专题六 函数与不等式综合问题
1．
已知实数
、
满足：关于x的不等式
对一切
均成立．
⑴ 请验证
，
满足题意；
⑵ 求出所有满足题意的实数、，并说明理由；
⑶ 若对一切
，均有不等式
成立，求实数m的取值范围．
2．
函数
的定义域为
，并满足以下条件：
① 对任意，有
；
② 对任意
，
，有
；
③ 
．
⑴ 求
的值；
⑵ 求证：在上是单调增函数；
⑶ 若
，且
，求证：
．
3．
已知函数
．
⑴ 当
，且
时，求证：
；
⑵ 是否存在实数、
，使得函数
的定义域、值域都是
，若存在，则求出、的值，若不存在，请说明理由．
⑶ 若存在实数数、，使得函数的定义域为时，值域为
，求
的取值范围．
1．
解：（I）当
（II）在
因此满足题意的实数a，b只能是a=－2, b=－8.
（III）
.
∴实数m的取值范围是
.
2．
解法一：（1）令
，得：
（2）任取
、
，且
. 设
则
在R上是单调增函数
（3）由（1）（2）知
而
……………………14分
解法二：（1）∵对任意x、y∈R，有
∴当
时
∵任意x∈R， 
（2）
是R上单调增函数 即是R上单调增函数；
（3）
而
3．
解：（I） ∵x>0，∴
∴f(x)在（0，1）上为减函数，在
上是增函数．
由0<a<b，且f(a)=f(b)，
可得 0<a
1<b和
．
即
．
∴2ab=a+b>
．
故
，即ab>1．
（II）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=的定义域、值域都是
[a，b]，则a>0．
① 当
时，
在（0，1）上为减函数．
故
即 
解得 a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
② 当
时，
在上是增函数．
故
即 
此时a，b是方程
的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
③ 当
，
时，
由于
，而
，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．
（III）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．
则a>0，m>0．
① 当时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故
．此时刻得a,b异号，不符合题意，所以a，b不存在．
② 当或时，由（II）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有．
∵在
上是增函数，
∴
即 
a， b是方程
的两个根．
即关于x的方程有两个大于1的实根．
设这两个根为
，
．
则+=
，·=．
∴
即 
解得 
．
故m的取值范围是．