第四章 三角函数
[内容提要]
需要掌握三角函数的定义、三角函数值的符号、三角函数线的概念；熟记特殊角的角函数值，注重运用单位圆分析问题、解决问题；熟记同角三角函数间的基本关系式及诱导公式；掌握基本三角函数图象的画法、定义域、值域、周期的求法，以及奇偶性、最值点、单调区间、零点和对称点。
基本类型
（1） 角的度量：角度制、弧度制及角度与弧度的互化方面；
（2） 角的表示：象限角和终边相同角的集合表示；
（3） 同角三角函数间的基本关系：倒数关系、商数关系、平方关系；
（4） 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限；
（5） 三角函数的图象与性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性。
（6）
的图象和性质：五点法、图象变换法、以图识性、数形结合；
（7） 三角函数线：利用三角函数线表示三角函数值的有向线段，及探求三角函数的变化规律，比较三角函数值的大小，解三角不等式。
一、概念及任意角的三角函数
例1 如图4-1，射线
与
轴正方向所夹的锐角是
,射线
与
轴正方向所夹的锐角是
(1) 用弧度制写出
内的阴影部分的角的集合(含边界);
(2) 用弧度制写出R上的阴影部分的角的集合(含边界).
例2 已知
是第二象限的角,试判断下列各角的范围:
(1) 
; (2) 
; (3) 
.
例3 已知在角的终边上的一点
求
的值.
例4 求下列函数的定义域:
(1) 
; (2) 
.
例5 (1) 求函数
的值域;
(2) 如果
是第三象限的角,判断
的符号;
(3) 设是第四象限的角,比较
和
的大小.
基础过关
1. 已知命题: (1)终边相同的角必相等, (2)第一象限的角是锐角; (3)小于
的角是锐角.
上述命题中,正确的个数是( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
2. 为第二象限的角,其终边上的一点为
,且
,则
等于( )
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
3. 在
到
之间与
的终边相同的角有___________.
4. 若是第三象限角,则是__________象限角; 的范围是_____________;
是__________象限角.
5. 已知角的终边上一点
到轴的距离与到轴的距离之比为
,且
,求和的值.
6. 已知一扇形的周长为定值
.当扇形的中心角为多大时,他有最大的面积.
能力迁移
7. 若是第二象限角,那么
的值一定是( )
(A) 正数. (B) 负数.
(C) 正数、负数都有可能. (D) 正数、零都有可能.
8. 已知集合
则
与
的关系
是( )
(A) 
. (B) 
.
(C) 
.
(D) 
.
9. 用弧度制表示第四象限角的集合是____________.
10. 已知集合
则
_____________.
11. 已知角的顶点在原点,始边与轴的非负半轴重合,终边在直线
上.
求
的值.
12. 时针指到3点后,当分针在1小时内走55分时,时针到分针的角是多少度? 合多少弧度?
13. 求函数
的定义域.
二、同角三角函数关系及诱导公式
基本知识
1． 同角三角函数间的基本关系：
倒数关系：
，
，
商数关系：
，
.
平方关系：
，
，
补充：
2． 诱导公式：（
与的关系 ）
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奇变 奇变
例1 （1）
，
，求
的值；
（2）已知
，
，求
的值；
（3）已知
的内角A满足
，
，求
的值。
例2 化简（1）
；
（2）
．
例3 已知
，且
，求（1）
；（2）
；（3）
．
例４ 若
，且适合等式
，求的取值范围．
基础过关
1．化简
的结果是（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
2．
的值是（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
3．已知
，则
．
4．已知是第四象限角，则
的值是 ．
5．已知
，
，求
的值．
6．已知
，求
的值．
能力迁移
7．设
为的三内角，则不管的形状如何变化，表达式
①
， ②
；
③
；
④
始终表示常数的是（ ）
(A) ①与②. (B) ②与③. (C) ②与④. (D) ③与④.
8．设
，其中
都是非零实数．
，那么
等于（ ）
(A) －１. (B) ０. (C) １. (D) ２.
9．设
，
，那么
__________．
三、两角和与差的三角函数
１．基本公式
例１ 填空题：
(1) 
的值等于___________；
(2) 
___________；
(3) 
__________．
例２ 设
，
是第二象限的角，求
的值．
例３ 化简
．
例４ 不查表求
的值．
例５ (1) 求
的值；
(2) 已知
，求证
，进而化简
．
基础过关
１．化简
的结果是（ ）
(A) 
. (B) 
. (C)
. (D)
.
２．
，则
的大小关系是（ ）
(A) 
. (B) 
.
(C) 
. (D) 
.
３．已知
，则
__________．
４．已知
，
，则
_________．
５．在斜三角形
中，求证：
．
６．已知
，求
的值．
能力迁移
７．
等于（ ）
(A) 
. (B) 
.
(C) 
. (D)
.
８．
等于（ ）
(A) 
. (B) 
.
(C) . (D)
２.
９．
___________．
10．已知
，化简
__________
．
11．求证：
．
12．已知
，求
的值．
13．已知
和
是方程
的两根，试求
满足的关系式．