圆锥曲线与平面向量的综合
（1）
(一) 解析几何与向量综合的题目，可能出现的向量内容：
1. 给出直线的方向向量
或
，等于已知直线的斜率
或
；
2. 给出
与
相交,等于已知过的中点;
3. 给出
,等于已知
是
的中点;
4. 给出
,等于已知
与的中点三点共线;
5. 给出以下情形之一
①
,
②存在实数
③若存在实数
,等于已知
三点共线.
6. 给出
，等于已知是
的定比分点，
为定比，即
7. 给出
,等于已知
,即
是直角,给出
,等于已知是钝角, 给出
,等于已知是锐角,
8. 给出
,等于已知
是的平分线/
9. 在平行四边形
中，给出
，等于已知是菱形;
10. 在平行四边形中，给出
，等于已知是矩形;
11. 在
中，给出
，等于已知
是的外心；
12. 在中，给出
，等于已知是的重心；
13. 在中，给出
，等于已知是的垂心；
14. 在中，给出
等于已知
通过的内心；
15. 在中，给出
等于已知是的内心；
16. 在中，给出
,等于已知
是中
边的中线;
17.
给出
,等于已知
的面积
(三) 综合题举例
【例1】(2005年·辽宁卷21)
已知椭圆
的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足
点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
（Ⅰ）设
为点P的横坐标，证明
；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M使△F1MF2的面积S=
若存在，求∠F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由.
解 ： （Ⅰ）证法一：设点P的坐标为
由P
在椭圆上，得
由
，所以 
证法二：设点P的坐标为记
则
由
证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为
由椭圆第二定义得
，即
由
，所以
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为
当
时，点（
，0）和点（－，0）在轨迹上.
当
时，由
，得
.
又
，所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中，
，所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是
解法二：设点T的坐标为
当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当时，由
，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为（
），
则
因此
①
由
得
②
将①代入②，可得
综上所述，点T的轨迹C的方程是
|
）使S=
的充要条件是
由③得
，由④得
所以，当
时，存在点M，使S=；
当
时，不存在满足条件的点M.
当时，
，
由
，
，
，得
解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是
|
由④得 上式代入③得
于是，当时，存在点M，使S=；
当时，不存在满足条件的点M.
当时，记
，
由
知
，则
【例2】(2005年·重庆卷·理21)
已知椭圆C1的方程为
，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
（Ⅰ）求双曲线C2的方程；
（Ⅱ）若直线
与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足
（其中O为原点），求k的取值范围.
解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为
，则
故C2的方程为
(Ⅱ)将
代入得
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
即 
①
.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得
解此不等式得
③
由①、②、③得
故k的取值范围为
【例3】(2005年·全国卷Ⅰ·理21文22)
已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与
共线.
（I）求椭圆的离心率；
（II）设M为椭圆上任意一点，且
，证明
为定值.
解：（I）设椭圆方程为
则直线AB的方程为
化简得
.
令
则 
共线，得
（II）证明：由（I）知
，所以椭圆
可化为
.
在椭圆上，
即 
①
由（I）知
又
又，代入①得 
故为定值，定值为1.