高中数学毕业招生全国统一考试
数学（文史类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知
，那么角
是（ ）
Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角
2．函数
的反函数的定义域为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
3．函数
的最小正周期是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
4．椭圆
的焦点为
，
，两条准线与
轴的交点分别为
，若
，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）
Ａ．
个 Ｂ．
个
Ｃ．
个 Ｄ．
个
6．若不等式组
表示的平面区域是一个三角形，则
的取值范围是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．或
7．平面
平面
的一个充分条件是（ ）
Ａ．存在一条直线
Ｂ．存在一条直线
Ｃ．存在两条平行直线
Ｄ．存在两条异面直线
8．对于函数①
，②
，③
，判断如下两个命题的真假：
命题甲：
是偶函数；
命题乙：
在
上是减函数，在
上是增函数；
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ）
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③
数学（文史类）
第II卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．
是
的导函数，则
的值是 ．
10．若数列
的前
项和
，则此数列的通项公式为 ．
11．已知向量
．若向量
，则实数
的值是 ．
12．在
中，若
，
，
，则
．
13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么
的值等于 ．
14．已知函数，
分别由下表给出
|
| 1 | 2 | 3 |
|
| 2 | 1 | 1 |
|
| 1 | 2 | 3 |
|
| 3 | 2 | 1 |
则
的值为 ；当
时，
．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共12分）
记关于的不等式
的解集为
，不等式
的解集为
．
（I）若
，求；
（II）若
，求正数的取值范围．
16．（本小题共13分）
数列中，
（
是常数，
），且
成公比不为
的等比数列．
（I）求的值；
（II）求的通项公式．
17．（本小题共14分）
如图，在
中，
，斜边
．
可以通过以直线
为轴旋转得到，且二面角
的直二面角．
是
的中点．
（I）求证：平面
平面
；
（II）求异面直线与
所成角的大小．
18．（本小题共12分）
某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：
（I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；
（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；
19．（本小题共14分）
如图，矩形
的两条对角线相交于点
，边所在直线的方程为
点
在
边所在直线上．
（I）求边所在直线的方程；
（II）求矩形外接圆的方程；
（III）若动圆过点
，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
20．（本小题共14分）
已知函数
与
的图象相交于
，
，
，
分别是的图象在
两点的切线，分别是，与轴的交点．
（I）求
的取值范围；
（II）设
为点
的横坐标，当
时，写出以
为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III）试比较
与
的大小，并说明理由（
是坐标原点）．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｃ
7．Ｄ 8．Ｃ
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．
10．
11．
12．
13．
14．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共12分）
解：（I）由
，得
．
（II）
．
由
，得
，又，所以
，
即的取值范围是．
16．（共13分）
解：（I），
，
，
因为
，
，
成等比数列，
所以
，
解得
或
．
当时，
，不符合题意舍去，故．
（II）当
时，由于
，
，
，
所以
．
又，，故
．
当
时，上式也成立，
所以
．
17．（共14分）
解法一：
（I）由题意，
，
，
是二面角是直二面角，
，又
，
平面，
又
平面
．
平面平面．
（II）作
，垂足为
，连结
（如图），则
，
是异面直线与所成的角．
在
中，
，
，
．
又
．
在
中，
．
异面直线与所成角的大小为
．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空间直角坐标系
，如图，则
，
，
，
，
，
，
．
异面直线与所成角的大小为
．
18．（共13分）
解：（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为
．
（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为
．
19．（共14分）
解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为
．
．
（II）由
解得点
的坐标为
，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又
．
从而矩形外接圆的方程为
．
（III）因为动圆过点
，所以
是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，
所以
，
即
．
故点的轨迹是以为焦点，实轴长为
的双曲线的左支．
因为实半轴长
，半焦距．
所以虚半轴长
．
从而动圆的圆心的轨迹方程为
．
20．（本小题共14分）
解：（I）由方程
消
得
．···················· ①
依题意，该方程有两个正实根，
故
解得
．
（II）由
，求得切线的方程为
，
由
，并令
，得
，
是方程①的两实根，且，故
，，
是关于的减函数，所以的取值范围是
．
是关于的增函数，定义域为，所以值域为
，
（III）当时，由（II）可知
．
类似可得
．
．
由①可知
．
从而
．
当
时，有相同的结果．
所以
．