高中数学新题型选编（共70个题）（一）
1、（Ⅰ）已知函数：
求函数
的最小值;
（Ⅱ）证明:
；
（Ⅲ）定理:若
均为正数,则有
成立
(其中
．请你构造一个函数
，证明：
当
均为正数时，
．
解：（Ⅰ）令
得
…2分
当
时，
故在
上递减．
当
故在
上递增．所以，当
时，的最小值为
.….4分
（Ⅱ）由
，有
即
故 ．………………………………………5分
（Ⅲ）证明:要证：
只要证：
设
…………………7分
则
令
得
…………………………………………………….8分
当
时，
故
上递减，类似地可证
递增
所以
的最小值为
………………10分
而
=
=
=
由定理知: 
故
故
即: .…………………………..14分
2、用类比推理的方法填表
| 等差数列 | 等比数列 |
|
|
|
|
|
|
|
|
中
中
答案：
3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：
（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于
A．n
B．n+1
C．n -1
D．
答案：D
4、若
为
的各位数字之和，如：
，
，则
;记
____
答案：5
5、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。
 | |||||
 | | ||||
 |  | ||||||
 |  | ||||||
（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；
（2）若SA
面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小；
（3）求点D到面SEC的距离。
（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）………………3分
证明：
且AB、AD是面ABCD内的交线
SA底面ABCD……………………5分
（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，
则GF//EA,GF=EA,AF//EG
而由SA面ABCD得SACD，
又ADCD，CD面SAD，
又SA=AD,F是中点，
面SCD,EG面SCD,
面SCD
所以二面角E-SC-D的大小为90
…………10分
(3)作DHSC于H，
面SEC面SCD,DH面SEC,
DH之长即为点D到面SEC的距离，12分
在Rt
SCD中，
答：点D到面SEC的距离为
………………………14分
6、一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列
中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列
，结果表明：①从A口输入
时，从B口得
；②当
时，从A口输入
，从B口得到的结果
是将前一结果
先乘以自然数列
中的第
个奇数，再除以自然数列中的第
个奇数。试问：
（1） 从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？
（2） 从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由。
解（1）
（2）先用累乖法得
得
7、在△ABC中，
，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：
| 条件 | 方程 |
| ①△ABC周长为10 |
|
| ②△ABC面积为10 |
|
| ③△ABC中，∠A=90° |
|
则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为
（用代号
、
、
填入）
答案：
8、已知两个函数和
的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.
| x | 1 | 2 | 3 |
| f（x） | 2 | 3 | 1 |
| x | 1 | 2 | 3 |
| g（x） | 1 | 3 | 2 |
填写下列
的表格,其三个数依次为
| x | 1 | 2 | 3 |
| g (f（x）) |
|
A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1
答案：D
9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“
”如下：
当
时，
；
当
时，
。
则函数
的最大值等于（ C
）
（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A. 
B.
1 C.
6 D.
12
10、已知
，［x］表示不大于x的最大整数，如
，
，
，则
_____________；使
成立的x的取值范围是_____________ 答案：2
11、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线
上”这个课题，我们可以分三步进行研究：
（I）首先选取如下函数：
，
，
求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：
与其反函数
的交点坐标为（－1，－1）
与其反函数
的交点坐标为（0，0），（1，1）
与其反函数
的交点坐标为（
），（－1，0），（0，－1）
（II）观察分析上述结果得到研究结论；
（III）对得到的结论进行证明。
现在，请你完成（II）和（III）。
解：（II）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y＝x上 2分
（III）证明：设点（a，b）是
的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y＝x对称，则点（b，a）也是的图象与其反函数图象的交点，且有
若a＝b时，交点显然在直线上
若a<b且是增函数时，有
，从而有b<a，矛盾；若b<a且是增函数时，有
，从而有a<b，矛盾
若a<b且是减函数，有，从而a<b成立，此时交点不在直线y＝x上；同理，b<a且是减函数时，交点也不在直线y＝x上。
综上所述，如果函数是增函数，并且的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线上；
如果函数是减函数，并且的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y＝x上。 14分
12、设M是由满足下列条件的函数
构成的集合：“①方程
有实数根；②
函数的导数
满足
.”
（I）判断函数
是否是集合M中的元素，并说明理由；
（II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意
[m，n]
D，都存在
[m，n]，使得等式
成立”，
试用这一性质证明：方程
只有一个实数根；
（III）设
是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的
.
解：（1）因为
，…………2分
所以
满足条件
………………3分
又因为当
时，
，所以方程有实数根0.
所以函数是集合M中的元素.…………4分
（2）假设方程存在两个实数根
），
则
，………5分 不妨设
，根据题意存在数
使得等式
成立，……………………7分
因为
，所以
，
与已知矛盾，所以方程只有一个实数根；…………9分
（3）不妨设
，因为
所以为增函数，所以
，
又因为
，所以函数
为减函数，………………10分
所以
，…………11分
所以
，即
…………12分
所以
…………………………13分
13、在算式“2×□+1×□=30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数应分别为 和 . 答案：9，12.
14、如图为一几何体的的展开图，其中ABCD是边长
为6的正方形，SD=PD＝6，CR=SC，AQ=AP，点S,
D,A,Q及P,D,C,R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，
使P，Q，R，S四点重合，则需要 个这样的
几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体。 答案：3
15、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比为
．
（Ⅰ）试解释
的实际意义；
（Ⅱ）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由．
答案：解：（I）f（0）=1．表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化．……………2＇
（Ⅱ）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后．残留的农药量为 W1=1×f（a）=
；……………………………………………………………………4＇
又如果用
单位量的水清洗1次，残留的农药量为1×f（）=
，
此后再用单位量的水清洗1次后，残留的农药量为
W2=·f（）=[]2=
．……………………………8＇
由于W1－W2=－=
，………………………9＇
故当a>2
时，W1>W2，此时，把a单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a=2时，W1=W2，此时，两种清洗方式效果相同；当a<2时，W1<W2，此时，把a单位量的水清洗一次，残留的农药量较少．…………………………12＇
16、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数。下列函数：
①
f(x)=sinx； ②f(x)=π(x－1)2+3； ③
④
，
其中是一阶格点函数的有 . 答案：①②④
17、一水池有2个进水口,1个出水口,一个口进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,
该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口),给出以下3个论断：
进水量 出水量 蓄水量
甲 乙 丙
（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不
出水。则一定不确定的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上)。
答案：（2）（3）
18、已知等比数列{an}的前n项和为Sn.
(Ⅰ)若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，证明am，am＋2，am＋1成等差数列；
(Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.
证 (Ⅰ) ∵Sm＋1＝Sm＋am＋1，Sm＋2＝Sm＋am＋1＋am＋2．
由已知2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，∴ 2(Sm＋am＋1＋am＋2)＝Sm＋(Sm＋am＋1)，
∴am＋2＝－am＋1，即数列{an}的公比q＝－.
∴am＋1＝－am，am＋2＝am，∴2am＋2＝am＋am＋1，∴am，am＋2，am＋1成等差数列.
(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列.
设数列{an}的公比为q，∵am＋1＝amq，am＋2＝amq2．
由题设，2am＋2＝am＋am＋1，即2amq2＝am＋amq，即2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－.
当q＝1时，A≠0，∴Sm， Sm＋2， Sm＋1不成等差数列.
逆命题为假.
19、2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取1000户，按
|
本地区在“十一五”规划中明确
提出要缩小贫富差距，到2010年
要实现一个美好的愿景，由右边圆图显示，则中等收入家庭的数
量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基
础要降低的百分比分别为 ( B )
A．25% , 27.5% B．62.5% , 57.9% C．25% , 57.9% D．62.5%,42.1%
20、一个三位数abc称为“凹数”，如果该三位数同时满足a＞b且b＜c，那么所有不同的三位“凹数”的个数是_____________________．
答案：三位“凹数”可分两类：一类是aba，共有
＝45，另一类是abc，a≠c，共有2
＝240，故共有45+240＝285个
21、定义运算
，若复数
，
，则
。答案：-4
22、从装有
个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出
个球
,共有
种取法。在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，共有
，即有等式：
成立。试根据上述思想化简下列式子：
。
。
答案：
根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从
个球（n个白球，k个黑球）中取出m个球，可分为：没有黑球，一个黑球，……，k个黑球等
类，故有种取法。
23、定义运算x※y=
，若m－1※m=m－1，则m的取值范围是
24、在公差为
的等差数列
中，若
是的前项和，则数列
也成等差数列，且公差为
，类比上述结论，相应地在公比为
的等比数列
中，若
是数列的前项积，则有＝ 
。
25、考察下列一组不等式：
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为
26、对任意实数
，定义运算
，其中
为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。现已知
，且有一个非零实数，使得对任意实数
，都有
，则
。
27、对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数”。在实数轴R（箭头向右）上[]是在点左侧的第一个整数点，当是整数时[]就是。这个函数[]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么
=___________________8204
28、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。05年8月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆料”：
媒体A：“……, 凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了120万欧元。”
媒体B：“……, 凯尔特人俱乐部出价从120万欧元提高到了100万美元，同
时增加了不少附加条件。”
媒体C：“……, 凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了120万欧元。”
请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值），我们可以发现只有媒体 
（填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些。
 |
29、已知二次函数
同时满足：①不等式
的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在
，使得不等式
成立。
设数列的前项和
，
（1）求数列的通项公式；
（2）试构造一个数列，（写出的一个通项公式）满足：对任意的正整数都有
，且
，并说明理由；
（3）设各项均不为零的数列
中，所有满足
的正整数
的个数称为这个数列的变号数。令
（为正整数），求数列的变号数。
解：（1）∵的解集有且只有一个元素，∴
，
当
时，函数
在
上递增，故不存在，使得不等式成立。
当
时，函数
在
上递减，故存在，使得不等式成立。
综上，得，，∴
，
∴
（2）要使，可构造数列
，∵对任意的正整数都有，
∴当时，
恒成立，即
恒成立，即
，
又
，∴
，∴
，等等。
（3）解法一：由题设
，
∵
时，
，∴时，数列递增，
∵
，由
，可知
，即时，有且只有
个变号数；
又∵
，即
，∴此处变号数有
个。
综上得 数列共有
个变号数，即变号数为。
解法二：由题设，
时，令
；
又∵
，∴时也有
。
综上得 数列共有个变号数，即变号数为。
30、在R上定义运算△：x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是
。
31、已知
之间满足
（1）方程表示的曲线经过一点
，求b的值
（2）动点(x,y)在曲线
(b>0)上变化，求x2+2y的最大值；
（3）由能否确定一个函数关系式
，如能，求解析式；如不能，再加什么条件就可使之间建立函数关系，并求出解析式。
解：（1）
（4分）
（2）根据得
（5分）
（7分）
（10分）
（2）不能 （11分）
如再加条件
就可使之间建立函数关系
（12分）
解析式
（14分）
（不唯一，也可其它答案）
32、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的
。已知一个铁钉受击次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的
，请从这个实事中提炼出一个不等式组是 
。
33、已知
，记
，（其中
），例如：
。设
，且满足
，则有序数组
是 
。 
34、（12′=9′+3′）（理）设
表示幂函数
在上是增函数的
的集合；
表示不等式 
对任意
恒成立的的集合。（1）求
；（2）试写出一个解集为的不等式。
（文）设表示幂函数
在上是增函数的的集合；表示不等式
对任意恒成立的的集合。（1）求
；（2）试写出一个解集为的不等式。
解：（理）（1）∵幂函数在上是增函数，∴
，即
，
又不等式对任意恒成立，∴
，即
，
∴
。
（2）一个解集为的不等式可以是 
。
（文）（1）∵幂函数在上是增函数，∴
，即
，
又不等式对任意恒成立，∴
，即
，
∴
。
（2）一个解集为的不等式可以是 
。
35、（理）已知
为正常数。
（1）可以证明：定理“若
、
，则
（当且仅当
时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（2）若
在上恒成立，且函数
的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测
的单调性（无需证明）；
（3）对满足（2）的条件的一个常数，设
时，取得最大值。试构造一个定义在
上的函数
，使当
时，
，当
时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。
解：（1）若、
、
，则
（当且仅当
时取等号）。
（2）
在上恒成立，即
在上恒成立，
∵
，∴
，即
，
又∵
∴
，即
时，
，
又∵
，∴
。
综上，得
。
易知，是奇函数，∵时，函数有最大值，∴
时，函数有最小值。
故猜测：
时，单调递减；
时，单调递增。
（3）依题意，只需构造以
为周期的周期函数即可。
如对
，
，此时
，
即 
。
（文）已知函数
，
，
（Ⅰ）当
时，若在
上单调递增，求的取值范围；
（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对
：当是整数时，存在，使得
是的最大值，
是的最小值；
（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对，试构造一个定义在
，且
上的函数
，使当
时，
，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。
解：（Ⅰ）当时，
，
若，
，则在上单调递减，不符题意。
故
，要使在上单调递增，必须满足
，∴
。
（Ⅱ）若，
，则无最大值，故，∴为二次函数，
要使有最大值，必须满足
，即
且
，
此时，
时，有最大值。
又取最小值时，
，依题意，有
，则
，
∵且，∴
，得
，此时
或
。
∴满足条件的实数对是
。
（Ⅲ）当实数对是时，
依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。
如对
，
，
此时，
，
故
。
36、有穷数列{an}，Sn为其前n项和，定义
为数列{an}的“凯森和”，
如果有99项的数列a1、a2、a3、…、a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列
1、a1、a2、a3、a4、…a99的“凯森和”
= 991 。
37、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知
，
，求证
，
证明：构造函数
因为对一切xÎR，恒有≥0，所以
≤0,
从而得，
（1）若
，
，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。
解：（1）若
，
，
求证：
(4¢)
（2）证明：构造函数
(6¢)
(9¢)
(11¢)
因为对一切xÎR，都有≥0，所以△=
≤0,
从而证得：
. (14¢)
38、已知两个向量
，
.
（1）若t=1且
，求实数x的值；
（2）对tÎR写出函数
具备的性质.
解：（1）由已知得
……2分
……4分
解得
，或
……6分
（2）
……8分
具备的性质：
①偶函数；
②当
即
时，
取得最小值
（写出值域为
也可）；
③单调性：在
上递减，
上递增；由对称性，在
上递增，在
递减
……14分
说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点（，
）等皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣1分
39、对于集合N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn= n .2n–1 。(不必给出证明)
40、若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆
有
。类似地，对于双曲线
有
=
。
41、已知
（1）
, 求
的最小值
（2）P、Q关于点（1，2）对称，若点P在曲线C上移动时，点Q的轨迹是函数的图象，求曲线C的轨迹方程。
（3）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从可抽象出
的性质，试分别写出一个具体的函数，抽象出下列相应的性质
由
可抽象出
由
可抽象出
(1) 
…………3’
等号当x=2时成立，
…………………………4’
(2)设P(x,y)则Q(2-x,4-y)………………………………………………5’
由4－y=lg(2－x)可得：y=4－lg(2－x)………………………………８’
(3) h(x)=_______y=2x等_______, ９’ φ(x)=____y=lgx等__11’
42、已知函数
的最大值为正实数，集合
，集合
。
（1）求
和
；
（2）定义与的差集：
且
。
设
，
，
均为整数，且
。
为取自
的概率，
为取自
的概率，写出与的二组值，使
，
。
（3）若函数
中，， 是（2）中较大的一组，试写出在区间[
,n]上的最大值函数
的表达式。
答案：（1）∵
，配方得
，由
得最大值
。……………………………………………………………3分
∴
，
。…………………………6分
（2）要使
，
。可以使①
中有3个元素，
中有2个元素， 
中有1个元素。则
。…………………………………………………9分
②中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则
…………………………………………………………………………12分
（3）由（2）知
…………………………13分
………………………………………………18分
43、在数学拓展课上，老师规定了一种运算:a*b=
,例如：1*2=1，3*2=2，则函数
的值域为
。
44、已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）
顺次为一次函数
图象上的点，
点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）
顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），
对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成以
Bn为顶点的等腰三角形。
⑴求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列；
⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式；
⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在， 请说明理由。
解：（1）
(nÎN),yn+1-yn=
,∴{yn}为等差数列 (4¢)
（2）xn+1-xn=2为常数 (6¢) ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…，x2n都是公差为2的等差数列，
∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，
∴xn=
(10¢)
（3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 AnAn+1=2
=2(
)Þxn+1-xn=2()
当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
Þ2(1-a)=2() Þa=
(n为奇数，0＜a＜1) (*)
取n=1，得a=
，取n=3，得a=
，若n≥5，则(*)无解； (14¢)
当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2()Þa=(n为偶数，0＜a＜1) (*¢)，取n=2，得a=
,
若n≥4，则(*¢)无解.
综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、. (18¢)
45、⑴证明：当a＞1时，不等式
成立。
⑵要使上述不等式成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。
⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。
解：（1）证：
,∵a＞1，∴
＞0，
∴原不等式成立 (6¢)
（2）∵a-1与a5-1同号对任何a＞0且a¹1恒成立，∴上述不等式的条件可放宽
为a＞0且a¹1 (9¢)
（3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a＞0且a¹1，m＞n＞0，则有
(12¢)
证：左式-右式=
(14¢)
若a＞1，则由m＞n＞0Þam-n＞0,am+n＞0Þ不等式成立；
若0＜a＜1，则由m＞n＞0Þ0＜am-n＜1, 0＜am+n＜1Þ不等式成立.(16¢)
46、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：
明文 密文 密文 明文，
现在加密密钥为y=loga(x+2)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，
再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密
后得到明文为 14 。
47、规定a△b=
，a, b
，若1△k=3，则函数f(x)=k△x的值域为 (1,+¥ )
48、同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；
反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语
言描述为：若有限数列
满足
，则
（结论用数学式子表示）.
和
49、已知数列
，其中
是首项为1，公差为1的等差数列；
是公差为
的等差数列；
是公差为
的等差数列（
）.
（1）若
，求；
（2）试写出
关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得
是公差为
的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
[解]（1）
.
…… 4分
（2）
，
…… 8分
，
当
时，
.
…… 12分
（3）所给数列可推广为无穷数列
，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当
时，数列
是公差为
的等差数列. …… 14分
研究的问题可以是：试写出
关于的关系式，并求的取值范围.…… 16分
研究的结论可以是：由
，
依次类推可得 
当
时，
的取值范围为
等.
…… 18分
50、定义一种运算“*”，对于
，满足以下运算性质：
① 
；② 
。则
的数值为_____3004_____。
 |
51、已知命题：平面上一矩形
的对角线
与边
和
所成角分别为
，则
。若把它推广到空
间长方体中，试写出相应的命题形式：____________________
_____________________________________________________。
长方体
中，对角线
与棱
所成的角分别为
，则
，
。或是：长方体中，对角线与平面
所成的角分别为，则
，
。或是：长方体中，对角面
与平面
所成的二面角分别为
，则
。
52、如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
(1)设数列
是公方差为
的等方差数列，求
和
的关系式；
(2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；
(3) 设数列是首项为，公方差为的等方差数列，若将
这种顺
序的排列作为某种密码，求这种密码的个数．
(1)解：由等方差数列的定义可知：
………………5分
(2)证法一：∵是等差数列，设公差为
，则
又是等方差数列，∴
………………………………7分
∴ 
即
， …………………………………10分
∴
，即是常数列．…………………………………………………11分
证法二：∵是等差数列，设公差为，则
……1
又是等方差数列，设公方差为，则……2…………7分
1代入2得，
……3
同理有，
……4
两式相减得：即
，…………………………………10分
∴，即是常数列．………………………………………………11分
证法三：（接证法二1、2）
由1、2得出：若，则是常数列 …………………8分
若
， 则
是常数,
∴，矛盾…………10分
∴ 是常数列．
…………………11分
(3)依题意， 
，
，
∴
，或
，
……………………………13分
即该密码的第一个数确定的方法数是，其余每个数都有“正”或“负”两种
确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是
种，
故，这种密码共
种．…………………………………………………16分
53、已知函数
，当点
在
的图像上移动时，
点
在函数
的图像上移动．
（1） 若点P坐标为（
），点Q也在的图像上，求
的值；
（2） 求函数的解析式；
（3） 当
时，试探求一个函数
使得
在限定定义域为
时有最小值而没有最大值．
解：（1）当点坐标为（），点的坐标为
，…………2分
∵点也在的图像上，∴
，即
．……5分
（根据函数的单调性求得，请相应给分）
（2）设
在的图像上
则
，即
……………………………………8分
而在的图像上，∴
代入得，
为所求．…………………………………11分
（3）
；或
等． …………………15分
如：当时，
∵
在单调递减， ∴
故 
，
即有最小值
，但没有最大值．………………………18分
（其他答案请相应给分）
（参考思路）在探求时，要考虑以下因素：①在上必须有意义（否则不能参加与
的和运算）；②由于
和
都是以
为底的对数，所以构造的函数可以是以为底的对数，这样与和进行的运算转化为真数的乘积运算；③以为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；④为方便起见，可以考虑通过乘积消去；⑤乘积的结果可以是的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线
的左侧（否则真数会有最小值，对数就有最大值了），考虑到该二次函数的图像与轴已有了一个公共点
，故对称轴又应该是
轴或在轴的右侧（否则该二次函数的值在上的值不能恒为正数），即若抛物线与轴的另一个公共点是
，则
，且抛物线开口向下．
54、如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数
时，输出结果记为
，且计算装置运算原理如下：
①
若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则
；②若Ⅰ输入固定的正整数，
Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1，
Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。
试求：
（1）
的表达式
；（2）的表达式
；
（3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数，则输出结果
能否为2005？
若能，求出相应的；若不能，则请说明理由。
解：（1）
（2）
（3）
，∵
，
∴输出结果不可能为
。
55、对数列，规定
为数列的一阶差分数列，其中
。
对自然数
，规定
为的阶差分数列，其中
。
（1）已知数列的通项公式
，试判断，
是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列首项
，且满足
，求数列的通项公式。
（3）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得
对一切自然
都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。
解：（1）
，∴是首项为4，公差为2的等差数列。
∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。
（2）
，即
，即
，∴
∵，∴
，
，
，猜想：
证明：ⅰ）当时，
；
ⅱ）假设
时，
时，
结论也成立
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，
（3），即 
∵
∴存在等差数列，
，使得对一切自然都成立。
56、对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f (x)与g (x)，如果对任意x∈[m，n]均有 f
(x) – g (x) ≤1，则称f (x)与g (x)在[m，n]上是接近的，否则称f (x)与g (x)在[m，n]上是非接近的，现有两个函数f 1(x)
= loga(x – 3a)与f 2 (x)
= loga
(a > 0，a≠1)，给定区间[a
+ 2，a + 3]．
（1）若f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？
解：（1）要使f 1 (x)与f 2 (x)有意义，则有
要使f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上有意义，
等价于真数的最小值大于0
即
（2）f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的
f 1 (x) – f 2 (x)≤1
≤1
loga[(x – 3a)(x – a)]≤1
a≤(x – 2a)2
– a2≤
对于任意x∈[a + 2，a + 3]恒成立
设h(x) = (x – 2a)2 – a2，x∈[a + 2，a + 3]
且其对称轴x = 2a
< 2在区间[a + 2，a + 3]的左边
当
时
f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的
当
< a < 1时，f 1 (x)与f 2
(x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是非接近的．
57、已知是定义在
－∞，＋∞
上的函数，∈－∞，＋∞，请给出能使命题：“若＋1＞0，则
＋
＞
＋
”成立的一个充分条件：
．
已知是定义在－∞，＋∞上的函数，∈－∞，＋∞，请给出能使命题：“若＋1＞0，则＋＞＋”成立的一个充分条件：_______.
答案： 函数在－∞，＋∞上单调递增（或＝
＋（＞0）等） ．
58、歌德巴赫（Goldbach．C．德．1690—1764）曾研究过“所有形如
（，为正整数）的分数之和”问题．为了便于表述，引入记号：
＝
＋
＋┅
＋
＋┅
写出你对此问题的研究结论： ＝1 （用数学符号表示）．
59、集合P＝
1，3，5，7，9，┅，2－1，┅
∈N
，若∈P，∈P时，
∈P，则运算 可能是（
D ）
（A）加法； （B）除法； （C）减法； （D）乘法．
60、
，
，┅，
，
，，┅，分别表示实数，，┅，中的最小者和最大者．
（1）作出函数＝｜＋3｜＋2｜－1｜（∈R）的图像；
（2）在求函数＝｜＋3｜＋2｜－1｜（∈R）的最小值时，有如下结论：
＝
，＝4．请说明此结论成立的理由；
（3）仿照（2）中的结论，讨论当
，
，┅，为实数时，
函数＝
＋
＋┅＋
∈R，＜
＜┅＜
∈R的最值．
解：（1）图略；
（2）当∈（－∞，－3）时，是减函数，
当∈
－3，1）时，是减函数，
当∈1，＋∞）时，是增函数，
∴＝，＝4．
（3）当＋＋┅＋＜0时，
＝
，
，┅，
；
当＋＋┅＋＞0时，＝，，┅，；
当＋＋┅＋＝0时，＝，，
＝，．
61、在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和 。
答案：设两数为x、y，即4x＋9y=60，又
=
≥
，等于当且仅当
，且4x＋9y=60，即x=6且y=4时成立，故应分别有6、4。
62、我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为斜坐标系．平面上任意一点P的斜坐标定义为：若
（其中
、
分别为斜坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，x、y∈R），则点P的斜坐标为（x, y）.在平面斜坐标系xoy中，若
，已知点M的斜坐标为 (1, 2)，则点M到原点O的距离为
. 
63、定义运算符号：“
”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记作
，
，其中ai为数列
中的第i项.
①若
，则T4=
；105；
②若
. 
64、如图2,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点.
（1）求二面角B1-MN-B的正切值；
（2）证明：PB⊥平面B1MN；
（3）画出该正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形连成一个长方形”的条件.
符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种情况之一.
答案：
 |
65、为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，温州市卫生部门对本地区9月份至11月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为 90 万只．
 | ||||||||||
| ||||||||||
66、将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.请仿照直角三角形以下性质：
（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；
（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；
（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1.
写出直角三棱锥相应性质（至少一条）： .
答案：(1) 斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一；
（2）三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方；
（3）斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1.
67、定义：若存在常数，使得对定义域
内的任意两个
，均有
成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件。若函数
满足利普希茨条件，则常数的最小值为 
。
68、已知函数y=f(x)满足f(a-tanθ)=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均为常数）
（1）求函数y=f(x)的解析式；
（2）利用函数y=f(x)构造一个数列{xn}，方法如下：
对于给定的定义域中的x1，令x2= f(x1)，x3= f(x2)，…，xn= f(xn-1)，…
在上述构造过程中，如果xi(i=1,2,3,…)在定义域中，构造数列的过程继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止.
① 如果可以用上述方法构造出一个常数列{xn}，求a的取值范围；
② 如果取定义域中的任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求a实数的值.
解：（1）令
则 
①×②，并整理，得 y=
，
∴y=f(x) =， （x≠a）. ………………………………4分
（2）①根据题意，只需当x≠a时，方程f(x) =x有解，
亦即方程 x2+(1-a)x+1-a=0 有不等于的解.
将x=a代入方程左边，得左边为1，故方程不可能有解x=a.
由 △=(1-a)2-4(1-a)≥0，得 a≤-3或a≥1，
即实数a的取值范围是
.
…………………………9分
②根据题意，=a在R中无解，
亦即当x≠a时，方程(1+a)x=a2+a-1无实数解.
由于x=a不是方程(1+a)x=a2+a-1的解，
所以对于任意x∈R，方程(1+a)x=a2+a-1无实数解，
∴ a= -1即为所求a的值. ……………………………………14分
69、已知x>0，由不等式
≥2·
=2，
=
≥
=3,
…，启发我们可以得出推广结论：
≥n+1 (n∈N*)，则a=_________
nn ______．
70、已知存在实数
（其中
）使得函数
是奇函数，且在
上是增函数。
（1）试用观察法猜出两组
与
的值，并验证其符合题意；
（2）求出所有符合题意的与的值。
解：（1）猜想：
或
；--------------------------------4分
由知
，而
为奇函数且在上是增函数。-------------------------------------------------------------------------6分
由知
，而
为奇函数且在上是增函数。-------------------------------------------------------------------------------------------8分
（2）由为奇函数，有
所以
，又
，
解得
。-----------------------------------------------------------------------------10分
当
时，
为奇函数，由于在
上是增函数，所以
，由
，又在上是增函数，故有
，且
或
，故
。----------------------------------------------------------------------------12分
当
时，
为奇函数，由于在上是增函数，所以
，由
，又在上是增函数，故有
，且
或2，故
------------------------------------------------------------14分
所以所有符合题意的与的值为：
或--------------------------------------16分