高考数学三角函数试题汇编
函数
的图象为
，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）．
①图象关于直线
对称；
②图象关于点
对称；
③函数
在区间
内是增函数；
④由
的图角向右平移
个单位长度可以得到图象．
①②③
（安徽理6）
函数
的图象为，
①图象关于直线
对称；
②函数在区间
内是增函数；
③由的图象向右平移
个单位长度可以得到图象．
以上三个论断中，正确论断的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
C
（北京理1）
已知
，那么角
是（ ）
Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角
C
（北京理13）
2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么
的值等于 ．
（北京文3）
函数
的最小正周期是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
B
（福建理5）
已知函数
的最小正周期为
，则该函数的图象（
）
A．关于点
对称 B．关于直线
对称
C．关于点
对称 D．关于直线
对称
A
（福建文5）
函数
的图象（ ）
Ａ．关于点
对称 Ｂ．关于直线
对称
Ｃ．关于点
对称 Ｄ．关于直线
对称
A
（广东理3）
若函数
，则是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
D
（广东文9）
已知简谐运动
的图象经过点
，则该简谐运动的最小正周期
和初相
分别为（ ）
Ａ．
，
Ｂ．，
Ｃ．
， Ｄ．，
A
（海南、宁夏理3）
函数
在区间
的简图是（ ）
A
（海南宁夏理9）
若
，则
的值为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
C
（湖北理2）
将
的图象按向量
平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
A
（湖北文1）
的值为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
A
（湖南理12）
在
中，角
所对的边分别为
，若
，b=
，
，
，则
．
12．
（江苏1）
下列函数中，周期为的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
D
（江苏5）
函数
的单调递增区间是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
D
（江苏11）
若
，
，则
_____．
11．
（江苏15）
在平面直角坐标系
中，已知的顶点
和
，顶点
在椭圆
上，则
_____．
15．
（江西理3）
若
，则
等于（ ）
Ａ．
Ｂ． Ｃ． Ｄ．
A
（江西理5）
若
，则下列命题中正确的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
D
（江西文2）
函数
的最小正周期为（ ）
Ａ．
Ｂ． Ｃ． Ｄ．
B
（江西文4）
若
，
，则
等于（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
D
（全国卷1理1）
是第四象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
D
全国卷1理（12）
函数
的一个单调增区间是（
）
A．
B．
C．
D．
A
（全国卷1文10）
函数
的一个单调增区间是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
D
（全国卷2理1）
（ ）
A．
B．
C． D．
D
（全国卷2理2）
函数
的一个单调增区间是（
）
A．
B．
C．
D．
C
（全国卷2文1）
（ ）
A． B． C． D．
C
（山东理5）
函数
的最小正周期和最大值分别为（
）
A．，
B．，
C．
， D．，
A
（山东文4）
要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向右平移
个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
A
（陕西理4）
已知
，则
的值为（ ）
A． B．
C． D．
A
（上海理6）
函数
的最小正周期
．
6．
（四川理16）
下面有五个命题：
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.
②终边在y轴上的角的集合是{aa=
.
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 （写出所言 ）
① ④
（天津理3）
“
”是“
”的（ ）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
A
（天津文9）
设函数
，则（ ）
A．在区间
上是增函数 B．在区间
上是减函数
C．在区间
上是增函数 D．在区间
上是减函数
A
（浙江理2）
若函数
，
（其中
，
）的最小正周期是，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
D
（浙江理12）
已知
，且
，则的值是
．
（浙江文12）
若，则
的值是
．
12．
（重庆文6）
下列各式中，值为的是（ ）
A．
B．
C．
D．
B
（安徽理16）
已知
为
的最小正周期，
，且
．求
的值．
本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分．
解：因为
为
的最小正周期，故
．
因
，又
．
故
．
由于
，所以
（安徽文20）
设函数
，，
其中
，将的最小值记为
．
（I）求的表达式；
（II）讨论在区间
内的单调性并求极值．
本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分．
解：（I）我们有
．
由于
，，故当
时，达到其最小值，即
．
（II）我们有
．
列表如下：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 极大值 |
| 极小值 |
|
由此可见，在区间
和
单调增加，在区间
单调减小，极小值为
，极大值为
．
（福建理17）
在中，
，
．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若最大边的边长为
，求最小边的边长．
本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．
解：（Ⅰ）
，
．
又
，
．
（Ⅱ）
，
边最大，即
．
又
，
角
最小，
边为最小边．
由
且
，
得
．由
得：
．
所以，最小边
．
（广东理16）
已知顶点的直角坐标分别为
，
，
．
（1）若
，求
的值；
（2）若
是钝角，求
的取值范围．
解析：
（1）
，
，若c=5， 则
，∴
，∴sin∠A＝
；
2）若∠A为钝角，则
解得
，∴c的取值范围是
；
（海南宁夏理17）
如图，测量河对岸的塔高
时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与
．现测得
，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
解：在
中，
．
由正弦定理得
．
所以
．
在
中，
．
（湖北理16）
已知的面积为，且满足
，设
和
的夹角为．
（I）求的取值范围；（II）求函数
的最大值与最小值．
本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．
解：（Ⅰ）设中角
的对边分别为
，
则由
，
，可得
，
．
（Ⅱ）
．
，
，
．
即当
时，
；当
时，
．
（湖北文16）
已知函数
，
．
（I）求的最大值和最小值；
（II）若不等式
在上恒成立，求实数
的取值范围．
本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．
解：（Ⅰ）
．
又
，
，即
，
．
（Ⅱ）
，，
且
，
，即的取值范围是
．
（湖南理16）
已知函数
，
．
（I）设
是函数
图象的一条对称轴，求
的值．
（II）求函数
的单调递增区间．
解：（I）由题设知
．
因为是函数图象的一条对称轴，所以
，
即
（
）．
所以
．
当
为偶数时，
，
当为奇数时，
．
（II）
．
当
，即
（）时，
函数
是增函数，
故函数
的单调递增区间是
（）．
（湖南文16）
已知函数
．求：
（I）函数的最小正周期；
（II）函数的单调增区间．
解：
．
（I）函数的最小正周期是
；
（II）当
，即
（）时，函数
是增函数，故函数的单调递增区间是
（）．
（江西理18）
如图，函数
的图象与
轴交于点
，且在该点处切线的斜率为．
（1）求和
的值；
（2）已知点
，点
是该函数图象上一点，点
是
的中点，当
，
时，求
的值．
解：（1）将
，
代入函数
得
，
因为
，所以
．
又因为
，
，，所以
，
因此
．
（2）因为点
，是的中点，，
所以点的坐标为
．
又因为点在的图象上，所以
．
因为
，所以
，
从而得
或
．
即
或
．
（全国卷1理17）
设锐角三角形
的内角的对边分别为，
．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求
的取值范围．
解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得
，所以
，
由为锐角三角形得
．
（Ⅱ）
．
由为锐角三角形知，
，
．
，
所以
．
由此有
，
所以，的取值范围为
．
（全国卷2理17）
在中，已知内角
，边
．设内角
，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
解：（1）的内角和
，由
得
．
应用正弦定理，知
，
．
因为
，
所以
，
（2）因为
，
所以，当
，即时，取得最大值
．
（山东理20）
如图，甲船以每小时
海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于
处时，乙船位于甲船的北偏西
方向的
处，此时两船相距
海里，当甲船航行分钟到达
处时，乙船航行到甲船的北偏西
方向的
处，此时两船相距
海里，问乙船每小时航行多少海里？
解法一：如图，连结
，由已知
，
，
，
又
，
是等边三角形，
，
由已知，
，
，
在
中，由余弦定理，
．
．
因此，乙船的速度的大小为
（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．
解法二：如图，连结
，由已知
，，
，
，
．
在
中，由余弦定理，
．
．
由正弦定理
，
，即
，
．
在
中，由已知
，由余弦定理，
．
，
乙船的速度的大小为海里/小时．
答：乙船每小时航行海里．
（山东文17）
在中，角的对边分别为
．
（1）求
；
（2）若
，且
，求．
解：（1）
又
解得
．
，
是锐角．
．
（2）
，
，
．
又
．
．
．
．
（陕西理17）
设函数
，其中向量
，
，
，且
的图象经过点
．
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）求函数
的最小值及此时
值的集合．
解：（Ⅰ）
，
由已知
，得
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
当
时，的最小值为
，
由，得值的集合为
．
（上海理17）
在
中，
分别是三个内角
的对边．若
，
，求的面积
．
解：
由题意，得
为锐角，
，
，
由正弦定理得 
， 
．
（四川理17）
已知
<
<
<
,
(Ⅰ)求
的值.
（Ⅱ）求.
本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
解：（Ⅰ）由
，得
∴
，于是
（Ⅱ）由
，得
又∵
，∴
由
得：
所以
（天津理17）
已知函数
．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间
上的最小值和最大值．
本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数
的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：
．
因此，函数的最小正周期为．
（Ⅱ）解法一：因为
在区间
上为增函数，在区间
上为减函数，又
，
，
，
故函数在区间上的最大值为，最小值为
．
解法二：作函数在长度为一个周期的区间
上的图象如下：
由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为
．
（天津文17）
在中，已知
，
，
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值．
本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在中，
，由正弦定理，
．
所以
．
（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是
，
，
．
．
（浙江理18）
已知的周长为
，且
．
（I）求边的长；
（II）若的面积为
，求角的度数．
解：（I）由题意及正弦定理，得
，
，
两式相减，得
．
（II）由的面积
，得
，
由余弦定理，得
，
所以
．
C浙江文2．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
（重庆理17）
设
．
（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角满足
，求
的值．
解：（Ⅰ）
．
故的最大值为
；
最小正周期
．
（Ⅱ）由得
，故
．
又由
得
，故
，解得
．
从而
．
（重庆文18）
已知函数
．
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）若角在第一象限且
，求
．
解：
（Ⅰ） 由
得
，即
．
故的定义域为
．
（Ⅱ）由已知条件得
．
从而
．