高考数学圆锥曲线试题汇编
重庆文
（12）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线
有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为
（A）
（B）
（C）
（D）
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线
的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。
题（21）图
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明FP-FPcos
（21）（本小题12分）
（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为
，则
，从而
因此焦点
的坐标为（2，0）.
又准线方程的一般式为
。
从而所求准线l的方程为
。
答（21）图
（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知
FA=FC,FB=BD.
记A、B的横坐标分别为xxxz，则
FA＝AC＝
解得
，
类似地有
，解得
。
记直线m与AB的交点为E，则
所以
。
故
。
解法二：设
，
，直线AB的斜率为
，则直线方程为
。
将此式代入,得
，故
。
记直线m与AB的交点为
，则
，
，
故直线m的方程为
.
令y=0,得P的横坐标
故
。
从而为定值。
重庆理
（16）过双曲线
的右焦点F作倾斜角为
的直线，交双曲线于PQ两点，则FPFQ的值为__________.
(22) (本小题满分12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同点
，使
，证明
为定值，并求此定值。
|
浙江文
（10）已知双曲线
的左、右焦点分别为F1、F2，P是准线上一点，且P F1⊥P F2，｜P F1｜
｜P F2 ｜＝4ab，则双曲线的离心率是
(A)
(B) 
(C)2 (D)3
(21)(本题15分)如图，直线y＝kx＋b与椭圆
交于A、B两点，记△AOB的面积为S．
(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
（21）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．
(I)解：设点A的坐标为(
，点B的坐标为
，
由，解得
所以
当且仅当
时，．S取到最大值1．
（Ⅱ）解：由
得
①
｜AB｜＝
②
又因为O到AB的距离
所以
③
③代入②并整理，得
解得，
，代入①式检验，△＞0
故直线AB的方程是
或
或
或
．
浙江理
（9）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，
是准线上一点，且
，
，则双曲线的离心率是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．
Ｄ．
天津文
（7）设双曲线
的离心率为，且它的一条准线与抛物线
的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（22）（本小题满分14分）
设椭圆
的左、右焦点分别为
是椭圆上的一点，
，原点
到直线
的距离为
．
（Ⅰ）证明
；
（Ⅱ）求
使得下述命题成立：设圆
上任意点
处的切线交椭圆于
，
两点，则
．
（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设及
，
，不妨设点
，其中
，由于点
在椭圆上，有
，
，
解得
，从而得到
，
直线
的方程为
，整理得
．
由题设，原点到直线的距离为，即
，
将
代入原式并化简得
，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为
，
过点作
，垂足为
，易知
，故
由椭圆定义得
，又
，所以
，
解得
，而
，得
，即．
（Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为
．
当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点
，
的坐标是方程组
的解．当
时，由①式得
代入②式，得
，即
，
于是
，
．
若，则
．
所以，
．由
，得
．在区间
内此方程的解为
．
当
时，必有
，同理求得在区间内的解为．
另一方面，当时，可推出
，从而．
综上所述，
使得所述命题成立．
天津理
22．（本小题满分14分）
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）设
为椭圆上的两个动点，，过原点作直线
的垂线
，垂足为
，求点的轨迹方程．
22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设及
，
，不妨设点
，其中．由于点在椭圆上，有，即．
解得，从而得到．
直线的方程为，整理得．
由题设，原点到直线的距离为，即，
将代入上式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为
．
过点作，垂足为
，易知
，故．
由椭圆定义得，又，
所以，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）解法一：设点的坐标为
．
当时，由
知，直线的斜率为
，所以直线的方程为
，或
，其中
，
．
点
的坐标满足方程组
将①式代入②式，得
，
整理得
，
于是
，
．
由①式得
．
由知．将③式和④式代入得
，
．
将
代入上式，整理得
．
当时，直线的方程为
，的坐标满足方程组
所以
，
．
由知，即
，
解得
．
这时，点的坐标仍满足．
综上，点的轨迹方程为 
．
解法二：设点的坐标为，直线的方程为
，由，垂足为，可知直线的方程为
．
记
（显然
），点的坐标满足方程组
由①式得
． ③
由②式得
． ④
将③式代入④式得
．
整理得
，
于是
． ⑤
由①式得
． ⑥
由②式得
． ⑦
将⑥式代入⑦式得
，
整理得
，
于是
． ⑧
由知．将⑤式和⑧式代入得
，
．
将代入上式，得．
所以，点的轨迹方程为．
四川文
（5）如果双曲线
＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是
(A)
(B)
(C) (D)
(10)已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则AB等于
A.3
B
D.4
解析：选C．设直线
的方程为
，由
，进而可求出的中点
，又由在直线
上可求出
，∴
，由弦长公式可求出
．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．
（21）(本小题满分12分)
求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，
，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线
的斜率
的取值范围.
解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．
（Ⅰ）易知
，，
．
∴
，
．设
．则
，又，
联立
，解得
，
．
（Ⅱ）显然
不满足题设条件．可设的方程为
，设
，
．
联立
∴
，
由
，
，得
．①
又
为锐角
，
∴
又
∴
∴
．②
综①②可知
，∴的取值范围是
．
四川理
20）（本小题满分12分）设
、
分别是椭圆
的左、右焦点.
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求
·
的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点
的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠
为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知
所以
，设
，则
因为
，故当，即点为椭圆短轴端点时，
有最小值
当
，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
解法二：易知，所以，设，则
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线
，
联立
，消去
，整理得：
∴
由
得：
或
又
∴
又
∵
，即
∴
故由①、②得
或
上海理
8、已知双曲线
，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为
21、已知半椭圆
与半椭圆
组成的曲线称为“果圆”，其中
，
是对应的焦点。
（1）若三角形
是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若
，求
的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。
21．[解]
（1）∵F0（c，0）F1（0，
），F2（0，
）
∴ F
， F
于是
，
，所求“果圆”方程为
（x≥0），
（x≤0）． ……4分
（2）由题意，得a＋c＞2b，即
．
∵（2b）2＞b2＋c2，∴a2－b2＞（2b－a）2，得
……7分
又b2＞c2＝a2－b2，∴
．
∴
．
（3）设“果圆”的方程为
（x≥0）
（x≤0）
记平行弦的斜率为k．
当k＝0时，直线y＝t（－b≤t≤b）与半椭圆（x≥0）的交点是
，与半椭圆（x≤0）的交点是Q（
）．
∴P、Q的中点M（x，y）满足
得
．
∵a＜2b，∴
．
综上所述，当k＝0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆……14分
当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆（x≥0）的交点是
由此，在直线l右测，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线
上，即不在某一椭圆上． ……17分
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． ……18分
上海文
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．
我们把由半椭圆
与半椭圆
合成的曲线称作“果圆”，其中
，
，
．
如图，设点
，，是相应椭圆的焦点，
，
和
，
是“果圆” 与
，
轴的交点，
是线段
的中点．
（1）若
是边长为1的等边三角形，求该
“果圆”的方程；
（2）设是“果圆”的半椭圆
上任意一点．求证：当
取得最小值时，
在点
或
处；
（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．
21．解：（1）
，
，
于是
，
所求“果圆”方程为
，
．
（2）设
，则
，
，
的最小值只能在
或
处取到．
即当取得最小值时，在点或处．
（3）
，且
和
同时位于“果圆”的半椭圆
和半椭圆
上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆
上的情形即可．
．
当
，即
时，的最小值在
时取到，
此时的横坐标是
．
当
，即
时，由于在
时是递减的，的最小值在
时取到，此时的横坐标是
．
综上所述，若，当
取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或
．
陕西文
3.抛物线
的准线方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
9.已知双曲线C∶
＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是
（A）a (B)b (C)
(D)
22. (本小题满分14分)
已知椭圆C:
=1(a＞b＞0)的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
，求△AOB面积的最大值.
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为
，依题意
，所求椭圆方程为
．
（Ⅱ）设
，
．
（1）当
轴时，
．
（2）当与
轴不垂直时，
设直线的方程为．
由已知
，得
．
把代入椭圆方程，整理得
，
，
．
．
当且仅当
，即
时等号成立．当
时，，
综上所述
．
当
最大时，
面积取最大值
．
山东理
（13）设是坐标原点，
是抛物线
的焦点，是抛物线上的一点，
与轴正向的夹角为
，则
为
．
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线
与椭圆相交于，两点（
不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为
，
(II)设
，由
得
，
，
.
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点
，
，
，
，
，解得
，且满足.
当
时，
，直线过定点
与已知矛盾；
当
时，
，直线过定点
综上可知，直线过定点，定点坐标为
全国2理
11．设
分别是双曲线
的左、右焦点，若双曲线上存在点，使
且
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．设为抛物线的焦点，
为该抛物线上三点，若
，则
（ ）
A．9 B．
20．（本小题满分12分）
在直角坐标系
中，以为圆心的圆与直线
相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使
成等比数列，求
的取值范围．
20．解：（1）依题设，圆的半径
等于原点到直线的距离，
即 
．
得圆的方程为
．
（2）不妨设
．由
即得
．
设
，由成等比数列，得
，
即 
．
由于点在圆内，故
由此得
．
所以的取值范围为
．
全国2文
11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
12．设分别是双曲线
的左、右焦点．若点在双曲线上，且
，则
（ ）
A．
B．
C． D．
全国1理
（4）已知双曲线的离心率为，焦点是
，
，则双曲线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
（11）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，
，垂足为
，则
的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆
的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于
两点，过的直线交椭圆于
两点，且
，垂足为．
（Ⅰ）设点的坐标为
，证明：
；
（Ⅱ）求四边形
的面积的最小值．
（21）证明：
（Ⅰ）椭圆的半焦距
，
由
知点在以线段
为直径的圆上，故
，
所以，
．
（Ⅱ）（ⅰ）当
的斜率存在且
时，的方程为
，代入椭圆方程，并化简得
．
设
，
，则
，
；
因为
与
相交于点，且的斜率为
，
所以，
．
四边形的面积
．
当
时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积
．
综上，四边形的面积的最小值为
．
宁夏理
6．已知抛物线的焦点为，
点
，
在抛物线上，
且
， 则有（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．3
19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，经过点
且斜率为的直线与椭圆
有两个不同的交点和
．
（I）求的取值范围；
（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量
与
共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为
，
代入椭圆方程得
．
整理得
①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于
，
解得
或
．即的取值范围为
．
（Ⅱ）设
，则
，
由方程①，
． ②
又
． ③
而
．
所以与共线等价于
，
将②③代入上式，解得
．
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．
辽宁理
11．设为双曲线
上的一点，是该双曲线的两个焦点，若
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．设椭圆
上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足
，则
= ．
20．（本小题满分14分）
已知正三角形
的三个顶点都在抛物线
上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）
（I）求圆的方程；
（II）设圆的方程为
，过圆上任意一点分别作圆的两条切线
，切点为
，求
的最大值和最小值．
本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．
（I）解法一：设两点坐标分别为
，
，由题设知
．
解得
，
所以
，
或
，
．
设圆心的坐标为
，则
，所以圆的方程为
．····································································································· 4分
解法二：设两点坐标分别为
，
，由题设知
．
又因为
，
，可得
．即
．
由
，
，可知
，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．
设点的坐标为，则点坐标为
，于是有
，解得
，所以圆的方程为．····································································································· 4分
（II）解：设
，则
．········································ 8分
在
中，
，由圆的几何性质得
，
，
所以
，由此可得
．
则
的最大值为
，最小值为
．
江西理
9．设椭圆的离心率为
，右焦点为
，方程
的两个实根分别为
和
，则点
（ ）
Ａ．必在圆
内 Ｂ．必在圆上
Ｃ．必在圆外 Ｄ．以上三种情形都有可能
21．（本小题满分12分）
设动点到点
和
的距离分别为
和
，
，且存在常数
，使得
．
（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；
（2）过点作直线双曲线的右支于
两点，试确定
的范围，使
，其中点为坐标原点．
解法一：（1）在
中，
，即
，
，即
（常数），
点的轨迹是以为焦点，实轴长
的双曲线．
方程为：
．
（2）设
，
①当
垂直于轴时，的方程为
，
，
在双曲线上．
即
，因为
，所以
．
②当不垂直于轴时，设的方程为
．
由
得：
，
由题意知：
，
所以
，
．
于是：
．
因为
，且在双曲线右支上，所以
．
由①②知，
．
解法二：（1）同解法一
（2）设，，的中点为
．
①当
时，
，
因为，所以；
②当
时，
．
又
．所以
；
由
得
，由第二定义得
．
所以
．
于是由
得
因为
，所以
，又，
解得：
．由①②知．
江西文
7．连接抛物线
的焦点与点
所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形
的面积为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
12．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（ ）
Ａ．必在圆上 Ｂ．必在圆外
Ｃ．必在圆内 Ｄ．以上三种情形都有可能
22．（本小题满分14分）
设动点到点
和
的距离分别为和，
，且存在常数，使得．
（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；
（2）如图，过点的直线与双曲线的右支交于两点．问：是否存在，使
是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
22．解：（1）在中，
（小于的常数）
故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．
方程为．
（2）方法一：在
中，设
，
，
，
．
假设为等腰直角三角形，则
由②与③得
，
则
由⑤得
，
，
故存在
满足题设条件．
方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得
所以
，
．
则
．①
由
，可设
，
则
，
．
则
．②
由①②得
．③
根据双曲线定义
可得，
．
平方得：
．④
由③④消去
可解得，
故存在满足题设条件．
江苏理
3．在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为
，则它的离心率为
A．
B．
C．
D．
15．在平面直角坐标系中，已知
顶点
和
，顶点在椭圆上，则
.
19、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点
任作一直线，与抛物线
相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线
交于
，
（1）若
，求的值；（5分）
（2）若为线段的中点，求证：
为此抛物线的切线；（5分）
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）
解：（1）设过C点的直线为
，所以
，即
，设A
，
=
，
，因为，所以
，即
，
所以
，即
所以
（2）设过Q的切线为
，
，所以
，即
，它与
的交点为M
，又
，所以Q
，因为
,所以
，所以M
,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。
（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ
轴，所以
因为
，所以P为AB的中点。
9．设分别是椭圆
（
）的左、右焦点，若在其右准线上存在
使线段
的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（I）若动点满足
（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在轴上是否存在定点，使
·
为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．解：由条件知
，
，设，．
解法一：（I）设
，则
则
，
，
，由得
即
于是的中点坐标为
．
当不与轴垂直时，
，即
．
又因为两点在双曲线上，所以
，
，两式相减得
，即
．
将代入上式，化简得
．
当与轴垂直时，
，求得
，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点
，使
为常数．
当不与轴垂直时，设直线的方程是
．
代入有
．
则
是上述方程的两个实根，所以
，
，
于是
．
因为是与无关的常数，所以
，即
，此时=
．
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为
，
，
此时
．
故在轴上存在定点
，使为常数．
解法二：（I）同解法一的（I）有
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以．
．
由①②③得
．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
当时，
，由④⑤得，
，将其代入⑤有
．整理得．
当时，点的坐标为，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，
当不与轴垂直时，由（I）有
，．
以上同解法一的（II）．
湖南文
9．设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为
（为半焦距）的点，且
，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B． C．
D．
19．（本小题满分13分）
已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是
．
（I）证明，为常数；
（II）若动点满足
（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．
19．解：由条件知
，设，．
（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，
此时．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入，有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是
．
综上所述，为常数．
（II）解法一：设，则
，
，
，
，由得：
即
于是的中点坐标为
．
当不与轴垂直时，
，即
．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即
．
将代入上式，化简得
．
当与轴垂直时，，求得
，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
解法二：同解法一得……………………………………①
当不与轴垂直时，由（I） 有．…………………②
．………………………③
由①②③得
．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
当时，，由④⑤得，
，将其代入⑤有
．整理得．
当时，点的坐标为
，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
湖北理
7．双曲线
的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线
的准线为，焦点为
与的一个交点为，则
等于（ ）
A． B． C．
D．
10．已知直线
（
是非零常数）与圆
有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
A．60条 B．66条 C．72条 D．78条
19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，过定点
作直线与抛物线
（
）相交于两点．
（I）若点
是点关于坐标原点的对称点，求
面积的最小值；
（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图）
19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为
，可设
，
直线的方程为
，与联立得
消去得
．
由韦达定理得
，
．
于是
．
，
当时，
．
（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为
，
的中点为
，与为直径的圆相交于点，
的中点为，
则
，
点的坐标为
．
，
，
，
．
令
，得
，此时
为定值，故满足条件的直线存在，其方程为
，
即抛物线的通径所在的直线．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
，
又由点到直线的距离公式得
．
从而
，
当时，．
（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为
，
将直线方程代入得
，
则
．
设直线与以为直径的圆的交点为
，
则有
．
令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线．
湖北文
12．过双曲线
左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，则
的值为______．
广东理
11．在平面直角坐标系
中，有一定点
,若线段
的垂直平分线过抛物线则该抛物线的方程是
．
18． (本小题满分14分)
在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为
的圆与直线
相切于
坐标原点．椭圆
与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为
．
(1)求圆的方程；
(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段
的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18. 解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
=2
即
=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得
m2+n2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8
(2)
=5，∴a2=25，则椭圆的方程为 + =1
其焦距c=
=4，右焦点为(4，0)，那么
=4。
要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。
通过联立两圆的方程解得x=
，y=
即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。
广东文
11．在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是
．
19(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为2／2的圆与直线相切于
坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
(1)求圆的方程；
(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点F的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19解:(1) 设圆C 的圆心为 (m, n)
则 
解得
所求的圆的方程为 
(2) 由已知可得 
椭圆的方程为 
, 右焦点为 F( 4, 0) ;
假设存在Q点
使
,
整理得
代入 
得:
, 
因此不存在符合题意的Q点.
福建理
6．以双曲线
的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（本小题满分12分）如图，已知点
，
直线
，为平面上的动点，过作直线
的垂线，垂足为点，且
．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知
，
，求
的值；
20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．
解法一：（Ⅰ）设点，则
，由得：
，化简得
．
（Ⅱ）设直线的方程为：
．
设，，又
，
联立方程组
，消去得：
，
，故
由，得：
，
，整理得：
，
，
．
解法二：（Ⅰ）由得：
，
，
，
．
所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．
（Ⅱ）由已知，，得
．
则：
．…………①
过点分别作准线的垂线，垂足分别为
，
，
则有：
．…………②
由①②得：
，即
．
福建文
10．以双曲线的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
22．（本小题满分14分）
如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．
（1）已知，，求的值；
（2）求
的最小值．
22．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．
解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：
，化简得．
（Ⅱ）（1）设直线的方程为：
．
设，，又，
联立方程组，消去得：，，
由，得：
，，整理得：
，，
．
解法二：（Ⅰ）由得：，
，
，
．
所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．
（Ⅱ）（1）由已知，，得．
则：．…………①
过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，
则有：．…………②
由①②得：
，即．
（Ⅱ）（2）解：由解法一，
．
当且仅当
，即
时等号成立，所以最小值为
．
北京理
17．（本小题共14分）
矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为
，点
在
边所在直线上．
（I）求边所在直线的方程；
（II）求矩形外接圆的方程；
（III）若动圆过点
，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
17．（共14分）
解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为
．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为
．
．
（II）由
解得点的坐标为
，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又
．
从而矩形外接圆的方程为
．
（III）因为动圆过点，所以
是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，
所以
，
即
．
故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长
，半焦距
．
所以虚半轴长
．
从而动圆的圆心的轨迹方程为
．
北京文
4．椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若
，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
Ａ．
Ｂ． Ｃ．
Ｄ．
19．（本小题共14分）
如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．
（I）求边所在直线的方程；
（II）求矩形外接圆的方程；
（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
19．（共14分）
解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．
．
（II）由解得点的坐标为，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又．
从而矩形外接圆的方程为．
（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，
所以，
即．
故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长，半焦距．
所以虚半轴长．
从而动圆的圆心的轨迹方程为．
安徽理
（9）如图，和分别是双曲线
的两个焦点，和是以为圆心，以
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△
是等边三角形，则双曲线的离心率为
（A） （B）
（C）
（D）
（14）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为
.
(19) (本小题满分12分)
如图，曲线G的方程为y2=2x（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.
（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；
（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：
直线CD的斜率为定值.
19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．
解：（Ⅰ）由题意知，
．
因为
，所以
．
由于
，故有
． （1）
由点
的坐标知，
直线的方程为
．
又因点在直线上，故有
，
将（1）代入上式，得
，
解得
．
（Ⅱ）因为
，所以直线
的斜率为
．
所以直线的斜率为定值．
安徽文
（2）椭圆
的离心率为
（A） （B）
（C）
（D）
（18）（本小题满分14分）
设F是抛物线G:x2=4y的焦点.
（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程：
（Ⅱ）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足
,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.
18．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．
解：（I）设切点
．由
，知抛物线在点处的切线斜率为
，故所求切线方程为
．
即
．
因为点
在切线上．
所以
，
，
．
所求切线方程为
．
（II）设，
．
由题意知，直线的斜率存在，由对称性，不妨设
．
因直线过焦点
，所以直线的方程为
．
点的坐标满足方程组
得
，
由根与系数的关系知
．
因为，所以的斜率为，从而的方程为
．
同理可求得
．
．
当
时，等号成立．所以，四边形面积的最小值为
．