08高考数学二三轮复习技巧练习

08高考数学二、三轮复习技巧与策略

一、 加强典型研讨，学会举一反三

近几年数学高考题依据教学大纲与考试大纲，在努力保持连续稳定的前提下解放思想，在改革中发展，在探索中创新，每年都有一些有背景、内涵深刻、富有新意的试题，逐步推出了应用题、探索题、阅读理解题，所以考生应加强并通过对典型问题的研讨，探求试题的一般解题规律，学会举一反三．

二、 掌握通性通法，提高解题能力

高考试题一般不要求特殊技巧，着重在“通性、通法”上，总结数学学科中解决问题的基本思想和方法，重点放在有价值的常规方法的应用上，特别是教材中每章节所给出的解决问题的一般方法．

三、 理解思想方法，把握数学特点
　　 数学思想方法是数学的精髓，只有深刻理解并能熟练地运用数学思想方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力，才能体现数学学科的特点，才能形成良好的数学素质．在复习中考生特别要注意以下的数学思想和方法：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想和转化（化归）思想，配方法、消元法、换元法、待定系数法、归纳法、坐标法、参数法、类比法、一般法，观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、归纳与演绎．

四、 重视能力培养，提高解题效率

考查能力是高考永恒的主题．高考数学能力的考查主要是对逻辑思想能力、运算能力、空间想像能力、分析问题和解决问题的能力．在高三数学二、三复习中，尤其要注意逻辑思维能力与运算能力的提高，要学会观察，比较、分析、综合、抽象和概括，会用归纳、演绎和类比进行推理，会用简明准确的数学语言阐述自己的思想和观点，要会根据法则、公式定理、定律正确地进行运算的同时，会理解算理，能够根据题目的条件寻求合理、简捷的运算途径，以达到准确、熟练、迅速的运算．

专题一 函数与导数

能力培养

1． (启东中学, 中档题, 5分值,　4分钟) 设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（ 　 ）

A．且　　　　　　　　　　　　　　 B．且　　

C．且　　　　　　　　　　　　　　 D．且

2． (启东中学, 中档题, 5分值,　4分钟) 若，则a的取值范围是(　　)

A．　　　　　　　Ｂ ． 　　　　　 Ｃ．　　　　　Ｄ．

3． (启东中学, 中档题, 5分值,　4分钟) 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是(　　)

A、　　　　 B、　　　　 C、　　　　D、

4． (启东中学, 中档题, 5分值,　4分钟) 已知是定义在Ｒ上的单调函数，实数，，，．若，则　(　　 )

Ａ．　　　　　 　　　　　 Ｂ．　　　　　　 　　　 Ｃ．　　　　Ｄ．

5． (启东中学, 基础题, 4分值,　4分钟)

已知a,b为常数，若则　　　　　．

6． (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 当　　　　　　  时，在上是减函数．

7． (启东中学, 难题, 4分值,　4分钟) 已知 =在区间上的最大值．则的最小值等于　　　　　　　　．

8． (启东中学, 中档题, 12分值,　10分钟) 设，点P（，0）是函数

的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．

（Ⅰ）用表示a，b，c；

（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围．

9． (启东中学, 难题, 14分值,　12分钟) 已知函数

（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；

（Ⅱ）求函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值．

答　　　 案

1． 答案C

解析  

有7个不同实数解的充要条件是方程有两个根，一个等于0，一个大于0．此时应且．选C

2．答案C　

解析　法一：代特殊值验证

　　　　法二：①当，即时，无解；

　　　　　　　　　　　　 ②当，即时，，故选C．

3． 答案B　

解析 记，则

当时，要使得是增函数，则需有恒成立，所以．矛盾．排除C、D

当时，要使得是增数，则需有恒成立，所以．
排除A　　本题答案选B

4．　A 解析　数形结合法：当，如图Ａ所示，有，当时，如图Ｂ所示，有，故选A．

 

5． 答案2．　 解析由f(x)=x²+4x+3,　 f(ax+b)=x²+10x+24,

　　　　 得：（ax+b）²+4(ax+b)+3=x²+10x+24,

　　　　 即：a²x²+2abx+b²+4ax+4b+3=x²+10x+24,

　　　　  比较系数得：

　　　　  求得：a=－1,b=－7,　或a=1,b=3，则5a－b=2．

6． 答案 　解析，由题意知是函数的单调减区间，因此．

7． 答案 　解析为偶函数, 即在内最大值．

　　　　 当a＜0时, =,=1－a;

　　　　 当a＞0时, 若≥1, 则=a．　 若≤1, 则=1－a．

　　　　 ∴=当a=时, 有最小值．

8． 解析（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，

　 　即．因为所以．

　　　

　　　 又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以

　　　 而

　　　 将代入上式得　因此故，，

（II）解法一:．

当时，函数单调递减．

由，若；若

由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则

所以

又当时，函数在（－1，3）上单调递减．

所以的取值范围为

解法二：

　　　 因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）

上的抛物线，

　　　 所以　即解得

　　　 所以的取值范围为

9． 解析(Ⅰ)由题意,f(x)=x²

当x<2时,f(x)=x²(2－x)=x,解得x=0,或x=1;

当x

综上所述,所求解集为．

(Ⅱ)设此最小值为m．

①当

　　　　　　因为:

　　　　　　则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1－a．．

②当1<a．

③当a>2时，在区间[1，2]上，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　 若在区间(1，2)内f^/(x)>0,从而f(x)为区间[1，2]上的增函数，

　　　　　　 由此得：m=f(1)=a－1．

　　　　　　 若2<a<3,则

　　　　　　 当

　　　　　　 当

　　　　　　 因此，当2<a<3时，m=f(1)=a－1或m=f(2)=4(a－2)．

　　　　　　 当;

　　　　　　 当

　　　 综上所述，所求函数的最小值

专题二　　不等式

复习策略

一．不等式的证明策略

不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合．高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本专题着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力．

二．不等式的解法策略

不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式．

三．不等式的应用策略

不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出．不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本专题提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题．

典例剖析

例1已知函数，数列满足

 （Ⅰ）设，证明：；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的数列的前n项和为S_n，证明

解析（Ⅰ）由题意得，

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）证明过程可知，

点评 本题主要考查函数、数列、不等式的证明等基本知识，考查应用放缩法证明不等式 ．

例2已知函数

（1）求函数的最大值；

（2）当时，求证；

解析（1）

　　令得

当时，　当时，又

　当且仅当时，取得最大值0

（2）

由（1）知

又

点评 利用导数证明不等式问题比较新颖,考生对方面问题应加以重视．

例3 已知二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴

有两个不同的公共点，若f(c)＝0，

x

且0＜x＜c时，f(x)＞0．
(1)试比较与c的大小；
(2)证明：－2＜b＜－1；
(3)当c＞1，t＞0时，求证：＞0．

解析 由已知，f(x)的图象与x轴有两个不同的公共点　∴f(x)＝0有两个不同的实数根x₁、x₂
∵f(c)＝0，且x₁·x₂＝, ∴f(x)＝0的两个根就是c和　　 ．

如果＜c，∵a＞0，故＞0，即0＜＜c
而当0＜x＜c时，f(x)＞0，所以有f()＞0，这与时f(x)＝0的根矛盾　∴＞c

(2)证明：∵f(c)＝0，∴ac²＋bc＋c＝0
又c＞0，故ac＋b＋1＝0
∵a＞0，c＞0，所以ac＞0，于是b＋1＜0，故b＜－1　

又f(x)的图象对称轴x＝－，且f(x)＝0的两根为c和，且c＜
∴－＜　Þ　b＞－2 ,　故－2＜b＜－1　　

(3)证明：∵t＞0，要证＞0
对左边通分后知，只需证分子(a＋b＋c)t²＋(a＋2b＋3c)t＋2c＞0即可
记g(t)＝(a＋b＋c)t²＋(a＋2b＋3c)t＋2c
由0＜1＜c且0＜x＜c时f(x)＞0，有f(1)＝a＋b＋c＞0
又a＋2b＋3c＝(a＋b＋c)＋(b＋2c)＞b＋2c＞b＋2＞2　　

∴g(t)图象的对称轴t＝－＜0　∴函数g(t)在[0，＋∞上递增
故当t＞0时，g(t)＞g(0)＝2c＞0　∴原结论成立．

例4已知数列中，，．

(1)若，求实数的取值范围；

(2)求证：不存在正实数，使，对任意恒成立．

解析 (1) ，　　　　

∴

∵，∴，故．　　　　　　　　　　　　　　　

　(2)(反证法) 假设存在正实数，对任意，使恒成立．则恒成立，

　　　∴，∴，　　　 ∴，

　　　又，，……，，

 ∴，即，　　　　　　　　　　　　 

故取即，有，则与矛盾．

因此，不存在正实数，使，对任意恒成立．

点评 存在性问题常常可用反证法证明．

例5已知函数的最大值不大于，又当

　 （1）求a的值；

　 （2）设

解析（1）由于的最大值不大于

所以　 ①　  

又所以．　②

由①②得　　　　　　　　　　　

（2）证法一：（i）当n=1时，，不等式成立；

因时不等式也成立．

（ii）假设时，不等式成立，

因为的对称轴为

知为增函数，所以由得

 

于是有

所以当n=k+1时，不等式也成立．　

根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立．

证法二：（i）当n=1时，，不等式成立；

（ii）假设时不等式成立，即，则当n=k+1时，

 

因所以

 

于是　 因此当n=k+1时，不等式也成立．

根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立．

点评  本题要考查函数和不等式的概念，考查数学归纳法，以及灵活运用数学方法分析和解决问题的能力． 根据题意利用二次函数在结定区间上最值确定a的值；利用数学归纳法解决不等式问题．

例6 数列{a_n}满足．

（Ⅰ）用数学归纳法证明：；

（Ⅱ）已知不等式，其中无理数

e=2．71828…．

解析（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立．

　 （2）假设当时不等式成立，即

那么．　这就是说，当时不等式成立．

根据（1）、（2）可知：成立．

（Ⅱ）证法一：

由递推公式及（Ⅰ）的结论有

 

两边取对数并利用已知不等式得

　

故　

上式从1到求和可得

即

（Ⅱ）证法二：

由数学归纳法易证成立，故

令

取对数并利用已知不等式得　

上式从2到n求和得　

因

故成立．

不等式证明解题技巧

1．不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法．

(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证．

(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野．

2．不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等．换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性．放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查．有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法．凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法．

3．与数列有关的问题或者与正整数有关的问题时常用数学归纳法证明．

证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧．

例7已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x₁=3, x₂=4．

　（1）求函数f(x)的解析式；

　（2）设k>1，解关于x的不等式；

解析　本题主要考查求函数的解析式及含参分式不等式的解法．

（1）将得

（2）不等式即为

即

①当

②当

③．

点评　解不等式的过程实质上就是转化的过程,分式不等式转化成整式不等式,解分式不等式一般情况下是移项,通分,然后转化成整式不等式,对于高次不等式,借助数轴法,则简单,快捷,另外,,含有参数问题要对参数加以讨论．

例8设函数f(x)＝x－m－mx，其中m为常数且m<0．

（1）解关于x的不等式f(x)<0；

（2）试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．

解析（1）由f(x)<0得，x－m<mx，得－mx<x－m<mx，即

　 　　　①当m=－1时，x<－　

②当－1< m<0时，<x<

③当m<－1时，x<

综上所述，当m<－1时，不等式解集为{xx<}

当m=－1时，不等式解集为{xx<－}

当－1<m<0时，不等式解集为{x<x<}

（2）f(x)=

∵m<0，∴1－m>0，f(x)在[m，+∞)上单调递增，要使函数f(x)存在最小值，

则f(x)在(－∞，m)上是减函数或常数，

∴－(1+m)≤0即m≥－1，又m<0，∴－1≤m<0．

点评　有关绝对值问题先去掉绝对值符号即利用等价转化为不等式组．然后对m分类讨论．

例9已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在上是增函数，对于任意实数m，使 恒成立．

解析　∵　f(x)在R上为奇函数，且在上是增函数，

　　∴　f(x)在上为增函数

 又　 ∵　

∴ ＞－＝

　　∴  即

　∵ 2－，　∴　2

∴　m>

　　　　　令2－　 ∴　 m>4－

即4－m<在上恒成立．

即求在上的最小值

 ∵ ≥2等号成立条件t=,即成立

 ∴　  ∴　 4－m<即m>4－

∴　 m的取值范围为（4－，＋∞）

点评　解含参数不等式的问题有时可用分离参数法． 所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围．这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决．

一般地，利用最值分离参数法来确定不等式 , （为实参数）中参数取值范围的基本步骤:

（1） 将参数与变量分离，即化为的形式；

（2） 求在D时的最大（或最小）值；

（3） 解不等式 得的取值范围．

思想方法：把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题．

适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出．

利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用来证明一些不等式．

不等式解法解题技巧

解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：

(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法．

(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法．

(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法．

(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法．

(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式．

(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论．

例10某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差．

　　（I）分别写出列车在B、C两站的运行误差

（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围．

解析（I）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是

　　和

　　（II）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以

　　　　（*）

　　当时，（*）式变形为

　　解得

　　当时，（*）式变形为

　　解得

　　当时，（*）式变形为

　　解得

综上所述，的取值范围是[39，]

例11设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．

　　对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．

（I）证明：对任意的x₁，x₂∈(0，1)，x₁＜x₂，若f(x₁)≥f(x₂)，则(0，x₂)为含峰区间；若f(x₁)≤f(x₂)，则(x*，1)为含峰区间；

（II）对给定的r（0＜r＜0．5），证明：存在x₁，x₂∈(0，1)，满足x₂－x₁≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0．5＋r；

（III）选取x₁，x₂∈(0, 1)，x₁＜x₂，由（I）可确定含峰区间为(0，x₂)或(x₁，1)，在所得的含峰区间内选取x₃，由x₃与x₁或x₃与x₂类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x₂)的情况下，试确定x₁，x₂，x₃的值，满足两两之差的绝对值不小于0．02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0．34．

（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

解析（I）证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*, 1]上单调递减．

　　当f(x₁)≥f(x₂)时，假设x*(0, x₂)，则x₁<x₂<x*，从而f(x*)≥f(x₂)>f(x₁)，

　　这与f(x₁)≥f(x₂)矛盾，所以x*∈(0, x₂)，即(0, x₂)是含峰区间．

　　当f(x₁)≤f(x₂)时，假设x*( x₂, 1)，则x*≤x₁<x₂，从而f(x*)≥f(x₁)>f(x₂)，

　　这与f(x₁)≤f(x₂)矛盾，所以x*∈(x₁, 1)，即(x₁, 1)是含峰区间．

（II）证明：由（I）的结论可知：

　　当f(x₁)≥f(x₂)时，含峰区间的长度为l₁＝x₂；

　　当f(x₁)≤f(x₂)时，含峰区间的长度为l₂=1－x₁；

　　对于上述两种情况，由题意得

　　　　　　　　　　　　　①

　　由①得 1＋x₂－x₁≤1＋2r，即x₁－x₁≤2r．

　　又因为x₂－x₁≥2r，所以x₂－x₁=2r,　　 ②

　　将②代入①得

　　x₁≤0．5－r, x₂≥0．5－r，　　　　　　　 ③

　　由①和③解得 x₁＝0．5－r， x₂＝0．5＋r．

　　所以这时含峰区间的长度l₁＝l₁＝0．5＋r，即存在x₁，x₂使得所确定的含峰区间的长度不大于0．5＋r．

（III）对先选择的x₁；x₂，x₁<x₂，由（II）可知

　　x₁＋x₂＝l，　　　　　　　　　　　　　　 ④

　　在第一次确定的含峰区间为(0, x₂)的情况下，x₃的取值应满足

　　x₃＋x₁＝x₂，　　　　　　　  　　　　　　⑤

　　由④与⑤可得,

　　当x₁>x₃时，含峰区间的长度为x₁．

　　由条件x₁－x₃≥0．02，得x₁－(1－2x₁)≥0．02，从而x₁≥0．34．

　　因此，为了将含峰区间的长度缩短到0．34，只要取

x₁＝0．34，x₂＝0．66，x₃=0．32．

点评 本题为信息题,通过题目中给出的信息结合已学过的数学知识解决这类问题．

例12 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图 所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．

　 （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；

　 （Ⅱ）求折痕的长的最大值．

解析(I) （1）当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程

（2）当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)

所以A与G关于折痕所在的直线对称，有

故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为

折痕所在的直线方程，即

由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：

（II）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为

解得； 解得

当A与D重合时，k=－2

（1）当时，直线交BC于

　 ．

（2）当时，

, 令解得, 　　 此时

∴

（3）当时，直线交DC于

所以折痕的长度的最大值为

点评  利用导数可解有关不等式综合应用问题．

不等式应用解题技巧

1．应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注意等价性．

2．对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题．

专题二　　  不等式

能力培养

1． (启东中学, 基础题, 5分值,　4分钟) 设有两个命题：①关于x的不等式mx²+3mx+1>0的解集是R，②函数f(x)=log_mx是减函数．如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是　　　　　　　  ．

2． (启东中学, 基础题, 5分值,　4分钟) 某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金　　　 　　　　　　　　　　　 （　　）

A．大于　　　　 B．小于　　　　 C．大于等于 　　 D．小于等于

3． (启东中学, 基础题, 5分值,　4分钟) 在“ + =1”中的“　　　 ”处分别填上一个自然数，并使他们的和最小．

4． (启东中学, 中档题, 5分值,　4分钟) 已知实数a，b，c，d满足：a<b，c<d，(a－c)(a－d)=4，(b－c)(b－d)=4，  则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

A． a<b<c<d　　 B． c<d< a <b 　　　 C．c <a<d<b　　 D ．a <c<d<b

5． (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 对于在区间上有意义的两个函数如果对于任意，均有则称在上是接近的．若函数与函数在区间上非常接近，则该区间可以是　　　　　　　　．

6． (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 已知A={xx²－4x+3＜0,xÎR}, B={x≤0, x²－2(a+7)x+5≤0,xÎR}．若AÍB, 则实数a的取值范围是____________．

7．(启东中学, 难题, 4分值,　5分钟) 设0<a,若满足不等式的　一切实数x，

亦满足不等式则正实数b的取值范围　　　　　　　　　　　  ．

8． (启东中学, 中档题, 10分值,　10分钟)

已知函数．

（1）若对任意的；

（2）若对任意的x₁、

9． (启东中学, 难题, 12分值,　12分钟) 已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足；

（1）对于任意；

（2）f (x)=1;

（3）若x₁≥0, x₂≥0, x₁＋ x₂≤1，则有f (x₁＋x₂) ≥f (x₁)＋f (x₂)

( I )试求f (0)的值；（Ⅱ）试求函数的最大值．

（Ⅲ）（文）试证明：当当

（IV）（理）试证明：当

答　　案

1． 答案m＝0或 ≤m<1．　解析  ∵关于x的不等式mx²+3mx+1>0的解集是Rm=0或0≤m<；函数f(x)=log_mx是减函数0<m<1．∴要使这两个命题中有且只有一个真命题，则有m＝0或 ≤m<1．

2． 答案 ＞  解析　设天平的两边臂长分别为，两次所称黄金的重量分别是，于是有关系式　，．则　

3． 答案 10 , 15　解析　设这两个自然数分别为x，y，则有x+y=(x+y)( + =1)=13+ + ≥13+2≥25，等号当且仅当 = 且 + =1，即x=10，y=15时成立．

4． 答案 D 解析  作函数y＝(x－c)(x－d)及函数 y＝(x－c)(x－d)－4的图象，由图易得a <c<d<b．选D．

5．答案或填或填它们的任一子区间（答案有无数个）　

解析: 由得即．

6． 答案－4≤a≤1 解析　易得A=(1,3), 设,在(1,3) 上的图象均在x轴下方． 其充要条件是：同时有≤0, ≤0,≤0,≤0．　 ∴－4≤a≤1

7． 答案 解析　设集合A＝，

　　　　 B=

()

　　　由题设知AB，则：　

　　　　　　　　　　　　　　

　　 于是得不等式组：　　　 　

　　　　　　　　　　　　　　

　　 又　，最小值为；

　　　　 　 最小值为；

　　∴　 ,　　即 b的取值范围是

8． 解析 ⑴令

∴在上恒成立，等价于

若,显然　

若，　

且当时，；当时，

∴　 当 ， =

即·　 解得  a≤5　∴2＜a≤5

∴　 a的范围是

⑵由题意

显然　=（当x=0时，取最小值）

　a≥0时，g(x)无最大值，　不合题意，∴a＜0．

又，

∴，

∴a的范围．

9． 解析（Ⅰ）．令，依条件（3）可得f (0+0)≥f (0)+f (0),即f (0)≤0

又由条件（1）得f (0) ≥0，则f (0)= 0

（Ⅱ）任取0≤≤1，可知，

则，

即≥0，故于是当0≤x≤1时，有f (x) ≤f (1) =1,因此，当x=1时，f (x)有最大值1

（Ⅲ）证明：当时，f (x) ≤1<2x　

当时，f (2x) ≥f (x)+f (x)=2f (x)，∴

（Ⅳ）证明：当时，f (x) ≤1≤2x ．

当时，f (2x) ≥f (x)+f (x)=2 f(x)，∴，

显然，当时，··成立

假设当时，有成立，其中k=1,2,…

那么当时，

····

可知对于 ，总有，其中n∈N*

此时，故时，有f (x)＜2x　 (n∈N*)

专题三 数列、极限与数学归纳法

能力培养

1． (启东中学, 基础题, 5分值,　4分钟) 已知等差数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，若S₁₆＞0，且S₁₇＜0，则当S_n最大时，n的值为(　　　　)
A．16　　 　　　　　　　　　 B．9 　　　　　　　　 C．8　　 　　　　　　　　　　　  D．10
2． (启东中学, 中档题, 5分值,　4分钟) 等比数列{a_n} 中，已知a₁+a₂+a₃= 64，a₄+a₅+a₆= －16，则此数列的前18项的和等于（）　　　　   

A．　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　D．

3． (启东中学, 中档题, 5分值,　4分钟) 已知lg3,lg(sinx－),lg(1－y)顺次成等差数列，则

A． y有最小值，无最大值　　　　　　　　　　　　　 B．y有最大值1，无最小值

C．y有最小值，最大值1　　　　　　　　　　　　　　　　 D．y有最小值－1，最大值1

4． (启东中学, 中档题, 5分值,　4分钟) 已知数列满足，，．若，则

A．　　 　　　　　　　　　 B．3　　　　　　　　　　　　　　C．4　　　　　　　　　　　　　　D．5

 5． (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵．对第行，记，．

例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，，那么，

在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=________．

6． (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=____________；当时，　　　　  ．（用表示）

7． (启东中学, 中档题, 5分值,　4分钟) 一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是(　　)

　　　　　　　（Ａ）　　　　　　　　　　　　（Ｂ）　　　　　　　　　　　　 （Ｃ）　　　　　　　　　　　　 （Ｄ）

8． (启东中学, 中档题, 12分值,　10分钟) 设（为常数），若，且只有唯一实数根

（1）求的解析式

（2）令求数列的通项公式．

9． (启东中学, 难题, 12分值,　12分钟) 已知数列

（1）证明

（2）求数列的通项公式a_n．

答　　　　　  案

1． 答案　C　解析 S₁₆＞0　Þ  ＞0，即a₁＋a₁₆＞0，也即a₈＋a₉＞0,　S₁₇＜0　

Þ　17a₉＜0，即a₉＜0　　∴a₉＜0，a₈＞0　　 ∴当n＝8时，S_n最大．选C

2． 答案B　 解析 由题设得故前18项的和为64－16+4－1+－=

3． 答案A　 解析由已知得2lg(sinx－)=lg3+lg(1－y)，且,

得(sinx－)²=3(1－y)　　得y=1－,

当sinx=1时，y_min=，无最大值，选A．

4． 答案B　　解析解法一：特殊值法，当时，

　　　 　　　由此可推测，故选B．

解法二：∵，∴，，

　　　 ∴是以（）为首项，以为公比6的等比数列，

令，则

…

　　 …

　　

∴，∴，故选B．

5． 答案 －1080　 解析在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，

6．　答案　5， ．解析　由图可得，

由，，，，可推得

∵n每增加1，则交点增加个，

∴

．

7．　答案A 解析　由，，得，即，故选A ．

8． 解析（1），又

令得

当时得方程的实数根和　于是

当时方程有唯一实数根

或

（2）当时，，令则，

当时， 为等比数列，

或

9． 解析（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

　 ∴，命题正确．

2°假设n=k时有

　 则

　

而

又

∴时命题正确．

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

　　　 1°当n=1时，∴；

　　2°假设n=k时有成立，

　　　 令，在[0，2]上单调递增，所以由假设

有：即

也即当n=k+1时　成立，所以对一切

　 （2）下面来求数列的通项：所以

,

又b_n=－1，所以．

专题四　三角函数

能力培养

1． (启东中学, 基础题, 5分值,　3分钟) 曲线y=2sin(x + )cos(x － )和直线y= 在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P₁，P₂，P₃，…，则P₂P₄等于 　　　　　（　　）

A．π　　 　　　　　　　 B ．2π　 　 　　　　　　 C．3π　 　　　 　　　　　　D．4π

2． (启东中学, 中档题, 5分值,　3分钟) 若的内角满足则角的取值范围是 （ 　　 ）

A．(0， )　　　　　B．(， )　　 　　　 C．(， )　　　D． (，π)

3． (启东中学, 中档题, 5分值,　4分钟) 在锐角中，下列结论一定成立的是（　　　）

A．　　　　　　　　  B．　　

C．　　　　　　　　  D．

4． (启东中学, 中档题, 5分值,　4分钟) 定义在Ｒ上的周期函数，其周期Ｔ＝２，直线是它的图象的一条对称轴，且上是减函数．如果Ａ、Ｂ是锐角三角形的两个内角，则　　 　（　 　）　　　　　　　　　　　　

Ａ．　　　　　　　　　 Ｂ．

Ｃ．　　　　　　　　　  Ｄ．

5． (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则tanαcotβ的值是_____________
6． (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟)

是正实数，设，若对每个实数a ，∩的元素不超过２个，且有a使∩含有２个元素，则的取值范围是___________．

7． (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0，]上的面积为（n∈N^*），（i）y＝sin3x在[0,]上的面积为　　　；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面积为　　　 　．

8． (启东中学, 中档题, 10分值,　7分钟) 已知是方程的两个根中较小的根，求的值．

　　　　　　  　　　　　 

9． (启东中学, 中档题, 10分值,　8分钟) 求函数f (x) =︱sinx + cosx +tanx + cotx + secx + cscx︱ 的最小值 ． 其中　secx=, cscx= ．　

答　 案

1． 答案A　解析∵y=2sin(x + )cos(x － )=2sin²(x + )=1 － cos(2x + )=1+ sin2x，∴根据题意作出函数图象得知：P₂P₄=T=π．选A．

2． 答案C　 解析 由的内角满足，易得cosA<0，∴A为钝角，取代入，显然满足．选C．

3． 答案D 解析  依题意

4． 答案A　解析由已知可得上是增函数，且．

5． 答案 　解析由已知sinαcosβ＋cosαsinβ＝ 　　 ①
　　　　　 　　　　　　sinαcosβ－cosαsinβ＝　　　②
(①＋②)：sinαcosβ＝，(①－②)：cosαsinβ＝, 于是tanαcotβ＝．

6． 答案 　解析 ∵是奇函数，且，

∴， ∴，Z，

∵∩的元素不超过２个，

∴，∴，∵且有a使∩含有２个元素，

∴，∴，∴，

7． 答案   解析由题意得：

为一个半周期结合图象分析其面积为．

8． 解析 ∵ 是方程的较小根，∴ 方程的较大根是．

　　　　∵ ＋=，即,　∴ ．　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　解得 ，或．　　  

　　　　当时，，；

　　　　当时，，，不合题意．

　 　　 ∴ ．

9． 解析 设 u = sin x + cos x , 则 sin x cos x = ( u² － 1 ) ．　　　　　　　

sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + csc x = u + 　,　　  

当 u > 1 时 , f ( x ) = 1 + u －1 +   1 + 2 ．　　  

当 u < 1 时 , f ( x ) = －1 + 1－u +  2－1 ( u = 1－时等号成立 )  

因此, f ( x ) 的最小值是 2－1 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  

专题五　平面向量

能力培养

1． (启东中学, 基础题, 5分值,　3分钟) 已知a、b为两个非零向量，有以下命题：①a²=b²，②a·b=b²，③ a = b 且a∥b．其中可以作为a = b的必要但不充分条件的命题是（ 　　 ）

A．②　　 　 　　　　 B．①②③　　 　　　 C．②③　 　　　　 D．①③

2． (启东中学, 中档题, 5分值,　3分钟)

已知向量　（　）

　　　 A．30°　　　　　　　　　 B．60°　　　　　  C．120°　　　　　 D．150°

3． (启东中学, 中档题, 5分值,　3分钟) a =1， b =2，c = a + b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为　　　　　　　（　　）

　　　 A．30°　　　　　　　　　 B．60°　　　　　　　　　 C．120°　　　　　　　　 D．150°

4． (启东中学, 中档题, 5分值,　3分钟) P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（　　）

　　A．外心　　　 B．内心　　　 C．重心　　　 D．垂心

5． (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数　　　　　  ．

6． (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，

则的最小值是　　　　　　　 ．

7． (启东中学, 中档题, 4分值,　5分钟)

已知向量和，且则的值是　　　　　 ．

8． (启东中学, 中档题, 10分值,　10分钟) 已知向量＝(cosx，sinx)，＝()，且x∈[0，]．若f (x)＝·－2｜＋｜的最小值是，求的值．

9． (启东中学, 难题, 10分值,　12分钟) 已知分别是x轴，y轴方向上的单位向量，，

在射线y=x(x≥0)上从下到上依次有点Bi=（i=1，2，3，…），（n=2，3，4…）．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求；

（III）求四边形面积的最大值．

答　　 案

1． 答案B 解析  显然①②③均为a = b的必要但不充分条件，故选B．

2． 答案C　解析设，则，又

，所以，得，，选C．

3． 答案C 解析 设所求两向量的夹角为

　　　 　　　

　　　 　　即：

　　　 所以

4．　答案D 解析由．

　　　　　　 即

　　　　　　　　　　　则

　　　 　　　　所以P为的垂心． 故选D．

5． 答案1　解析（特例法）设为一个直角三角形，则O点斜边的中点，H点为直角顶点，这时有 ，∴．

6． 答案－2． 解析　如图,

　　　　　　  =

M

　　　　　 即 的最小值为:－2．

7． 答案 解析

=

==

由已知,得又

　　　 　

 　　   

8． 解析　a · b
　　 a＋b
　　　∴cos x≥0，因此 a＋b ＝2 cos x
　　∴f (x)＝a · b－2｜a＋b｜即
　　　∴0≤cos x≤1
　　①若＜0，则当且仅当cos x＝0时，f (x)取得最小值－1，这与已知矛盾；

　　②若0≤≤1，则当且仅当cos x＝时，f (x)取得最小值，
　　由已知得，解得：　  

　　③若＞1，则当且仅当cos x＝1时，f (x)取得最小值，
　　由已知得，解得：，这与相矛盾．
　　综上所述，为所求．　　　　　　　　 

9． 解析（Ⅰ）

　　　

　 （II）由（1）知

　　　

专题一　　 直线与圆的方程

能  力　培　养

1. (启东中学, 基础题, 5分值,　4分钟) “a=b”是“直线”的　　　 （　　）

A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　  D．既不充分又不必要条件

2. (启东中学, 基础题, 5分值,　4分钟) “”是“直线

相互垂直”的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　 ）

A．充分必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

3. (启东中学, 基础题, 5分值,　4分钟) 已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x²＋y²＝1相交于A、B

两点，且AB＝，则　=　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　)

A.　 　　　　　B.　　　　　　　C.　　 　　　　　 D.

4. (启东中学, 中档题, 5分值,　4分钟) 已知ab≠0,点M(a,b)是圆x²+y²=r²内一点,直线m是以点M为中点的弦所在的直线,直线l的方程是ax+by=r²,则下列结论正确的是(　　　)

A　 m∥l,且l与圆相交　　　 　　　 B　 m⊥l,且l与圆相切　

C　　m∥l,且l与圆相离　　　 　　　D　 m⊥l,且l与圆相离

5. (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 从原点向圆作两条切线，则该圆夹

在两条切线间的劣弧长为 　　　　　　　　  .

6. (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 若直线按向量平移后与圆相切，则c的值为　　　　　  .

7. (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是　　　　  .

8. (启东中学, 中档题, 12分值,　10分钟) 定义映射f：A(x,y)B(x+y, x－y) 是否存在这样的直线l：若点A在直线l上移动,点B仍在这条直线上.若存在请你求出所有这些直线 l;若不存在,请你说明理由.

9. (启东中学, 难题, 12分值,　10分钟) 某商场只设有超市部、服装部、家电部三个部门，共有200名售货员，计划三个部门日营业额共为55万元，各部门的商品每1万元营业额所需售货员人数如表（1），每1万元营业额所得利润如表（2），若商场预期每日的总利润为万元，且满足，又已知商场分配给三个部门的日营业额为正整数万元，问商场怎样分配营业额给三个部门？各部门分别安排多少名售货员？

表（1）　　　　　　　　　　　　　　 　　 表（2）

部门	每1万元营业额所需人数
超市部	4
服装部	5
家电部	2

部门	每1万元营业额所需人数
超市部	0.3万元
服装部	0.5万元
家电部	0.2万元

直线与圆的方程　能力培养答案

1. 答案 A　 解析直线，则，得或，因此“a=b”是“直线与圆”相切的充分不必要条件.选A

2. 答案 B　 解析当时两直线斜率乘积为从而可得两直线垂直,当时两直线一条斜率为0一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件.

3. 答案 B 　解析如图

则

所以.

4. 答案 C　 解析∵OM⊥m ∴k_m＝－a／b ∴m∥l　　∵点M(a,b)是圆x²+y²=r²内一点　

∴　 ∴l与圆相离　　　故选C

5. 答案 解析　将圆的方程配方得：圆心在半径为3,如图：

　　　 在图中中,,从而得到,

　　　 即可求的周长为

劣弧长为周长的,可求得劣弧长为.

6. 答案或.解析由，得，所以平移后，得，其与圆相切，即圆心到直线的距离为，即，解得或．

7. 答案 3x－2y－3=0 解析由题意圆方程为:(x－1)²+y²=4.圆心(1,0)直线2x+3y+1=0的斜率所以AB垂直平分过圆心(1,0).且斜率为.则方程为:即3x－2y－3=0.

8. 解析[解法一]假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，

∴所求直线可设为，　

∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点仍在该直线上，

∴，即，

当时，方程组无解，故这样的直线不存在．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

当时，由得，

解得或，故这样的直线存在，其方程为或.

[解法二] ]取直线上一点，其经变换后的点仍在该直线上，

∴，得，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

故所求直线为，取直线上一点，其经变换后得到的点仍在该直线上．

 ∴，　即，得或，

故这样的直线存在，其方程为或，　　　　 

9. 解析 设商场分配给超市部、服装部、家电部的营业额依次为万元，万元，万元（均为正整数），由题意得：

 

由（1），（2）得

 

 

 

答：分配给超市部、服装部、家电部的营业额分别为12万元，22万元，21万元，售货员人数分别为48人，110人，42人；或者分配给三部门的营业额依次为15万元，20万元，20万元，售货员人数分别为60人，100人，40人 .

专题二　　 圆锥曲线

复习策略

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决这类问题常用定义法和待定系数法．

圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用、与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、向量等知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整．

圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容．圆锥曲线试题的类型、特点与学习的方法主要归结如下：

1．求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，试题一般涉及量较多，计算量大．要求较强的运算能力．在计算中，首先要明确运算方向，还要注意运算合理，运算的技巧，使运算简练．

2．试题注重对解析几何基本方法的考查，要求会建立适当的直标坐标系，把平面几何问题转化为代数问题．

3．注意用圆锥曲线的定义解题．有关圆锥曲线上的点到焦点的距离，到准线的距离，离心率的问题都可能用圆锥曲线的定义去解．

4．对称问题是高考的热点，注意关于原点，x轴、y轴，关于直线y＝±x对称的两曲线方程的特点．

5．一些试题将解析几何问题与数列问题，极限问题，不等式问题，函数问题综合在一起，对解决数学综合问题的能力要求更高，此时要充分利用解几的特点，运用数形结合，用代数的方法解决几何的问题．

典例剖析

例1 双曲线的焦点距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围．

解析　直线的方程为，即　 

由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离，

同理得到点（－1，0）到直线的距离,

 由即　 

于是得　 解不等式，得　 由于

所以的取值范围是

点评 本题主要考查点到直线的距离、双曲线的基础知识．解题突破口：只要直接用已知“到直线的距离之和 ”这个条件列出只含有a、c不等式 ,再通过变形为一个只有的不等式,解不等式即可求双曲线的离心率e的取值范围．

例2　 设双曲线C：相交于两个不同的点A、B．

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值．

解析（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解．消去y并整理得

（1－a²）x²+2a²x－2a²=0．　　　①

 

双曲线的离心率

 

（II）设

由于x₁+x₂都是方程①的根，且1－a²≠0，

点评本题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力． 解题突破口：因为双曲线C与直线l相交于两个不同的点A、B．故将问题转化为方程及函数问题解决．

例3（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的方程是． 设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为． 证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；

（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．

解析　（1）设椭圆的标准方程为，，

　　∴ ，即椭圆的方程为，

　　∵ 点（）在椭圆上，∴ ，

　　解得 或（舍），

　　由此得，即椭圆的标准方程为．

　 （2）设直线的方程为，

　　与椭圆的交点()、()，

则有，

　　解得 ，

　　∵ ，∴ ，即 ．

则 ，

　　∴ 中点的坐标为．

　　∴ 线段的中点在过原点的直线 上．

（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心．　　　　　　　　　　　　　　　　 

例4 已知椭圆的离心率，过点A（0，－b）和B（a,0）的直线与原点的距离为

（I）求椭圆方程；

（II）已知定点E（－1，0），若直线与椭圆交于C、D两点，试判断：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出这个值，若不存在，说明理由．

解析（I）

过A（0，－b），B（a,0）的直线为

把a=b代入，即x－y－b=0，又由已知

　　解得b=1, ∴a=．所求方程为

　 （II）设(x₁,y₁), D(x₂, y₂)．

①

　　

　　要存在k的值使以CD为直径的圆过E点，即要使CE⊥DE．要使k满足①且使

　　　　　　　  ②

∴②式即　　　　　　　　　③

代入③得满足①．

∴存在k的值使以CD为直径的圆过E点，这个值是 ．

点评(1) 直接由已知条件求得 (2) 有关直线与圆锥曲线问题一般联立直线与圆锥曲线方程组然后由直线与椭圆交于C、D两点得△＞0, 使以CD为直径的圆过E点，即要使CE⊥DE, 利用韦达定理解决此类问题．

例5已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值．

解析（I）设椭圆方程为=1(a>b>0),F(c,0)． 则直线AB的方程为y=x－c,

代入=1，化简得(a²+b²)x²－2a²cx+a²c²－a²b²=0．令A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

则 x₁+x₂=,x₁x₂=．

由=(x₁+x₂,y₁+y₂),a=(3,－1), 与a共线，得3(y₁+y₂)+(x₁+x₂)=0．

又　　y₁=x₁－c,y₂=x₂－c,　　∴　　3(x₁+x₂－2c)+(x₁+x₂)=0,　　 ∴　　x₁+x₂=

即　　,所以a²=3b²．　　

 ∴　　 c=,　故离心率e=．

（II）证明：由（I）知a²=3b²,所以椭圆=1可化为x²+3y²=3b²． 设=(x,y),由已知得

(x,y)=λ(x₁,y₁)+μ(x₂,y₂),

　 x=λx₁+μx₂,

∴

　 y=λy₁+μy₂．

∵M(x,y)在椭圆上，∴(λx₁+μx₂)²+3(λy₁+μy₂)²=3b²．

即λ²(+3)+μ²(+3)+2λμ(x₁x₂+3y₁y₂)=3b²,　　①

由（I）知x₁+x₂=c,a²=c²,b²=c²．　 ∴x₁x₂=c²．

∴x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3(x₁－c)(x₂－c) =4x₁x₂－3(x₁+x₂)c+3c²=c²－c²+3c²=0．

又=3b²,=3b²,代入①得λ²+μ²=1．故λ²+μ²为定值，定值为1．

点评本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性等性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力．

例6已知椭圆C₁的方程为，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．

（Ⅰ）求双曲线C₂的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围．

解析（Ⅰ）设双曲线C₂的方程为，则

故C₂的方程为

（II）将

由直线l与椭圆C₁恒有两个不同的交点得

即　　　　　　 ①

．

由直线l与双曲线C₂恒有两个不同的交点A，B得

　　　　　 

解此不等式得

　　　　③

由①、②、③得

故k的取值范围为

例7已知点A(－2，)，F是椭圆 的右焦点，点M在椭圆上移动，当MA+2MF 取最小值时，求点M的坐标．

解析设直线L是椭圆的右准线，MP⊥L，垂足为P， 则

=e，即．

由已知可得：a=4，b=2，

所以c=2，e=，故，

从而MA+2MF=MA+MP≥AP．

当且仅当M，A，P三点共线且M是AP内分点时，取等号，此时点M的纵坐标为，代入已知椭圆方程，得，解之得x=，由于M点是AP的内分点，故x＞－2，取x = 2．

所以当MA+2MF取最小值时，点M的坐标为(2，)．

例8如图，已知点P(3，0)，点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且＝0，，当点B在y轴上移动时，记点C的轨迹为E．
(1)求曲线E的方程；
(2)已知向量＝(1，0)，＝(0，1)，过点Q(1，0)且以向量＋k(k∈R)为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点M、N，若D(－1，0)，且＞0，求k的取值范围．

解析(1)设A(a，0)(a＜0＝，B(0，b)，C(x，y)则＝(x－a，y)，＝(a，－b)，＝(3，－b)，
∵＝0，，∴　　　　　　　　　　　　
消去a、b得：y²＝－4x ,　∵a＜0，∴x＝3a＜0. 故曲线E的方程为y²＝－4x　
(2)设R(x，y)为直线l上一点，由条件知)
即(x－1，y)＝λ(1，k)
∴，消去λ得l的方程为：y＝k(x－1)　　

由Þk²x²－2(k²－2)x＋k²＝0　 ……(*)
∵直线l交曲线E与不同的两点M、N
∴△＞0　Þ　－1＜k＜1　　　 ……①　

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则＝(x₁＋1，y₁)，＝(x₂＋1，y₂)
∵M、N在直线y＝k(x－1)上，
∴y₁＝k(x₁－1)，y₂＝k(x₂－1)
又由(*)，有x₁＋x₂＝，x₁x₂＝2
∴＝(x₁＋1)(x₂＋1)＋y₁y₂
　　　　  ＝(x₁＋1)(x₂＋1)＋k²(x₁－1)(x₂－1)
　　　　  ＝(k²＋1)x₁x₂＋(1－k²)(x₁＋x₂)＋k²＋1
　　　　  ＝
由条件知：＞0　Þk²＞　　　　　 ……②
由①②知：－1＜k＜－或＜k＜1．　　　　　

点评利用化归思想把给出的平面向量条件转化为坐标来解决．

例9　已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，－2）和椭圆C：(a>b>0)的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot∠MON≠0（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．

解析（I）解法一：直线，　①

过原点垂直的直线方程为，　②

解①②得

∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．

　故椭圆C的方程为　③

解法二：直线．

设原点关于直线对称点为（p，q），则解得p=3．

∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

　　∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．

　故椭圆C的方程为　③

（II）解法一：设M（），N（）．

当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得

　

点O到直线MN的距离

　　　 即

　　　

　　　 即

　　　 整理得

　　　 当直线m垂直x轴时，也满足．

　　　 故直线m的方程为

　　　 或或

　　　 经检验上述直线均满足．

所以所求直线方程为或或

解法二：设M（），N（）．

　　　 当直线m不垂直轴时，直线m:y=k(x+2)代入③，整理得

　　　  

　　　 ∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，

　　　 ∴MN=ME+NE

=

　　　 以下与解法一相同．

解法三：设M（），N（）．

　　　 设直线，代入③，整理得

　　　

　　　 y₁－y₂==

　　　 即

　　　

　　　

　　　 ∴=，整理得　　　

　　　 解得或

　　　 故直线m的方程为或或

　　　 经检验上述直线方程为

　　　 所以所求直线方程为或或

点评 本题主要考查椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力．

例10设P₁(x₁,y₁), P₁(x₂,y₂),…, P_n(x_n,y_n)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且a₁=², a₂=², …, a_n=²构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标原点． 记S_n=a₁+a₂+…+a_n．

⑴　　 C的方程为=1,n=3． 点P₁(3,0) 及S₃=255, 求点P₃的坐标；(只需写出一个)

⑵若C的方程为(a>b>0)． 点P₁(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求S_n的最小值；

⑶ 请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P₁,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P₁, P₂,…P_n存在的充要条件,并说明理由．

解析　本题主要考查等差数列、双曲线、抛物线、椭圆、函数的基础知识，同时考查抽象推理和理性思维能力． 数列与圆锥曲线结合的综合题在高考中极为少见，本题改变了过去高考试题中的纯数列问题，或将数列与函数、数列与不等式、数列与三角、数列与实际问题等相联系的情况，而以圆锥曲线和点列为载体，灵活考查等差数列的定义、性质、通项、前"项和，以及函数最值等基础知识．三个小题既相互独立，虽没有递进关系，却又形成一个整体，各有侧重．

(1) a₁=²=100,由S₃=(a₁+a₃)=255,得a₃=³=70．

　 由   解得

∴点P₃的坐标可以为(2, )．

 (2) 【解法一】原点O到二次曲线C:(a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a．

　  ∵a₁=²=a², ∴d<0,且a_n=²=a²+(n－1)d≥b²,

　  ∴≤d<0． ∵n≥3,>0

　  ∴S_n=na²+d在[,0]上递增,

　故S_n的最小值为na²+·=．

　【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),由

x+y=a²+(k－1)d

+=1　　

解得y=,

∵0< y≤b²,得≤d<0,　 ∴≤d<0,　以下与解法一相同．

 (3) 【解法一】若双曲线C:－=1,点P₁(a,0), 则对于给定的n, 点P₁, P₂,…P_n存在的充要条件是d>0． ∵原点O到双曲线C上各点的距离h∈[,+∞],且=a²,

 ∴点P₁, P₂,…P_n存在当且仅当²>²,即d>0．

　 【解法二】若抛物线C:y²=2x,点P₁(0,0),

 则对于给定的n, 点P₁, P₂,…P_n存在的充要条件是d>0．理由同上

　 【解法三】若圆C:(x－a)+y²=a²₍a≠0₎, P₁(0,0),

　  则对于给定的n, 点P₁, P₂,…P_n存在的充要条件是0<d≤．

　  ∵原点O到圆C上各点的最小距离为0,最大距离为2,

　 且=0, ∴d>0且²=(n－1)d≤4a²．即0<d≤．

点评 解答本题必须紧扣数列{a_n}是等差数列这个总条件，分别在三个圆锥曲线的情境中加以充分运用．第(1)小题以双曲线为载体，将等差数列特殊化，使考生对本题首先有一个感性认识，点P₃的坐标可以在四种不同形式中任选一种；第(2)、(3)小题分别以抛物线、椭圆为载体，研究点列P_n(3≤ n∈N*)的一般性质．等差数列问题的解题依据，无非是定义、性质，通项及求和公式．该题的解题策略主要是基本量思想，即用首项a₁与公差d表示有关量，展开探索．其中，证明等差数列问题，常见有三种方法：定义法、通项法、中项法．第(3)小题可考虑函数思想方法，求S_n的最小值(a_l，n为常数，n≥3，d为变量)，关键是要分析出该函数的定义域，对考生的分析推理能力要求较高．

解题技巧

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx²+ny²=1(m＞0,n＞0)．

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．

能力培养

1． (启东中学, 基础题, 5分值,　4分钟) 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=（　　）

A．　　　　　　　  B． 　　　　　　　 C ．　　 　　　　　　  D．

2． (启东中学, 基础题, 5分值,　4分钟) 设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率=(　 )

A．　　　　　　　　　　 B． 　 　　　　　　 C． 2　 　　　　　　 D． 3

3． (启东中学, 基础题, 5分值,　4分钟) 已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为 （ ）

A．30º　　　　　　　　  B．45º　　 　　　　C．60º　　　　　　　　　  D．90º

4． (启东中学, 中档题, 5分值,　4分钟) 如图，双曲线＝1的左焦点为F₁，顶点为A₁，A₂，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF₁、A₁A₂为直径的两圆位置关系为
A．相交 　　　　　　　　　　　　　　  B．相切
C．相离 　　　　　　　　　　　　　　  D．以上情况都有可能
5． (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 以下同个关于圆锥曲线的命题中

　　　 ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；

　　　 ②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；

　　　 ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

　　　 ④双曲线有相同的焦点．

　　　 其中真命题的序号为　　　　　　　　 （写出所有真命题的序号）

6． (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 已知抛物线y²=x+4上一点A（0，2）和两个动点P、Q，当PQPA时，点Q的纵坐标取值范围是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

7． (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点使组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为　　　　  ．

8． (启东中学, 中档题, 10分值,　10分钟) 已知圆C₁的方程为(x－2)²+(y－1)²=,椭圆C₂的方程为=1(a＞b＞0)，C₂的离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，求直线AB的方程和椭圆C₂的方程．

9． (启东中学, 难题, 10分值,　12分钟) 已知动圆过定点，且与直线相切，其中．

（I）求动圆圆心的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

答　 案

1． 答案 B 解析∵，∴，∵ ，∴，

∴，故选B．

2． 答案 B 解析　双曲线的右焦点为(c, 0)，右准线与两条渐近线交于P()、()两点，∵ FP⊥FQ，∴ ，∴ a=b, 即双曲线的离心率e=．

3． 答案D　解析双曲线

则,所以

求得a=b,所以双曲线为等轴双曲线,则两条渐进线夹角为90⁰, 故选D．

4． 答案 B解析　取PF₁的中点M，连结MO和PF₂，则两圆半径分别为PF₁和a，
两圆圆心距为MO，且MO＝PF₂
当P点在双曲线右支上时，PF₁＝PF₂＋2a
∴MO＝PF₁－a，此时两圆内切；
当P点在双曲线左支上时，PF₂＝PF₁＋2a
∴MO＝PF₁＋a，此时两圆外切．选B

5． 答案③④　　解析双曲线的第一定义是:平面上的动点P到两定点是A,B之间的距离的差的绝对值为常数2a,且,那么P点的轨迹为双曲线,故①错，

由,得P为弦AB的中点,故②错，

设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对，

的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确．

6．  答案 解析设P（y－4，y₁）,Q（²－4，y）显然y－4．

故K_PA=，由于PQPA，所以K_PQ=－(y₁+2)，从而y－y₁=－(y₁+2)[x－(y－4)]代入y²=x+4消去x，注意到y₁得． (2+y₁)(y+y₁)+1=0，y+2(y+2)y₁+(2y+1)=0, 由, 解得．

7． 答案  　解析 易知椭圆的焦点到椭圆上的点的最大与最小距离分别为a＋c与a－c，即 与

　　于是由等差数列的通项公式得 ＋(n－1) 解得

　　因n－1≥20，故 , 注意到d ≠0，故d的取值范围为 ．

8． 解析　由e=,可设椭圆方程为=1,

又设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则x₁+x₂=4,y₁+y₂=2,

又=1,两式相减，得=0,

即(x₁+x₂)(x₁－x₂)+2(y₁+y₂)(y₁－y₂)=0．

化简得=－1,故直线AB的方程为y=－x+3,

代入椭圆方程得3x²－12x+18－2b²=0．

有Δ=24b²－72＞0,又AB=,

得，解得b²=8．故所求椭圆方程为=1．

9． 解析

（I）如图，设为动圆圆心，记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等

由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线

∴轨迹方程为；

（II）如图，设，由题意得（否则）且

∴直线的斜率存在，设其方程为

显然

将与联立消去，得

由韦达定理知　 ①

（1）当时，即时，

∴，

∴

由①知：

∴

因此直线的方程可表示为，即

∴直线恒过定点

（2）当时，由，得==

将①式代入上式整理化简可得：，则，

此时，直线的方程可表示为即

∴直线恒过定点

综上，由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点．

专题 三　　直线与圆锥曲线

能  力　培　养

1. (启东中学, 基础题, 5分值,　4分钟) 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线　　　　　　　　　　　  （　 　）

A．有且仅有一条　　 B．有且仅有两条　　　C．有无穷多条　　　D．不存在

2. (启东中学, 基础题, 5分值,　4分钟) 设椭圆的两个焦点是与(c>0),且椭圆上存在点P,使得直线PP₁与直线PF₂垂直．则实数m的取值范围为(　　).

A.  m≥2　　　　　　　  B.　m≥1　　　　　　　 C.　m＞2　　　　　　  D .m＞1　

3. (启东中学, 中档题, 5分值,　4分钟) 已知双曲线的中心在原点，离心率为．若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是(　　)

Ａ.　　　　 　　 Ｂ.　　　　　　 Ｃ.　　　　　　　　　 Ｄ.21

4. (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 已知A，B，C为双曲线x²－y²=1的右支上不同的三点，则为（ 　　 ）

A  钝角三角形　 　 B　直角三角形　 　　C  锐角三角形　 　　　D　不确定

5. (启东中学, 基础题, 5分值,　4分钟) 给定抛物线C：y²＝4x，F是C的焦点，过点F斜率为1直线l与C相交于A、B两点．则 与夹角的大小为　　　　　　　　   

6. (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为　　  .

7. (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 点P（－3,1）在椭圆的左准线上.过点P且方向为a=(2,－5)的光线，经直线y=－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为　　　　　　　  .

8. (启东中学, 中档题, 10分值,　10分钟) 已知椭圆C₁的方程为，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点.

（1）求双曲线C₂的方程；

（2）若直线与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.

 

 

9. (启东中学, 难题, 10分值,  12分钟) 设圆锥曲线C的焦点F(1，0)，相应准线是y轴，过焦点F并与x轴垂直的弦长为2.
(1)求圆锥曲线C的方程；
(2)若圆锥曲线C上有且仅有两个不同的点关于过点F的直线对称，求直线l的斜率的取值范围.

 

直线与圆锥曲线　能力培养答案

1. 答案　B  解析的焦点是(1，0)，设直线方程为 (1)

将(1)代入抛物线方程可得，x显然有两个实根，且都大于0，它们的横坐标之和是，选B

2. 答案 B　 解析由题设有m>0， ．设点P的坐标为由得

, 化简得　　　　　 ①　 

 将①与联立,  解得　由m>0． 得m≥1．故选Ｂ．  

3. 答案B　　解析由，得，由一条准线与抛物线的准线重合，得准线为，所以，故，，，所以双曲线方程为，由，得交点为，所以交点到原点的距离是，故选Ｂ．

4. 答案 A　 解析设A(x₁,y₁) , B(x₂,y₂) ,C(x₃,y₃) 不妨设y₁<y₂<y₃,则(x₁－x₂)(x₃－x₂)+(y₁－y₂)(y₃－y₂)

,,同理x₃－x₂=(y₃－x₃)

(y₁－y₂)(y₃－y₂)( ),设AB 中点M，BC中点N，则K_OM=，K_ON=，，，<0,

又A，B，C不共线，所以为钝角, 故选A.

5. 答案 　 解析　C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，

所以l的方程为

将代入方程，并整理得

设则有　

所以夹角的大小为

6. 答案 2　 解析  直线关于原点对称的直线为：2x+y－2=0，该直线与椭圆相交于A(1, 0)和B(0, 2)，P为椭圆上的点，且的面积为，则点P到直线l’的距离为，在直线的下方，原点到直线的距离为，所以在它们之间一定有两个点满足条件，而在直线的上方，与2x+y－2=0平行且与椭圆相切的直线，切点为Q(, )，该点到直线的距离小于，所以在直线上方不存在满足条件的P点.

7. 答案　　解析如图,过点P（－3，1）的方向向量

　　　　　　　　　　所以，　 即

　　　　　　　　　　联立：，

　　　　　 由光线反射的对称性知：

　　　　　　　　　　所以，即

　　　　　　　　　　令y=0,得F₁（－1，0）

　　　　　　　　　　综上所述得：　c=1，

　　　　　　　　　　所以椭圆的离心率

8. 解析（1）设双曲线C₂的方程为，则

故C₂的方程为

（2）将

由直线l与椭圆C₁恒有两个不同的交点得

即　　　　　　 ①

.

由直线l与双曲线C₂恒有两个不同的交点A，B得

　　　　　　

解此不等式得

　　　　③

由①、②、③得

故k的取值范围为

9. 解析：(1)设过F并与x轴垂直的弦为AB，则AF＝
圆锥曲线C的离心率为　　　

令曲线C上任意一点M(x，y)，则　
整理得：(x＋1)²－y²＝2　　　

(2)若l即为x轴，则此时有无穷多对点关于l对称，这与已知矛盾，∴k≠0　　　
设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)(x₁≠x₂)在双曲线上，且关于l对称，则PF＝QF
由第二定义，知，∴x₁＝x₂
而x₁≠x₂，所以x₁＋x₂＝0　　
∵l⊥PQ，故可设直线PQ的方程为：y＝－x＋m
∴，化简整理得：(k²－1)x²＋2(k²＋mk)x－k²(m²＋1)＝0　
∵直线PQ与曲线C有两个不同的公共点，所以k²－1≠0
且
由②得m＝－k　　　……10'
由①有(k＋m)²＋(k²－1)(k²＋1)＞0　　　　  ③
将m＝－k代入③，得(k²－1)(k²＋1)＞0
所以k²－1＞0
∴k＜－1或k＞1　…

专题五　 轨迹问题

能力培养

1. (启东中学, 基础题, 5分值,　4分钟) 已知点、，动点，则点P的轨迹是　 (　　　 )　

A．圆　　 　　　　  B．椭圆　　 　　　　　 C．双曲线　　　 　　　　 　 D．抛物线

2. (启东中学, 基础题, 5分值,　4分钟) 已知椭圆的焦点是F₁、F₂，P是椭圆上的一个动点，如果延长F₁P到Q，使得PQ=PF₂，那么动点Q的轨迹是(　　)

A.圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.椭圆

C.双曲线的一支　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.抛物线

3.设A₁、A₂是椭圆=1的长轴两个端点，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端点，则直线A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程为(　　)

A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.

4. (启东中学, 基础题, 5分值,　4分钟) 设为椭圆：的左焦点，是上任意一点， 是线段的中点．则动点的轨迹的方程(　　 )

A　 　　B　 　　　C　　　 D　

5. (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 过定点M（m，n）作直线交圆x²+y²=1于A，B，过A，B分别引圆的切线交于点N，则点N的轨迹方程为_________________.

6. (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 双曲线=1的实轴为A₁A₂，点P是双曲线上的一个动点，引A₁Q⊥A₁P，A₂Q⊥A₂P，A₁Q与A₂Q的交点为Q，则 Q点的轨迹方程为　　　　.

 

7. (启东中学, 中档题, 4分值,　4分钟) 设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，则P点的轨迹为　　　　　　　　　　　　  .

8. (启东中学, 中档题, 10分值,　10分钟) 在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图所示）

求得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程.

9. (启东中学, 难题, 10分值,　12分钟) 设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点， 点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：动点P的轨迹方程；

轨迹问题答案

1. 答案 B　 解析  ∴

∴,故选B

2. 答案 A　 解析 ∵PF₁+PF₂=2a,PQ=PF₂,　∴PF₁+PF₂=PF₁+PQ=2a,　即F₁Q=2a,∴动点Q到定点F₁的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.

3. 答案 C　 解析设交点P(x,y）,A₁(－3,0),A₂(3,0),P₁(x₀,y₀),P₂(x₀,－y₀)

∵A₁、P₁、P共线，∴

∵A₂、P₂、P共线，∴

解得x₀=

3. 答案  C　解析设动点的坐标为，椭圆中，，

则．中心为，故坐标为．

设，则，点在椭圆上，坐标代入，

得轨迹的方程为．

5. 答案  mx+ny=1. 解析设N（x_o，y_o），则切点弦AB的方程为：x_ox+y_oy=1, 又直线AB过点M（m，n），得：mx_o+ny_o=1 , 即点N的轨迹方程为mx+ny=1.

6. 答案 a²x²－b²y²=a⁴(x≠±a).  解析设P(x₀,y₀）(x≠±a),Q(x,y).

∵A₁(－a,0),A₂(a,0).

由条件

而点P(x₀,y₀)在双曲线上，∴b²x₀²－a²y₀²=a²b².

即b²(－x²)－a²()²=a²b²

化简得Q点的轨迹方程为：a²x²－b²y²=a⁴(x≠±a).

7. 答案　为圆心，为半径的圆.

 解析 设动点P的坐标为（x，y）.　

 由.

化简得

∵，整理得.

所以, P点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.

8. 解析  法一：∵直线的斜率显然存在，∴设直线的方程为，

，依题意得

　 ，①

∴，②　 　③

 ∵，∴，即 ，④

由③④得，，∴

∴设直线的方程为

∴①可化为　　，∴　　 ⑤，

设的重心G为，则

　　⑥ ， 　　 ⑦，

由⑥⑦得　 ，即，这就是得重心的轨迹方程．

法二：

∵　AO⊥BO, 直线，的斜率显然存在，

　　　∴设AO、BO的直线方程分别为，，

设，，依题意可得

　　　由得　，由得　，

设的重心G为，则

　　　① ， 　　②，

由①②可得，，即为所求的轨迹方程.

法三:（I）设△AOB的重心为G(x , y) ，A(x1, y₁)，B(x₂ , y₂ )，则

　　　　　　　　…（1）

不过∵OA⊥OB ，

∴，即，　 …（2）

又点A，B在抛物线上，有，

代入（2）化简得，

∴，

∴所以重心为G的轨迹方程为.

9. 解析　法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，

则l的方程为

记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组

②

①

　　　　　　　　 的解.

将①代入②并化简得，，所以

 于是  

设点P的坐标为则　消去参数k得　③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方

程为

法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以

　④　　　　　 　　⑤

④—⑤得，所以

当时，有　　  ⑥

并且　　⑦　 将⑦代入⑥并整理得 　　⑧

当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）

也满足⑧，所以点P的轨迹方程为