高三文科数学统一测试试题
数学（文科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
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1．设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，9，a－5}， ={5，7}，则a的值为（ ）
A．2 B．8 C．－2或8 D．2或8
2．一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1—50号，为了了解他们在课外的兴趣爱好，要求每班的33号学生留下列参加问卷调查，这里运用的抽样方法是（ ）
A．系统抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法
3．把函数
的图象向右平移
个单位，所得图象对应函数的最小正周期是（ ）
A．
B．2 C．4 D．
4．从4台A型笔记本电脑与5台B型笔记本电脑中任选3台，其中至少要有A型和B型笔
记本电脑各一台，则不同的选取方法共有 （ ）
A．140种 B．84种 C．70种 D．35种
5． 以原点为圆心，且截直线
所得弦长为8的圆的方程是 （ ）
A．x2+y2=5 B．x2+y2=16
C．x2+y2=4 D．x2+y2=25
6．对于不重合的两条直线m，n和平面
，下列命题中的真命题是 （ ）
A．如果
，m，n是异面直线，那么
B．如果
，m，n是异面直线，那么
C．如果
，m，n是异面直线，那么
相交
D．如果
，m，n共面，那么
7．已知数列
的前n项和Sn满足
，那么
为（ ）
A．
B．
C．
D．
8． 若不等式
对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．{aa＞1} B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9．若
的展开式中含
项的系数是448，则正实数
的值为
。
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边长为4，a边长为6，则b边长为
， △ABC的面积为
。
11．已知球O的一个截面的面积为 ，球心O到这个截面的距离为1，则该球的半径为
，该球的体积为 。
12．若函数
的最小值是 .
13．实数x，y满足不等式组
的取值范围是
。
14．已知P是双曲线
的右支上一点，A1，A2分别为双曲线的左、右顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：
①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为
；
②若PF1=ePF2，则e的最大值为
；
③△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a；
④若直线PF1的斜率为k，则
其中正确命题的序号是 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分12分）
已知A、B两点的坐标分别为
（Ⅰ）求
的表达式；
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（O为坐标原点），求
的值；
（Ⅲ）若
，求函数
的最大值和最小值。
16．（本小题满分13分）
有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6张卡片，其中一张标有数字0，两张标有数字1，三张标有数字2；黑色盒中有7张卡片，其中4张标有数字0，一张标有数字1，两张标有数字2。现从红色盒中任意取1张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任意取2张卡片（每张卡片抽出的可能性相等），共取3张卡片。
（Ⅰ）求取出的3张卡片都标有数字0的概率；
（Ⅱ）求取出的3张卡片数字之积是4的概率；
（Ⅲ）求取出的3张卡片数字之积是0的概率.
17．（本小题满分14分）
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（Ⅰ）证明：PD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角P—AB—C的大小；
（Ⅲ）若DM : MP=k，则当k为何值时
直线PB⊥//平面ACM？
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18．（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）求函数极值；
（Ⅱ）若对任意的
，求实数a的取值范围.
19．（本小题满分14分）
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都在直线l：
上，P1为直线l与x轴的交点，数列成等差数列，公差为1。
（Ⅰ）求数列，
的通项公式；
（Ⅱ）若
问是否存在
，使得
成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。
（Ⅲ）求证：
20．（本小题满分14分）
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且准线方程为
直线l过M（1，0）与抛物线交于A，B两点，点P在y轴的右侧且满足
（O为坐标原点）。
（Ⅰ）求抛物线的方程及动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）记动点P的轨迹为C，若曲线C的切线斜率为
，满足
，点A到y轴的距离为a，求a的取值范围。
参考答案
一、选择题：每小题5分，满分40分.
1．D 2．A 3．B 4．C 5．D 6．B 7．A 8．C
二、填空题：每小题5分，满分30分。
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9．2
10．
11．
12．
13．
14．①③④
三、解答题：本大题满分80分.
15．（本小题满分12分）
解：（I）
……………………1分
……………………………………………………2分
=
…………………………………………………………3分
=
…………………………………………4分
（Ⅱ）
………………………………………………5分
又
………………………………7分
………………………………………………………………8分
（Ⅲ）
=
…………………………………………9分
……………………………………………10分
当sinx=0时，
………………………………………………11分
当sinx=－1时，
………………………………………………12分
16．（本小题满分13分）
解：（I）记“取出的3张卡片都标有数字0”为事件A.…………………………1分
…………………………………………………………4分
（Ⅱ）记“取出的3张卡片数字之积是4”为事件B。……………………5分
……………………………………9分
（Ⅲ）记“取出的3张卡片数字之积是0”为事件C.……………………10分
…………………………13分
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解：（I）∵PO⊥平面ABCD
∴DO为DP在平面ABCD内的射影……………………1分
又AC⊥BD
∴AC⊥PD………………………………………………3分
（Ⅱ）取AB中点N，连结ON，PN……………………4分
∵四边形ABCD为等腰梯形
∴△ABD≌△BAC
∴∠ABD=∠BAC
∴OA=OB
∴ON⊥AB.
又∵PO⊥平面ABCD
∴ON为PN在底面ABCD内的射影，
∴PN⊥AB
∴∠PNO即为二面角P—AB—C的平面角
在Rt△DOA中，∠DAO=60°，AD=2
∴AO=1，DO=
在Rt△AOB中，
………………………………………………8分
∵PO⊥平面ABCD
∴OA为PA在底面ABCD内的射影
∴∠PAO为直线PA与底面ABCD所成的角，
∴∠PAO=60°
在Rt△POA中，AO=1
∴PO=……………………………………………………………………9分
∴在Rt△PON中，
|
方法二：
如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，
y轴，z轴建立空间直角坐标系.……………………4分
A（0，－1，0），B（1，0，0）
P（0，0，
O（0，0，0）……………………5分
……6分
∵PO⊥平面ABCD
为平面ABCD的法向量…………………7分
设
为平面PAB的法向量
则
………………………………9分
|
………………………………10分
（Ⅲ）连结MO
当DM：MP=时，直线PB//平面ACM…………11分
∵AO=1，BO=AO=1，DO=
∴DO：OB=
又∵DM：MP=
∴在△BDP中，MO//PB
又∵MO
平面ACM
∴PB//平面ACM……………………………………………………14分
18．（本小题满分13分）
解：（I）
…………………………………………1分
令
………………………………2分
|
的变化情况如下：
 |  | ||||
 | |||||
…………………………………………………………………………………………4分
∴当x=－1时，f（x）取得极大值为－4
当x=
时，f（x）取得极小值为
………………………………6分
（Ⅱ）设
…………8分
令
∵a＞2，
∴当
当
………………………………10分
∴当
即
解得a≤5，
∴2＜a≤5………………………………………………………………………………12分
当x=0时，F（x）=4成立
所以实数a的取值范围是
……………………………………………………13分
19．（本小题满分14分）
解（I）由题意知P1（－1，0）……………………………………………………………1分
∴
…………………………………………………………………………2分
∴
∴
（Ⅱ）若k为奇数，则
无解…………………………………………………………6分
若k为偶数，则
……………………………………………………8分
综上，存在k=4使成立.…………………………………………9分
（Ⅲ）证明：
（1）当
成立。………………11分
（2）当n≥3，n∈N*时，
…………………………………………12分
成立.………………………………………………13分
综上，当
成立……………14分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意知抛物线的方程为
∴p=1，抛物线的方程为 
……………………2分
直线l的斜率不存在时，直线l与抛物线交于一点，不符合题意。 …………3分
于是设直线l的方程为 
联立 
设两交点为
则△=4k2－8k>0
……………………4分
∴
……………………5分
设
∵
∴
消去k得
……………………7分
又∵P点在y轴的右侧 ∴x>0，
又∵
………………8分
∴动点P的轨迹方程为
（Ⅱ）∵曲线C的方程为
∴切线斜率
………………9分
∴
…………10分
∵
，
又
∴
∴
解得
…………12分
∴
………………13分
∴a的取值范围是：
……………………14分