高考数学复习圆锥曲线与方程变式题
1．（人教A版选修1－1，2－1第39页例2）
如图，在圆
上任取一点P，过点P作X轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？
变式1：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0）．当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．
解：设点M的坐标为
，点P的坐标为
，则
，
．即
，
．
因为点P 在圆上，所以
．
即
，
即
，这就是动点M的轨迹方程．
变式2：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足
．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．
解：设点M的坐标为，点P的坐标为，由，得
，
即
，
．
因为点P在圆上，所以
．
即
，
即
，这就是动点M的轨迹方程．
变式3：设点P是曲线
上的任一点，定点D的坐标为
，若点M满足
．当点P在曲线上运动时，求点M的轨迹方程．
解：设点M的坐标为，点P的坐标为，由
，得
，
即
，
．
因为点P在圆上，所以
．
即
，这就是动点M的轨迹方程．
2．（人教A版选修1－1，2－1第40页练习第3题）
已知经过椭圆
的右焦点
作垂直于x轴的直线A
B，交椭圆于A，B两点，
是椭圆的左焦点．
（1）求
的周长；
（2）如果AB不垂直于x轴，的周长有变化吗？为什么？
变式1（2005年全国卷Ⅲ）：设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
A．
B．
C．
D．
解一：设椭圆方程为
，依题意，显然有
，则
，即
，即
，解得
．选D．
解二：∵△F1PF2为等腰直角三角形，∴
.
∵
，∴
，∴
．故选D．
变式2：已知双曲线
的左，右焦点分别为
，点P在双曲线的右支上，且
，则此双曲线的离心率e的最大值为
．
解一：由定义知
，又已知，解得
，
，在
中，由余弦定理，得
，要求
的最大值，即求
的最小值，当
时，解得
．即的最大值为
．
解二：设
，由焦半径公式得
，∵
，∴
，∴
，∵
，∴
，∴的最大值为．
变式3（2005年全国卷Ⅰ）：已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在
轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，
与
共线．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且
，证明
为定值．
解：（Ⅰ）设椭圆方程为
，
则直线AB的方程为
，代入
，化简得
.
设A（
），B
），则
由
与
共线，得
又
，
即
，所以
，
故离心率
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，所以椭圆可化为
设
，由已知得
在椭圆上，
即
①
由（Ⅰ）知
又
，代入①得
故
为定值，定值为1.
3．（人教A版选修1－1，2－1第47页习题2.1A组第6题）
已知点P是椭圆
上的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标．
变式1（2004年湖北卷理）：已知椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为
A．
B．3 C．
D．
解：依题意，可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为
，则点P到x轴的距离为，故选D．（可以证明不存在以点P为直角顶点的三角形）
变式2（2006年全国卷Ⅱ）：已知
的顶点B、C在椭圆
上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是
A．
B．6 C．
D．12
解：由于椭圆的长半轴长
，而根据椭圆的定义可知的周长为
，故选C．
4．（人教A版选修1－1，2－1第47页习题2.1B组第3题）
如图，矩形ABCD中，
，
，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，
，
，
是线段CF的四等分点．请证明直线ER与
、ES与
、ET与
的交点L，M，N在同一个椭圆上．
变式1：直线
与双曲线
的右支交于不同的两点A、B.若双曲线C的右焦点F在以AB为直径的圆上时，则实数
．
解：将直线代入双曲线C的方程
整理，得
……①
依题意，直线L与双曲线C的右支交于不同两点，故
解得
．
设A、B两点的坐标分别为
、
，则由①式得
……②
∵双曲线C的右焦点F 
在以AB为直径的圆上，则由FA⊥FB得：
整理，得
……③
把②式及
代入③式化简，得
解得
，故
．
变式2（2002年广东卷）：A、B是双曲线
上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点．
（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
解：（Ⅰ）直线AB的方程为
．（求解过程略）
（Ⅱ）联立方程组
得
、
．
由CD垂直平分AB，得CD方程为
．
代入双曲线方程整理，得
．
记
，
以及CD的中点为
，
则有
从而
．
∵
．
∴
．
又
．
即A、B、C、D四点到点M的距离相等．
故A、B、C、D四点共圆．
变式3（2005年湖北卷）：设A、B是椭圆
上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定
的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为
整理，得
①
设
①的两个不同的根，
②
是线段AB的中点，得
解得
＝－1，代入②得，＞12，即的取值范围是（12，＋
）.
于是，直线AB的方程为
解法2：设
依题意，
（Ⅱ）解法1：
代入椭圆方程，整理得
③
③的两根，
于是由弦长公式可得
④
将直线AB的方程
⑤
同理可得
⑥
假设在在＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为
⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故当
时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，
为半径的圆上.
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：
A、B、C、D共圆
△ACD为直角三角形，A为直角
⑧
由⑥式知，⑧式左边＝
由④和⑦知，⑧式右边＝
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆
解法2：由（Ⅱ）解法1及.
代入椭圆方程，整理得
③ 解得
.
将直线AB的方程
代入椭圆方程，整理得
⑤ 解得
.
不妨设
∴
计算可得
，∴A在以CD为直径的圆上.
又点A与B关于CD对称，∴A、B、C、D四点共圆.
（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）
5．（人教A版选修1－1，2－1第59页习题2.2B组第1题）
求与椭圆
有公共焦点，且离心率
的双曲线的方程．
变式1（2002年北京卷文）：已知椭圆
和双曲线
有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是
A．
B．
C．
D．
解：依题意，有
，即
，即双曲线方程为
，故双曲线的渐近线方程是
，即，选D．
变式2（2004年全国卷Ⅳ理）：已知椭圆的中心在原点，离心率
，且它的一个焦点与抛物线
的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：∵抛物线的焦点坐标为（－1，0），则椭圆的
，又，则
，进而
，所以椭圆方程为，选A．
6．（人教A版选修1－1，2－1第66页例4）
斜率为1的直线
经过抛物线
的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
变式1：如果
，
，…，
是抛物线上的点，它们的横坐标依次为
，
，…，
，F是抛物线的焦点，若
，则
___．
解：根据抛物线的定义，可知
（
，2，……，8），
∴
．
变式2（2004年湖南卷理）：设F是椭圆
的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点
使
，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为 ．
解：设
，则
，于是
，即
，由于
，
，故
，又
，故
．
变式3（2006年重庆卷文）：如图，对每个正整数
，
是抛物线
上的点，过焦点
的直线
交抛物线于另一点
．
（Ⅰ）试证：
；
（Ⅱ）取
，并记
为抛物线上分别以
与
为切点的两条切线的交点．试证：
．
证明：（Ⅰ）对任意固定的
,因为焦点
,所以可设直线
的方程为
,将它与抛物线方程联立，
得
，由一元二次方程根与系数的关系得
．
（Ⅱ）对任意固定的，利用导数知识易得抛物线在处的切线的斜率
，故在处的切线方程为
， ①
类似地，可求得在处的切线方程为
， ②
由②减去①得
，
从而
， 
，
， ③
将③代入①并注意到得交点的坐标为
.
由两点间距离公式,得
=
.从而
.
现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，
…
…
=
.
7．（人教A版选修2－1第67页例5）
过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
变式（2001年全国卷）：设抛物线
（
）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点．点 C在抛物线的准线上，且BC∥X轴．证明直线AC经过原点O．
证明1：因为抛物线（）的焦点为
，所以经过点F的直线AB的方程可设为
，代人抛物线方程得
．
若记
，
，则
是该方程的两个根，所以
．
因为BC∥X轴，且点C在准线
上，所以点C的坐标为
，
故直线CO的斜率为
即也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．
证明2：如图，记X轴与抛物线准线L的交点为E，
过A作AD⊥L，D是垂足．则
AD∥FE∥BC．
连结AC，与EF相交于点N，则
根据抛物线的几何性质，AF=AD，BF=BC ，
即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O．
8．（人教A版选修1－1第74页，2－1第85页复习参考题A组第8题）
斜率为2的直线与双曲线
交于A，B两点，且
，求直线的方程．
变式1（2002年上海卷）：已知点
和
，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线
交于D、E两点，求线段DE的长．
解：根据双曲线的定义，可知C的轨迹方程为．
联立
得
．
设
，
，则
．
所以
．
故线段DE的长为
．
变式2：直线
与椭圆
交于不同两点A和B，且
（其中O为坐标原点），求k的值．
解：将代入，得
．
由直线与椭圆交于不同的两点，得
即
．
设
，则
．
由，得
．
而
．
于是
．解得
．故k的值为
．
变式3：已知抛物线
．过动点M（
，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B．若
,求a的取值范围．
解：直线的方程为
，
将 
，
得 
．
设直线与抛物线的两个不同交点的坐标为
、
，
则 
又
，
∴ 
．
∵ 
，
∴ 
．
解得
．