高考文科数学模拟试题(文科4)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分50分．）
1. 设全集
，
，则
A=（ ）
．
． 
．
．
2. 若复数
是纯虚数(其中
)，则
= ( )
．0
．
．２ ．４
3.某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人,现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本进行某项调查，则应抽取的高二年级的学生数为（ ）
.90
．120 ．240
．360
4. 已知等差数列
的前
项的和为
，且
，
，则和过点
和点
的直线平行的一个向量的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，
俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）
. 
. 
. 
. 
6. 已知命题P：
，
在
上为增函数；命题Q：
使 
，则下列结论成立的是 ( )
．﹁P∨﹁Q ．﹁P∧﹁Q ．Ｐ∨﹁Q ．Ｐ∧﹁Q
7. 设函数
.若将的图象沿x轴向右平移
个单位长度，得到的图象经过坐标原点;若将的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变）, 得到的图象经过点
. 则 （ ）
A．
B．
C． 
D． 适合条件的
不存在
8. 已知非负实数x、y同时满足2x+y-4≤0,x+y-1≥0,则z=x2+(y+2)2的最小值是 ( )
.
.
. 
.
9. 设f(x) = 3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是 （ ）
A．[0，1] B．[1，2] C．[－2，－1] D．[－1，0]
10. 已知
，则下列函数的图象错误的是
( )
二.填空题(每小题5分,共20分)
必做题:
11.圆
的圆心到直线
x的距离是__________________.
12．如图是计算
的程序框图，判断框应填的内容是____,处理框应填的内容是____.
13．已知
， 经计算得
，推测当
时，有_____________________.
选做题:
14．将极坐标方程
化为直角坐标方程是____________.
15．如图，四边形
是等腰梯形，
．由4个
这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,则四边形
中
度数为
.
 |
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）在ΔＡＢＣ中，
⑴求AB边的长度; ⑵求 
的值．
17.
(本题满分12分) 已知等差数列{
}中
=
，
，
(Ⅰ)求数列{}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{
}满足
，设
且
，求的值.
18．(本题满分14分) 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC =
3，BC = 4，AB = 5，AA1=4，点D是AB的中点.
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
19．(本题满分14分) 某地政府招商引资，为吸引外商，决定第一年产品免税，某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p％ (
，即销售100元要征收p元) 的税收，于是该产品的出厂价上升为每件
元，预计年销售量将减少p万件.
(Ⅰ) 将第二年政府对该商品征收的税收y(万元)表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
(Ⅱ) 要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p％的范围是多少?
(Ⅲ) 在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少?
20. (本题满分14分) 在实数集R上定义运算
若
，
，若
．
(Ⅰ) 求
的解析式； (Ⅱ) 若单在
上是减函数，求实数
的取值范围；
(Ⅲ) 若
，的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．
21. （本题满分14分）设椭圆
：
的左、右焦点分别为
，已知椭圆上的任意一点
，满足
，过
作垂直于椭圆长轴的弦长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过的直线交椭圆于
两点，求
的取值范围．
数学试题(文科4)参考答案
一、选择题 B C A B D C A A D D
二、填空题
| 题号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 答案 |
|
|
|
|
|
三、解答题
16.解:（１）
∴
即AB边的长度为2.
…………… …………5分
（２）由已知及（１）有:
∴
……………8分
由正弦定理得: 
……………10分
∴=
…………12分
17. (Ⅰ) 解：
为等差数列 
，…………………2分
又
设{
}的公差为d，
，∴d=2， …………4分
……………………………………………6分
(Ⅱ) 
……………………………………………………………8分
当
时，
……………………………10分
即
，
即n=23时， 1 ……………12分
18．解：（1）∵AC2 + BC2 = AB2 ∴AC⊥BC 又∵CC1∥AA1，AA1⊥面ABC
∴CC1⊥面ABC ∴AC⊥C1C ∴AC⊥面BCC1B1，
平面BCC1B1 ∴AC⊥BC1， ……………………………………4分
（2）设
，则O为BC1中点，连OD，
∵D为AB中点 ∴OD∥AC1，
AC1∥平面CDB1；……8分
（3）由（2）知，OD∥AC1 ∴OD与B1C所成的角即为AC1与B1C所成角，∴∠DOC为所求
在△ODC中，
…………14分
19. (Ⅰ) 解：依题意，第二年该商品年销售量为(11.8－p)万件，
年销售收入为 (11.8一
)万元，……………………………………………2
政府对该商品征收的税收
(11·8一p)p％(万元)
故所求函数为 
……………………………………………4
由11.8－p>0及p>0得定义域为0<p<11.8 ……………………………………6分
(Ⅱ) 解： 由y≥16得
≥16
化简得p2－12p+20≤0，即(p－2)(p－10)≤0，解得2≤p≤l0
故当税率为[2％，10％]内时，税收不少于16万元．…………………………………10分
(Ⅲ) 解：第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g(p)= 
(2≤p≤10)
∵ g(p)= =600(10+
)在
是减函数， …………………
∴ g(p)max =g(2)=600(万元)
故当比率为2％时，厂家销售金额最大。 ……………………………14分
20.解：（Ⅰ）
=
…………………………3分
（Ⅱ）∵
…………………………………4分
当
上时，单调递减
∴ 
，恒成立 ………………………6分
∴△=
解得：
……………………………7分
（Ⅲ）
时，
………………………………8分
设
是曲线上的任意两点
∵
……………………………10分
∴
……………………12分
∴
不成立…………………………13分
∴的曲线上不存在两点，使得过这两点的切线互相垂直。……………………14分
21. 解：（1）设点
，则
，
，
，又
，
，∴椭圆的方程为：
（2）当过直线
的斜率不存在时，点
，则
；
当过直线的斜率存在时，设斜率为
，则直线的方程为
，
设
, 由
得：
综合以上情形，得：