高中数学毕业招生全国统一考试
数学（理工农医类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知
，那么角
是（ ）
Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角
2．函数
的反函数的定义域为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
3．平面
平面
的一个充分条件是（ ）
Ａ．存在一条直线
Ｂ．存在一条直线
Ｃ．存在两条平行直线
Ｄ．存在两条异面直线
4．已知
是
所在平面内一点，
为
边中点，且
，那么（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
5．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种
6．若不等式组
表示的平面区域是一个三角形，则
的取值范围是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．或
7．如果正数
满足
，那么（ ）
Ａ．
，且等号成立时的取值唯一
Ｂ．
，且等号成立时的取值唯一
Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一
Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一
8．对于函数①
，②
，③
，判断如下三个命题的真假：
命题甲：
是偶函数；
命题乙：
在
上是减函数，在
上是增函数；
命题丙：
在
上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）
Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②
数学（理工农医类）
第II卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．
．
10．若数列
的前
项和
，则此数列的通项公式为 ；数列
中数值最小的项是第 项．
11．在中，若
，
，
，则
．
12．已知集合
，
．若
，则实数的取值范围是 ．
13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么
的值等于 ．
14．已知函数，
分别由下表给出
|
| 1 | 2 | 3 |
|
| 1 | 3 | 1 |
|
| 1 | 2 | 3 |
|
| 3 | 2 | 1 |
则
的值为 ；满足
的
的值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
数列中，
，
（
是常数，
），且
成公比不为
的等比数列．
（I）求的值；
（II）求的通项公式．
16．（本小题共14分）
如图，在
中，
，斜边
．
可以通过以直线
为轴旋转得到，且二面角
是直二面角．动点的斜边
上．
（I）求证：平面
平面
；
（II）当为的中点时，求异面直线与
所成角的大小；
（III）求与平面所成角的最大值．
17．（本小题共14分）
矩形
的两条对角线相交于点
，边所在直线的方程为
，点
在
边所在直线上．
（I）求边所在直线的方程；
（II）求矩形外接圆的方程；
（III）若动圆
过点
，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
18．（本小题共13分）
某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（III）从合唱团中任选两名学生，用
表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望
．
19．（本小题共13分）
如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为
，短半轴长为
，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记
，梯形面积为
．
（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积的最大值．
20．已知集合
，其中
，由
中的元素构成两个相应的集合：
，
．
其中
是有序数对，集合和
中的元素个数分别为
和．
若对于任意的
，总有
，则称集合具有性质．
（I）检验集合
与
是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；
（II）对任何具有性质的集合，证明：
；
（III）判断和的大小关系，并证明你的结论．
数学（理工农医类）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ａ 5．Ｂ 6．Ｄ
7．Ａ 8．Ｄ
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．
10．
11．
12．
13．
14． 
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共13分）
解：（I），
，
，
因为
，
，
成等比数列，
所以
，
解得
或
．
当时，
，不符合题意舍去，故．
（II）当
时，由于
，
，
，
所以
．
又，，故
．
当
时，上式也成立，
所以
．
16．（共14分）
解法一：
（I）由题意，
，
，
是二面角是直二面角，
又
二面角是直二面角，
，又
，
平面，
又
平面
．
平面平面．
（II）作
，垂足为
，连结
（如图），则
，
是异面直线与所成的角．
在
中，
，
，
．
又
．
在
中，
．
异面直线与所成角的大小为
．
（III）由（I）知，
平面，
是与平面所成的角，且
．
当
最小时，
最大，
这时，
，垂足为，
，
，
与平面所成角的最大值为
．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空间直角坐标系
，如图，则
，
，
，
，
，
，
．
异面直线与所成角的大小为
．
（III）同解法一
17．（共14分）
解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为
．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为
．
．
（II）由
解得点的坐标为
，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以
为矩形外接圆的圆心．
又
．
从而矩形外接圆的方程为
．
（III）因为动圆过点
，所以
是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，
所以
，
即
．
故点的轨迹是以
为焦点，实轴长为
的双曲线的左支．
因为实半轴长
，半焦距．
所以虚半轴长
．
从而动圆的圆心的轨迹方程为
．
18．（共13分）
解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．
（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为
．
（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为
．
（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件
，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件
．易知
；
；
的分布列：
|
| 0 | 1 | 2 |
|
|
|
|
|
的数学期望：
．
19．（共13分）
解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系
（如图），则点的横坐标为．
点的纵坐标
满足方程
，
解得
，
其定义域为
．
（II）记
，
则
．
令
，得
．
因为当
时，
；当
时，
，所以
是的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为
．
即梯形面积的最大值为
．
20．（共13分）
（I）解：集合不具有性质．
集合具有性质，其相应的集合和是
，
．
（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对
共有
个．
因为
，所以
；
又因为当时，时，，所以当
时，
．
从而，集合中元素的个数最多为
，
即．
（III）解：
，证明如下：
（1）对于
，根据定义，，
，且
，从而
．
如果与
是的不同元素，那么
与
中至少有一个不成立，从而
与中也至少有一个不成立．
故
与
也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即
，
（2）对于
，根据定义，，，且
，从而
．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而
与中也不至少有一个不成立，
故
与
也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即
，
由（1）（2）可知，．