高三数学选用试题
一、选择题：
1．不等式
的解集是
（ D
）
A．（-1，3）
B．（-3，1）
（3，7）
C．（-7，-3）
D．（-7，-3）（-1，3）
2．已知a是非0实数，则“a>1”是“
”的
（ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在等差数列
中，若
，则
的值为（ C ）
A．14 B．15 C．16 D．17
4．在
中，
，则是
（ C ）
A．正三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
5．函数
的图象大致是
（ D）
A． B． C． D．
6．已知直线a、b都在平面M外，a、b在平面M内的射影分别是直线a1、b1，给出下列四个命题：①
②
③
④其中不正确的命题的个数是： （ D ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．函数
的定义域为[a，b]，值域为
，则b-a的最大值和最小值之和为（ B）
A．
B．
C．
D．
8．如果以原点为圆心的圆经过双曲线
的焦点，而且被该双曲线的右准线分成的弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e等于： （ C ）
A．
B．
C．
D．
9．已知符号函数
，则方程
的所有解的和是（D ）
A．0
B．2 C．
D．
10．已知函数
的反函数
，若
，则
的最小值为（ B）
A．1
B．
C．
D．
11．要从10名女生与5名男生中选取6名学生组成6名课外兴趣味小组，如果按性别分层随机抽样，试问组成课外兴趣小组的概率是 （ A ）
A．
B．
C．
D．
12．实系数方程
的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则
的取值范围是
（ A ）
A
B
C
D
13．已知直线
（a，b不全为0）与圆
有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有
（B ）
A．66条 B．72条 C．74条 D．78条
14．某新区新建有5个住宅小区（A、B、C、D、E），现要铺设连通各小区的自来水管道，如果它们两两之间的线路长如下表：
|
| A | B | C | D | E | ||||||||||||||
A | 5 | 7 | 8 | 5 | |||||||||||||||
| B | 3 | 5 | 2 | ||||||||||||||||
| C | 5 | 4 | |||||||||||||||||
| D | 4 | ||||||||||||||||||
| E |
请问：最短的管线长为 （ B ） A．13 B．14 C．15 D．17
15．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”。在下面的五个点
中，“好点”的个数为（C）
A．0个 B．1个 C． 2个 D．3个
16．某人的密码箱上的密码是一种五位数字号码，每位上的数字可在0到9这10个数字中选取，该人记得箱子的密码1，3，5位均为0，而忘记了2，4位上的数字，只要随意按下2，4位上的数字，则他按对2，4位上的数字的概率是 （ D ）
A．
B．
C．
D．
17．设命题P：函数f(x)=
(a>0)在区间(1,
2)上单调递增；命题Q：不等式x－1－x+2<4a对任意x∈R都成立。若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则实数a的取值范围是
（C）
A．
<a≤1
B。≤a<1
C．0<a≤或a>1 D。0<a<或a≥1
二、填空题
18．设二项式
的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n等于
4
19．半径为2的球内接四面体A-BCD，AB、AC、AD两两互相垂直，则
+
+
的最大值为 8 。
20．雅典奥运会的第三天共产生8枚金牌，分别为中国4枚，美国2枚，日本、希腊各一枚，在奏国歌的先后顺序中，奏希腊国歌的前后都是奏中国国歌，美国国歌不连在一起奏的，则这天奏国歌的不同顺序____120____种
21．已知函数f(x)=Acos2(ωx+
)（A>0，ω>0）的最大值为3，f(x)的图象在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=____ 100 ______
22．A、B两点之间有5条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，3，4，现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于7的方法共有 5
23．对任意两实数a、b、，定义运算“*”如下：
的值域为
24．已知函数
，若
的单调减区间是 （0，4），则在曲线
的切线中，斜率最小的切线方程是 
。
25．有一组数据：
的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11，第一个数
关于
的表达式是
，第个数
关于的表达式是
。
26．如下图，它满足：
（1） 第n行首尾两数均为n ；
（2）表中的递推关系类似杨辉三角.
则第n行（n≥2）第2个数是
。
三、解答题
27． 若中，a，b，c分别是
的对边，且
，
（1）
求
；
（2）
若
，的面积为
，求b+c的值。
解：（1）由得：
，
可得：
，
，
。
（2）
，
。
28．已知
且
（1）求
； （2）求
解：（1）由
（2）由
则
由
在
时，
矛盾，故舍去.
在
可取. 因此
29． 某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使得
，记
。
（1）
求
的概率；
（2）
若前两次均出现正面，求
的概率。
解：（1），需4次中有3次正面1次反面，设其概率为
则
（2）6次中前两次均出现正面，要使，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面。设其概率为
。
30．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管与其费用为平均每天3元，购买面粉每次支付运费900元。
（1） 求该厂多少购买一次面粉才能使平均每天支付的总费用最小；
（2） 若提供面粉的公司规定，当一次购买面粉不少210吨时其价格可享受九折惠（即原价的90%）。问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由。
解（1）设该厂应隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，则面粉的保管与其它费用
，平均每天支出的费用为
，则
即每隔10天购买一次才能使平均每天支付的总费用最小。
（2）若厂家利用此优惠条件，则至少35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件，每隔x天（x
） 购买一次面粉，平均每天支出的费用为
。
利用单调性可证
在
上递增。
时取得最小值，即
，
该厂应接受此优惠条件。
31．已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2.
（Ⅰ）求PC与平面PBD所成的角；
（Ⅱ）求点D到平面PAC的距离；
（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？
若存在，确定E点的位置，若不存在，说明理由.
解： （Ⅰ）设AC与BD相交于点O，连接PO。
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD。
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC。
∵BD∩PD=D， ∴AC⊥平面PBD。
∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角。
∵PD=AD=2，则OC=
，PC=2。
|
∴
∴PC与平面PBD所成的角为30°
（Ⅱ）过D做DF⊥PO于F，∵AC⊥平面PBD，
DF
平面PBD， ∴AC⊥DF。
|
在Rt△PDO中，∠PDO=90°，
∴PO·DF=PD·DO。 ∴
（Ⅲ）假设存在E点，使PC⊥平面ADE.
过E在平面PBC内做EM∥PC交BC于点M，
连接AE、AM.
由AD⊥平面PDC可得AD⊥PC. ∵PC∥EM，∴AD⊥EM.
要使PC⊥平面ADE，即使EM⊥平面ADE. 即使EM⊥AE.
设BM=
，则EM=
，EB=
. 在△AEB中由余弦定理得AE2=4+3
－4
在Rt△ABM中，∠ABM=90°. ∴AM2=4+.
∵EM⊥AE，∴4+=4+3－4+2. ∴－=0. ∵
，∴=1.
∴E为PB的中点，即E为PB的中点时，PC⊥平面ADE.
32．如图，平面PAD
平面ABCD，
PAD是正三角形，
ABCD是矩形，M是AB的中点，PC与平面ABCD成
角。
（1）
求
的值；
（2） 求二面角P-MC-D的大小；
（3） 当AD的长为多少时，点D到平面PMC的距离为2。
解：（1）取AD中点H，则
，
面PAD平面ABCD，
面ABCD，PC与面ABCD所成的角为
。
设AD=a，则
，
，
。
（2）连结HM，由
∽
可得：
。
，由三垂线定理得
，
是二面角P-MC-D的平面角。
，
。
二面角P-MC-D的平面角为
由
可得：AD=
。
33．曲线
有极小值，当
处有极大值，且在x=1处切线的斜率为
.
（1）求；
（2）曲线上是否存在一点P，使得y=的图象关于点P中心对称？若存在，请求出点P坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由.
解:f′(x)=3ax2+2bx+c ∵当x=1±
时 f(x)有极小值及极大值
∴f′(1±)=0 即1±为3ax2+2bx+c=0两根
∴b=－3a , c=－6a
又∵f(x)在x=1处切线的斜率为
（2）假设存在P(x0, y0)，使得f(x)的图象关于P中心对称，
则f(x0+x)+f(x0－x)=2y0
即－
(x0+x)3+(x0+x)2+x0+x－(x0－x)3+(x0－x)2+x0－x=2y0
化解得
∵对于任意x∈R等式都成立
∴x0=1, y0=
.易知P（1，）在曲线y=f(x)上.
∴曲线上存在P（1，）使得f(x)的图象关于中心对称
34．已知函数
，且函数的图像关于原点对称，其图像在x=3处的切线方程为8x-y-18=0。
（1）
求的解析式；
（2）
是否存在区间[a，b]，使得函数g（x）的定义域和值域均为[a，b]，且解析式与的解析式相同？若存在，求出这样的一个区间[a，b]；若不存在，请说明理由。
解：（1）的图像关于原点对称，
恒成立，即
恒成立，
。
，
又的图像在x=3处的切线方程为
，
即
，据题意得：
解得：
，
（2）由
得x=0或
。
又
，由
得
，且当
或
时，
，当
时
。
所以，函数在和上递增，在上递减。
于是，函数在
上的极大值和极小值分别为
，
而
，
故存在这样的区间[a，b]，其中满足条件的一个区间
35．已知一次函数f（x）的图像关于直线x-y=0对称的图像为C，且f（-1）=0，若点（n+1，
在曲线C上，并有
。
（1） 求曲线C的方程；
（2）
求数列的通项公式；
（3）
设
，若
恒成立，求实数M的取值范围。
解：（1）设f（x）=kx+b（k
0），则曲线C的方程为
。
f(-1)=0,-k+b=0
①
又点（n+1，在曲线C上，
即（2，1）在曲线上。
②
由①②得：k=b=1
C：x-y-1=0。
（2）点（n+1，在曲线C上，
，而
。
，
（3）
。
关于n单调增。
。
故
恒成立，则
36．已知：
=（c，0）（c>0）,
,
最小值为1.若动点P同时满足下列条件①
②
其中
③动点P的轨迹C过点B(0,-1).
(1) 求c的值;
(2) 求曲线C的方程;
(3)
过点M(0,2)的直线
与曲线C的轨迹交于A,B两点,求
的取值范围.
解:(1) 
,
当
时, 的最小值为1,
,
,
.
(2)
,
, 曲线C的方程为
.
（3）设直线的方程为:
.
(*)
由
得:
,又,
.
当k不存在时, =3,所以
.
37．如图所示，已知A，B为椭圆
和双曲线
的公共顶点。P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且有
，设AP，BP，AQ，BQ的斜率分别为
。
（Ⅰ）求证；
；
（Ⅱ）设
分别为椭圆和双曲线的右焦点，
若
PF2∥QF1 ，求
的值。
解（Ⅰ）：设点P，Q的坐标分别为
则
，即
所以
类似地
设O为原点，则
∵
∴
， ∴三点O，P，Q共线
∴
，由①②得
（Ⅱ）证明：因点Q在椭圆上，有
由知
即
，从而
……③
又点P在双曲线上，有…………④
由③④解得
因
，∴
，故
所以
由①得
同理
另一方面
类似地
所以
38．对数列，规定
为数列的一阶差分数列，其中
。对正整数k，规定
为的k阶差分数列，其中
。
（1） 若数列首项，且满足
，求数列的通项公式；
（2） 对（1）中的数列，是否存在等差数列
，使得
对一切正整数
都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3） 令
，设
，若
恒成立，求最小的正整数M的值。
解（1）而
可得
，
，
是首项为，公差为的等差数列，
，
（2）即：
而
=
故可得
存在等差数列
,使对一切正整数都成立。
（3）由（2）知1
……… ①
……… ②
①-②得：
，
递增 ，且
。
满足条件的最小的正整数M的值为6
39．过P（1，0）做曲线
的切线，切点为Q1，设Q1在
轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在轴上的投影为P2，…，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、…、Qn的横坐标为
求证：
（Ⅰ）数列
是等比数列；
（Ⅱ）
；
（Ⅲ）
解：（Ⅰ）
若切点是
，
则切线方程为
当
时，切线过点P（1，0）即
得
当
时，切线过点
即
得
∴数列是首项为
，公比为的等比数列. 
…6分
（Ⅱ）
（Ⅲ）记
，
则
两式相减
40．已知函数
.
（1）求
及
的值；
（2）是否存在自然数，使
对一切
都成立，若存在，求出自然数的最小值；不存在，说明理由；
（3）利用（2）的结论来比较
和
的大小．
解（1）
；
．
（2）假设存在自然数,使
对一切
都成立.
由
,
得 
，
当
时，不等式
显然不成立．
当
时，
，
当n=1时，显然
,
当
时，
=
成立，则 
对一切
都成立．
所以存在最小自然数
。
（3）． 由
（
），所以
，
，……，
，
相乘得
，∴
成立．