高三综合测试(五)

一、选择题(共12小题，每小题5分)

1．已知集合, ,, 则A(_I B)=　　　　　  （　）

　　　A． 　B．　　C． 　D．　

2．已知数列的前n项和为，且, 则等于　　　　　　　  (　 )

A．4　 　　 B．2　　　　　 C．1　　　　D． -2

3．不等式≥1的解集为　　　　　　　  (　 )

A． 　B．　C．　D．

4．在展开式中，含项的系数是　　　　　　  （　）

　　　A.20　　　B. -20 　　 C. -120　　　 D.120　　

5．设α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是　 (　 )

A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l　　 　 B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ

C．α⊥γ，β⊥γ， m⊥α　　 　　D．n⊥α，n⊥β， m⊥α

6．将直线l：按a = (3, 0)平移得到直线，则的方程为 (　 )

A．　　 B．　　C．　 D．

7．一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为，则球的体积为　  (  )

　　　 A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　　　D. 8　

8．在中，=a，=b，M为OB的中点，N为AB的中点，ON，AM交于点P，

则=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　（　）

A．a-b　　　B．-a+b　　 C．a-b　　　D．-a+b

9．已知是定义在R上的函数，且恒成立，当时，，则当时，函数的解析式为　　　　 （　）

　A． 　　 B． 　　　　C．　　  D．

10．设F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ 　）

　　A．4　　　　 B．6　　　　　 C．　　 　　D．　　

11．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列满足：如果为数列的前n项和，那么的概率为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．　 　　　　　　 B．

　C．　 　　　　　　 D．

12．已知为偶函数，则可以取的一个值为（　 ）

　 A．　 　　B．　 　　　C．　　　　 D．

二、填空题：本大题共四小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

13．已知函数，则 = 　　　　

14．设x，y满足约束条件，则的最大值是 _________．

15．在数列和中，是与的等差中项，且对任意N*都有，则数列的通项公式为 ___　　_______．

16．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b=（a , b为正实数），若1⊙k<3，

则k的取值范围为_________．

 

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

　 已知函数．

（Ⅰ）求的最大值，并求出此时x的值；

（Ⅱ）写出的单调递增区间．

18．（本小题满分12分）

某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？

19．（本小题满分12分）

如图， 正方形ABCD和ABEF的边长均为1，且它们所在的平面互相垂直，G为BC的中点．

（Ⅰ）求点G到平面ADE的距离；

（Ⅱ）求二面角的正切值．

20．（本小题满分12分）

已知（m为常数，且m>0）有极大值，

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）求曲线的斜率为2的切线方程．

21．（本小题满分12分）

已知以向量v=(1, )为方向向量的直线l过点(0, )，抛物线C：(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若(O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程．

22．（本小题满分14分）

已知函数(x≥4)的反函数为，数列满足：a₁=1，，（N*），数列，，，…，是首项为1，公比为的等比数列．

（Ⅰ）求证：数列为等差数列；

（Ⅱ）若，求数列的前n项和．

数学参考答案

一、选择题：　  BACBD　　CABDB　　 BD

二、填空题： 13．　　14． 2　　　15． 　　 16．0<k<1

三、解答题：

17．（本小题满分12分）

 （Ⅰ）

　　　　　  ………………………（6分）

当，即时，

取得最大值.　　　　  ……………………（8分）

（Ⅱ）当，即时，

所以函数的单调递增区间是．………（12分）

18．（本小题满分12分）

设购进8000个元件的总费用为S，一年总库存费用为E，手续费为H．

则，，　　 ……………（3分）

所以S=E+H=　　　　  ………………………（6分）

=　　　　　　　　　  ………………………（8分）

=　　　　　 ………………………（10分）

当且仅当，即n=4时总费用最少，故以每年进货4次为宜．………（12分）

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）∵BC∥AD， AD面ADE,

∴点G到平面ADE的距离即点B到平面ADE的距离．

连BF交AE于H，则BF⊥AE，又BF⊥AD．

∴BH即点B到平面ADE的距离．………………………（2分）

在Rt△ABE中，．

∴点G到平面ADE的距离为．…（4分）

（Ⅱ）过点B作BN⊥DG于点N，连EN，

由三垂线定理知EN⊥DN．　　　　  　 ………………………（6分）

∴为二面角的平面角．………………………（8分）

在Rt△BNG中，

∴

则Rt△EBN中，　………………………（10分）

所以二面角的正切值为． ………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

（Ⅰ）　…………（2分）

　　　  则，　 ………………………………………………（4分）

　　　　由列表得：

x		-m
	+	0	-	0	+
		极大值		极小值

，∴．　 …………（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则

　　  ∴或　　　　…………………………………………（8分）

　　  由，．

　　  所以切线方程为：即；　………（10分）

或即　　……………………（12分）

21．（本小题满分12分）

（Ⅰ）由题意可得直线l：　　 ①

过原点垂直于l的直线方程为 　　②

解①②得．　　…………………………………………（3分）

∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．

∴，

∴抛物线C的方程为．　　　　  ………………………（6分）

（Ⅱ）设，，，

由，得．

又，．

解得 　　 ③　　　………………………（8分）

直线ON：，即　　  ④　　……………（10分）

由③、④及得，

点N的轨迹方程为．………………………（12分）

22．（本小题满分14分）

 （Ⅰ）∵(x≥4)，

∴(x≥0)，　 ……………………………………（2分）

∴，

即（N*）．　　……………………………（4分）

∴数列是以为首项，公差为2的等差数列．……………（6分）

 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：，即

（N*）．　　　 ……………………………（8分）

b₁=1，当n≥2时，，

∴

　　

　　

因而，N*．　 ……………………………（10分）

，

∴

令　　　　　　　 ①

则　　  ②

①-②，得

 

∴．又．

∴．　　 ……………………………（14分）