第6讲 分类讨论思想在解题中的应用
一、知识整合
1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。
4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。
5.含参数问题的分类讨论是常见题型。
6.注意简化或避免分类讨论。
二、例题分析
例1.一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（ ）
A. 
B.
C. 
D.
分析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,
当a=0时，直线过原点，此时直线方程为
；
当
时，设直线方程为
，方程为。
例2．
分析：
因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A进行分类。
解：
这与三角形的内角和为180°相矛盾。
例3.已知圆x2+y2=4，求经过点P（2，4），且与圆相切的直线方程。
分析：容易想到设出直线的点斜式方程y-4=k(x-2)再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率k，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点P的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点P的直线分两种情形：（1）斜率存在时，…（2）斜率不存在…
解（略）：所求直线方程为3x-4y+10=0或x=2
例4.
分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论。
解：
例5.
分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因此应根据运算需求分类讨论，对x分类。
解：
例6.
分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与
谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。
解：
综上所述，得原不等式的解集为
；
；
；
；
。
例7.已知等比数列的前n项之和为
，前n+1项之和为
，公比q>0，令
。
分析：对于等比数列的前n项和Sn的计算，需根据q是否为1分为两种情形：
故还需对q再次分类讨论。
解：
例8.
分析：
解：（1）当k=4时，方程变为4x2=0，即x=0，表示直线；
（2）当k=8时，方程变为4y2=0，即y=0，表示直线；
（i）当k<4时，方程表示双曲线；（ii）当4<k<6时，方程表示椭圆；
（iii）当k=6时，方程表示圆；（iv）当6<k<8时，方程表示椭圆；
（v）当k>8时，方程表示双曲线。
例9. 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？
分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：
（1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能工人；（3）选出的6人中含2名全能工人；（4）选出的6人中含有3名全能工人。
解：
三、总结提炼
分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。
如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例：
（1）“方程
有实数解”转化为
时忽略了了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为△≥0；
（2）等比数列
的前
项和公式
中有个别情形：
时，公式不再成立，而是Sn=na1。
设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。
(4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为
，但有个别情形：a=0时，再不能如此设，应另行考虑。
四、强化练习：见优化设计。
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 若
的大小关系为（ ）
A. 
B.
C. 
D.
；
2. 若
，且
，则实数中的取值范围是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
3. 设A=
（ ）
A. 1 B. 
C.
D.
4. 设
的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. 7 D. 0或7
5. 一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 若
（ ）
A. 1 B. C.
D.
不能确定
7. 已知圆锥的母线为l，轴截面顶角为
，则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值为（ ）
A. 
B.
C. 
D.
以上均不对
8. 函数
的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（ ）
A. 
B.
C. 
D.
二. 填空题
9. 若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是______________。
10. 若
，则a的取值范围为________________。
11. 与圆
相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________。
12. 在50件产品中有4件是次品，从中任抽取5件，至少有3件次品的抽法共有______________种（用数字作答）
13. 不等式
的解集为_____________。
三. 解答题：
14. 已知椭圆的中心在原点，集点在坐标轴上，焦距为
，另一双曲线与此椭圆有公共焦点，且其实轴比椭圆的长轴小8，两曲线的离心率之比为3：7，求此椭圆、双曲线的方程。
15. 设a>0且
，试求使方程
有解的k的取值范围。
【试题答案】
一. 选择题
1. C 2. D 3. D 4. D 5. C 6. A 7. D 8. B
提示：1.
欲比较p、q的大小，只需先比较
的大小，再利用对数函数的单调性。而决定的大小的a值的分界点为使
的a值：a=1，
当a>1时，
此时
当
即。
可见，不论a>1还是0<a<1，都有p>q。
2. 若
，即
若
可见当
都有，故选（D）
3. 若
若
，则，
4. 由
是1的7次方根，可得
显然，1是1的7次方根，故可能
；若
，则
故选（D）
5. 设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,
当a=0时，直线过原点，此时直线方程为；
当时，设直线方程为，方程为
6. 由
于是总有
，故选（A）
7. 当
时，最大截面就是轴截面，其面积为
；
当
时，最大截面是两母线夹角为
的截面，其面积为
可见，最大截面积为
，故选（D）
8. 当
时，
满足题意
综上可知，
故选（B）
二. 填空题
9. 
（提示：若长为4的边作为圆柱底面圆周的展开图，，则
；若长为2的边作为圆柱底面圆周的展开图，则
）
10. 
（提示：对a分：
两种情况讨论）
11. 
（提示：分截距相等均不为0与截距相等均为0两种情形）
12. 4186种
（提示：对抽取5件产品中的次品分类讨论：（1）抽取的5件产品中恰好有3件次品；（2）抽取的5件产品中恰好有4件次品，于是列式如下：
=4140+46
=4186）
13. 若
，则解集为
若
，则解集为
（提示：设
解之得
对a分类：时，
）
三. 解答题
14. 解：（1）若椭圆与双曲线的焦点在x轴上，可设它们方程分别为
，依题意
（2）若焦点在y轴上，则可设椭圆方程为
双曲线方程为
，依题意有
15. 解：原方程可化为
令
则对原方程的解的研究，可转化为对函数
图象的交点的研究
下图画出了
的图象，由图象可看出
（1）当直线
时，与双曲线无交点，此时
即当时，原方程无解；
（2）当直线
图象与双曲线渐近线重合，显然直线与双曲线无交点，即当k=0时，原方程无解；
（3）当直线
的纵截距满足
，即
时，直线与双曲线总有交点，原方程有解。
综上所述，当