1，1），
=（-1，-1，0），设平面A1BD有一法向量=（x,y,z），则
y+z
-x +-y =0
x=z
y=-z
不妨取z=1，则=（1，-1，1） ，又由
=（-1，-1，0），
=（0，1，1），易知
=
, 
=,所以与都与垂直，所以与平面B1D1C垂直，从而得到平面A1BD∥平面B1D1C
八、用法向量证明两平面垂直问题
要证两平面相互垂直，只需找出这两个平面的两个法向量，证明这两个法向量相互垂直。
例9、
如右图，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，
BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点。
E
求证：（1）DE=DA；
M
D
（2）平面BDM⊥平面ECA；
C
B
（3）平面DEA⊥平面ECA； A
分析（3）：建立如图所示右手直角坐标系
，不妨设CA=2，则CE=2，BD=1，C（0，0，0），A（
，1，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，1），
，
，
， 分别假设面CEA与面DEA的法向量是
、，所以得
不妨取
、
，从而计算得
，所以两个法向量相互垂直，两个平就相互垂直。
事实证明，法向量在求角、距离以及证明平行垂直中都有非常广泛的应用，它在中学数学中的出现，是对传统的立体几何知识一个很好的补充及加深。