法向量在立体几何中的运用
孟志霞
河北省三河市第一中学 065200
在高中立体几何中引入了空间向量，大大降低了立体几何解题的难度．法向量的引入，对于解决空间的角与距离提供了很大的帮助．下面简单介绍法向量在立体几何中运用．
一、点到平面的距离.（先确定平面的法向量，再求点与平面上一点连结线段在平面的法向量上的射影长．设
是平面
的一个法向量，
是平面外一点，
是平面内一点，则点到平面的距离
）．
例１.如图,在四棱锥
中,
,
平面
,
且
,
,求点
到平面
的距离.
解：取
的方向分别为
的正方向，建立空间直角坐标系，
则
，
，
.
,
设平面的法向量为
，
.所以可令
，点到
平面的距离
=
.
二、两条异面直线间的距离.（先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长．设
是异面直线，是公共法向量，点
则异面直线
之间的距离
）。
例２.如图，已知是正方形，
平面，
，
分别是
的中点，求异面直线
与
之间的距离。
解：以
为原点，建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
是异面直线与的公共法向量，则
即
；
即
＋
=0.所以=
,所以异面直线与之间的距离
．
三、直线与平面的夹角．（求斜线与平面的法向量夹角的余角）.
例３.如图,在直三棱柱
中,底面是等腰直角三角形,
.侧棱
,
分别是
与
的中点,点
在平面
上的射影是
的重心
.
求与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
求点
到平面
的距离.
(1)建立如图坐标系,设
,则
,,
,
,
,
,
则
=
，
，
，则=
，
,取平面法向量为，则
与夹角为与平面所成角的余角.所以cos
, 所以与平面所成角为
.
(2)由(1)知
,设平面的法向量为,
,即
,
即
,所以令法向量
.所以点到平面的距离为
.
四、两个平面的夹角.（求两个平面的法向量的夹角）。
例４.过正方形的顶点A，引
，若
，
则平面
与平面
所成的二面角的大小．
解：以
为原点，
分别为轴
轴,
轴建立空间直角坐标系如图。
则
，
， 
, 
,则
，
.设平面PCD的法向量为
,
,即
；
，即
．所以可令
；设平面ＰＡＢ的法向量为
，所以平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ所成的二面角的余弦值为
．所以平面与平面所成的二面角的平面角为
．
既然可以利用两个平面的法向量求两平面的夹角，也可以利用两个平面法向量证明两平面垂直．如下面的例５．可以先求两平面的法向量，再计算它们的数量积．
例５.如图，正四棱柱
中，底面边长为
，侧棱长为4，分别为棱
的中点.
求证：平面
平面
解：以为原点，
分别
为
建立空间直角坐标系，则
，
，
,
,
设平面EF的法向量为，
则
=0；
即
.所以令=
设平面的法向量为
=
,
,即4
=0; 
,即
.所以可令
． 
＝０
平面平面.