高三综合测试(二)
一．选择题 （每小题５分，共50分）
1. 在R上定义运算
若不等式
对任意实数
成立，则
A.
B.
C.
D.
2. 
如图在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是
3. 在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点, y轴正半轴有3个点，将x轴上这5个点和y轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有
A.30个 B.35个 C.20个 D.15个
4. 定义集合A*B＝｛xx
A,且x
B｝,若A＝｛1，3，5，7｝，B＝｛2，3，5｝，则A*B的子集个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
5. 已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 已知集合
，集合
，设映射
，如果集合B中的元素都是A中元素的f下的象，那么这样的映射f有
A．16个 B．14个 C．12个 D．8个
7. 已知函数f(x)满足：f(p+q)= f(p) f(q)，f(1)= 3，则
+
+
+
+
的值为
A.15 B.30 C.75 D.60
8. 若A.、B均是非空集合，则A∩B≠φ是A
B的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
9. 在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为
A.0.5 B.1 C. 2 D. 4
10. ab>ac是b>c的
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
第Ⅱ卷（非选择题 共5道填空题6道解答题）
请将你认为正确的答案代号填在下表中
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
二.填空题 （每小题5分，共25分）
11. 已知抛物线ｙ2＝a(x+1)的准线方程是x= -3,那么抛物线的焦点坐标是______.
12. 给出下列图象
其中可能为函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R)的图象的是_____.
13. 已知f(x)=aｘ（ａ＞1），ｇ（ｘ）＝ｂｘ（ｂ＞1），当f(x1)＝g(ｘ2)＝2时，
有ｘ1＞ｘ2，则a,ｂ的大小关系是 .
14. 正三棱锥P－ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是____________.
15. 设正数数列{an}的前n项和为Sn，且存在正数t，使得对于所有自然数n，有
三.解答题 （共75分）
16. 已知a＝(cos
，sin)，b＝(cos
，sin)，其中0＜＜＜
．
(1)求证：a＋b 与a－b互相垂直；
(2)若ka＋b与a－kb的长度相等，求－的值(k为非零的常数)．
17. 一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药的效果，把它给10个
病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种试验有效；反之，
则认为试验无效。若服用新药后，病患者的痊愈率提高，则认为新药有效；反之，
则认为新药无效.试求：
（I）虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.
（II）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.（精确到0.001）
18. 在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交
BC于F，将△ABD沿BD折起，二面角A-BD-C大小记为θ.
（Ⅰ）求证：面AEF⊥面BCD；
（Ⅱ）θ为何值时，AB⊥CD.
19. 
20. 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上.
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
21. 
(1)求证：函数y=f(x)的图象关于点（0.5，－0.5）对称；
(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值;
参考答案
一．选择题
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| C | B | A | D | D | B | B | B | C | D |
3. 交点的个数个数等于在x、y各取两点构成的四边形的个数
二.填空题
11. (1，0)
12. ①③
13. a＜b
14. 3
15. 
三.解答题
16. (1)由题意得：a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)
a－b＝(cos α－cos β， sin α－sin β) 3分
∴(a＋b)·(a－b)＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)＋(sin α＋sin β)(sin α－sin β)
＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝1－1＝0
∴a＋b 与a－b互相垂直． 6分
(2) 方法一：ka＋b＝(kcos α＋cos β，ksin α＋sin β)，
a－kb＝(cos α－kcos β， sin α－ksin β) 8分
ka＋b ＝
， a－kb ＝
9分
由题意，得4cos (β－α)＝0，因为0＜α＜β＜π ，所以β－α＝
． 12分
方法二：由 ka＋b ＝ a－kb 得： ka＋b 2＝ a－kb 2
即(ka＋b )2＝( a－kb )2，k2 a 2＋2ka×b＋ b 2＝ a 2－2ka×b＋k2 b 2 8分
由于 a
＝1， b ＝1
∴k2＋2ka×b＋1＝1－2ka×b＋k2，故a×b＝0，
即(cos，sin)× (cos，sin)＝0 10分
Þ 
因为0＜α＜β＜π ，所以β－α＝． 12分
17. （I）0.514 （II）0.224
18. （Ⅰ）证明：在Rt△ABC中，∠C=30°，D为AC的中点，则△ABD是等边三角形
又E是BD的中点，∵BD⊥AE，BD⊥EF，折起后，AE∩EF=E，∴BD⊥面AEF
∵BD
面BCD，∴面AEF⊥面BCD
（Ⅱ）解：过A作AP⊥面BCD于P，则P在FE的延长线上，设BP与CD相交于Q，
令AB=1，则△ABD是边长为1的等边三角形，若AB⊥CD，则BQ⊥CD
由于∠AEF=θ就是二面角A-BD-C的平面角，
19. 设
,则
f(t)的顶点横坐标为
,属于
,故f(t)在
上是减函数,在
为增函数,所以最小值在达到,为
,当
时达到最小值,该函数没有最大值
20. (1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则BC=AB且AC=AB，即
因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.
（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，
，
，
∠CAB为钝角.
.
该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:
.
解法二： 以AB为直径的圆的方程为:
.
当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G 点不重合，且A，
B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.
因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.
.
.
A，B，C三点共 线，不构成三角形.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：
21. (1)设P(x,y)是y=f(x)的图象上任意一点，
关于(0.5，－0.5)对称点的坐标为:(1-x,-1-y)
∴－1-ｙ＝f（1－ｘ），即函数ｙ＝f（ｘ）的图象关于点（0.5，－0.5）对称.
(2)由(Ⅰ)有f(1-x)=-1-f(x)即f(x)+f(1-x)= -1
∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)= -1
则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3
下面用数学归纳法证明
当n=1时，左＝3，右＝1，3＞1不等式成立
当n=2时，左＝9，右＝4，9＞4不等式成立
令n=k(k≥2）不等式成立即3ｋ＞ｋ2
则ｎ＝ｋ＋1时，左＝3ｋ＋1＝3·3ｋ＞3·ｋ2
右＝（ｋ＋1）2＝ｋ2＋2ｋ＋1
∵3ｋ2－（ｋ2＋2ｋ＋1）＝2ｋ2－2ｋ－1＝2（ｋ－0.5）2－1.5
当ｋ≥2，ｋ∈N时，上式恒为正值
则左＞右，即3ｋ＋1＞（ｋ＋1）2，所以对任何自然数n，总有3ｎ＞ｎ2成立，即对任何自然数n，总有
bｎ＞ｎ2成立