高考数学圆锥曲线的基本问题测试

圆锥曲线的基本问题

一、圆锥曲线的方程，参数之间的关系的问题.

1．椭圆(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a, 0), B(0,b)的直线的距离等于，则椭圆的离心率为（ ）.

　　A、　　　 B、　　　 C、　　　 D、

分析:本题条件不易用平面几何知识转化，因而过A、B的方程为，左焦点F(-c,0)，则，化简，得5a²-14ac+8c²=0 得或（舍），　∴ 选A.

小结:应熟悉各方程的标准形式及各参数之间的关系和几何意义.若题面改为“双曲线(a>b>0)”，则由“a>b>0”这个隐含条件可知离心率e的范围限制，即a>b>0,∴ a²>b², ∴a²>c²-a² 从而.

2．若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（ ）.

　　A、　　  B、　　　 C、　　 D、

分析:当双曲线方程为时，其渐近线为,当双曲线方程为时，其渐近线为，从而本题对应 或，选D.

3．若表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距的取值范围是（ ）.

　　A、（1，+¥）  　B、（0，1）　　C、（1，2） 　 D、与k有关

分析:首先应把方程标准化，方程可化为:

　　

　　∴ ，　∴ k>2　 c²=a²+b²=k-1+k-2=2k-3>2×2-3=1∴ c>1，选A.

4．抛物线y²-2by+b²+4m-mx=0的准线与双曲线的右准线重合，则m的值为______.

分析:首先将方程化为标准方程(y-b)²=m(x-4)

而双曲线的右准线为x=3, 抛物线顶点（4，b）在x=3的右侧，

∴ 抛物线开口向右，m>0, 2p=m,∴ 焦准距（焦参数）,∴m=4.

5．以3x-4y-2=0, 3x+4y-10=0为渐近线，以5y+4=0为一条准线的双曲线方程为_____.

分析:注意两条渐近线的交点，或一条渐近线和一条对称轴的交点都是双曲线的中心.

　　，中心为（2，1），从而准线为下准线，焦点在平行于y轴的直线上，从而，中心与准线相矩……①,渐近线斜率为……②

　　联立①②，得a=3, b=4, c=5.方程为.

6．若椭圆(a>b>0)与圆相交，则椭圆的离心率的取值范围为_______.

分析:圆锥曲线间的位置关系不能用联立方程，用判别式判定，一般来说应结合图形分析.

　　由图可知圆半径r满足 b<r<a,

　　∴ ,　解得.

7．若双曲线与圆x²+y²=1无公共点则k∈______.分析:同上题用数形结合的方法知或.

二、利用曲线定义求解的问题

1．双曲线的虚轴长为4，离心率，F₁、F₂分别是它的左，右焦点，若过F₁的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且AB是AF₂与BF₂的等差中项，则AB为（ ）.

　　A、　　  B、　　C、　　D、8

分析:利用双曲线定义， ∵ AB在左支上，∴AF₂-AF₁=2a,　BF₂-BF₁=2a　 ∴ AF₂+BF₂-(AF₁+BF₁)=4a, 又∵ 2AB=AF₂+BF₂, AF₁+BF₁=AB

　∴ 2AB-AB=4a.　AB=4a,而　得，　∴ ，选A.

2．设F₁、F₂为椭圆两焦点，点P是以F₁，F₂为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，则椭圆离心率为（ ）.

　　A、　　 　B、　　  C、　　 D、

分析:P在以F₁F₂为直径的圆上，则∠F₁PF₂=90°，

　 而∠PF₁F₂=5PF₂F₁，∴ ∠PF₁F₂=75°， ∠PF₂F₁=15°，∴ ，

　　  ，而PF₂+PF₂=2a,∴ .

3．F₁、F₂为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F₁QF₂的外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹为（ ）.

　　A、圆　　　B、椭圆　　C、双曲线　 D、抛物线

分析:延长F₂P交F₁Q的延长线为M，由椭圆定义及角平分线，

　　∵ 　 ∴ F₁Q+MQ=F₁M=2a,则点M(x₀,y₀)的轨迹方程为......①　 设P点坐标(x, y), ∵ P为F₂M中点，

 ∴ ，代入①，得 (2x-c+c)²+(2y)²=4a², ∴ x²+y²=a², 选A.

4．双曲线的左支上一点P，⊙O'为ΔPF₁F₂的内切圆，则圆心O'的横坐标为（ ）.

　　A、a　　　　  B、-a  　　C、　　  D、

分析:设PF₁，PF₂，F₁F₂与内切圆⊙O'的切点分别为M，N，Q，由双曲线定义，

　　∵ PF₂-PF₁=2a,　∴ PN+NF₂-(PM+MF₁)=2a,

　　而 DN=PM ，MF₁=QF₁, NF₂=QF₂ ∴ QF₂-QF₁=2a 又 QF₂+QF₁=2c,∴ QF₂=a+c=c-x_Q, ∴ x_Q=-a, ∵O'Q⊥F₁F₂, ∴x_Q'=x_Q=-a， 选B.

三、求曲线方程

1．待定系数法

例:已知椭圆D:与圆:x²+(y-m)²=9(m∈R)，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切.1）当m=5时，求双曲线G的方程.

2）当m取何值时，双曲线的两条准线间的距离为1.

解:1）椭圆D的两个焦点F₁(-5,0),F₂(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c=5.

　　 设双曲线G的方程为∴ 渐近线为bx±ay=0且a²+b²=25,

　　 m=5时，圆心M(0,5), r=3.∴ , 得 a=3, b=4， ∴G方程为.

2）双曲线两准线间距离为， ∴ ，

　　∵ G的渐近线与M相切， ∴ ，∴ .

2．相关点求轨迹法（代入法）

例:设抛物线过定点A（0，2），且以x轴为准线求抛物线顶点M的轨迹C的方程.

分析:A（0，2）在抛物线上，体现为

①A（0，2）的坐标满足曲线方程

②A（0，2）满足曲线定义

　　在本题中以方式②为佳，设M(x, y)，焦点F(x₀, y₀),

　　∵ AF=，∴ ，　∴ ......①

　　 而，　∴  代入① ∴ x²+(2y-2)²=4,　且 y≠0.

3．直接法（直接到方程化简）

例:设点O为原点，点M在直线l: x=-p(p>0)上移动，动点N在线段MO的延长线上，且满足MN=MO·NO. 求动点N的轨迹方程.

解:设N坐标为(x, y)，过N作NN'⊥x轴于N',

　　∵ M，O，N共线，

　　∴ ， 由已知 MN=MO·NO

∴  

∴ 所求方程为(p²-1)x²+p²y²-2px-p²=0(x>0)

4．直接法（直接利用曲线定义）

例:如图，直线l₁, l₂相交于M，l₁⊥l₂，点N∈l₁, 以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等，若ΔAMN为锐角Δ，， AN=3，BN=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.

分析:以l₁为x轴，以MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图.

由题意，曲线段C是以N为焦点，以l₂为准线的抛物线的一部分，

其中A、B分别为C的端点.

　　由已知条件，可求方程为y²=8x(1≤x≤4, y>0)（过程略）

5．交轨法

例:抛物线y²=2px(p>0)，O为坐标原点，A、B在抛物线上，且OA⊥OB，过O作OP⊥AB交AB于P，求P点轨迹方程.

解:设OA=y=kx, 则，

　　　 得　同理 B(2pk², -2pk)

　　

　　AB:

　　　 ....①

　　而op: .....②

　　∵ P为AB与OP的交点，联立①②　 (1)×(2)消去k,

　　 y²=-(x-2p)x, ∴ x²+y²-2px=0(x≠0)即为所求.

四、直线与圆锥曲线的位置关系

1．过点（2，4）作直线与抛物线y²=8x只有一个公共点，这样的直线有（ ）.

　　A、一条　　　B、两条　　  C、三条　　　D、四条

分析:首先注意点（2，4）在抛物线上，其次只有一个公共点，包括直线平行于抛物线的对称轴，与抛物线交于一点，因而选B.

2．直线y:kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是（ ）.

　　A、m≥1且m≠5　　B、m≥1　 C、m≠5　　　　  D、m≤5

分析:直线与椭圆恒有公共点Û联立方程Δ恒大于等于0，

　 由Δ≥0恒成立可得 m≥1-5k²恒成立，∴ m≥(1-5k²)_max,　∴m≥1且m≠5，选A.

3．直线l: 与曲线x²-y²=1(x>0)相交于A，B两点，则直线l的倾角为（ ）.

　　A、[0，）　 B、　 Ｃ、　Ｄ、

分析:直线与双曲线右支交于两点，不能仅仅用Δ判定，

　 x²-k²(x²-x+2)=1　 (1-k²)x²+k²x-2k²-1=0

　　∴  　 ∴ k>1 或 k<-1. ∴ 倾角，选B.

4．在抛物线y²=4x上恒有两点关于y=kx+3对称，求k范围.

解:设B、C关于直线y=kx+3对称，则BC方程为x=-ky+m,代入 y²=4x 得　y²+4ky-4m=0　设B(x, y), C(x₂, y₂),　BC中点M(x₀, y₀), ∴ ,　x₀=2k²+m,∵ M(x₀, y₀)在l上，∴ -2k=k(2k²+m)+3  ∴ ,　又BC与抛物线交于两点，∴Δ=16k²+16m>0, 即，　解得-1<k<0.