高中数学毕业招生全国统一考试
参考公式：
如果事件
互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中
表示球的半径
球的体积公式
其中表示球的半径
第I卷（选择题共55分）
一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设
均为直线，其中
在平面
内，则“
”是“
且
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若对任意
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若为实数，
，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若
，则
的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．函数
的图象为
，
①图象关于直线
对称；
②函数
在区间
内是增函数；
③由
的图象向右平移
个单位长度可以得到图象．
以上三个论断中，正确论断的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如果点
在平面区域
上，点
在曲线
上，那么
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．半径为1的球面上的四点
是正四面体的顶点，则
与
两点间的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，
和
分别是双曲线
的两个焦点，和是以
为圆心，以
为半径的圆与
该双曲线左支的两个交点，且
是等边三角形，则双
曲线的离心率为（ ）
|
B．
C．
D．
10．以
表示标准正态总体在区间
内取值的概率，若随机变量
服从正态分布
，则概率
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
11．定义在
上的函数既是奇函数，又是周期函数，
是它的一个正周期．若将方程
在闭区间
上的根的个数记为
，则可能为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
第Ⅱ卷（非选择题 共95分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．
12．若
的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于
．
13．在四面体
中，
为
的中点，
为
的中点，则
（用
表示）．
14．如图，抛物线
与
轴的正半轴交于点，
将线段
的等分点从左至右依次记为
，
过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为
，从而得到
个直角三角形
．当
时，这些三角形
|
15．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知
为
的最小正周期，
，且
．求
的值．
17．（本小题满分14分）
如图，在六面体
中，四边形
是边长为
2的正方形，四边形
是边长为1的正方形，
平面
，平面，
．
（Ⅰ）求证：
与
共面，
与
共面．
（Ⅱ）求证：平面
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的大小（用反三角函数值表示）．
|
18．（本小题满分14分）
设
，
．
（Ⅰ）令
，讨论
在
内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当
时，恒有
．
19．（本小题满分12分）
如图，曲线
的方程为
．以原点为圆心．以
为半径的圆分别与曲线和
轴的正半轴相交于点
与点
．直线
与
轴相交于点
．
（Ⅰ）求点的横坐标与点的横坐标
的关系式
（Ⅱ）设曲线
上点
的横坐标为
，
求证：直线
的斜率为定值．
|
20．（本小题满分13分）
在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以
表示笼内还剩下的果蝇的只数．
（Ⅰ）写出的分布列（不要求写出计算过程）；
（Ⅱ）求数学期望
；
（Ⅲ）求概率
．
21．（本小题满分14分）
某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为
，以后每年交纳的数目均比上一年增加
，因此，历年所交纳的储备金数目
是一个公差为
的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为
，那么，在第
年末，第一年所交纳的储备金就变为
，第二年所交纳的储备金就变为
，
．以
表示到第年末所累计的储备金总额．
（Ⅰ）写出与
的递推关系式；
（Ⅱ）求证：
，其中
是一个等比数列，
是一个等差数列．