高中数学毕业招生全国统一考试
数学（理工农医类）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．数列
的前
项和为
，若
，则
等于（ ）
A．1 B．
C．
D．
3．已知集合
，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．对于向量
和实数
，下列命题中真命题是（ ）
A．若
，则
或
B．若
，则
或
C．若
，则
或
D．若
，则
5．已知函数
的最小正周期为
，则该函数的图象（ ）
A．关于点
对称 B．关于直线
对称
C．关于点
对称 D．关于直线
对称
6．以双曲线
的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
为
上的减函数，则满足
的实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．把
展开成关于的多项式，其各项系数和为
，则
等于（ ）
A．
B． C．
D．2
10．顶点在同一球面上的正四棱柱
中，
，则
两点间的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知对任意实数，有
，且
时，
，则
时（ ）
A． B．
C．
D．
|
，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知实数
满足
则
的取值范围是________．
14．已知正方形
，则以
为焦点，且过
两点的椭圆的离心率为______．
15．两封信随机投入
三个空邮箱，则
邮箱的信件数
的数学期望
．
16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合中元素之间的一个关系“
”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意
，都有
；
（2）对称性：对于
，若
，则有
；
（3）传递性：对于
，若，
，则有
．
则称“”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在
中，
，
．
（Ⅰ）求角
的大小；
（Ⅱ）若最大边的边长为
，求最小边的边长．
18．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱
的所有棱长都为
，
为
中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
19．（本小题满分12分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（
）的管理费，预计当每件产品的售价为元（
）时，一年的销售量为
万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润
（万元）与每件产品的售价的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值
．
20．（本小题满分12分）如图，已知点
，
直线
，
为平面上的动点，过作直线
的垂线，垂足为点
，且
．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点
的直线交轨迹于两点，交直线于点
，已知
，
，求
的值；
21．（本小题满分12分）
等差数列的前项和为
．
（Ⅰ）求数列的通项与前项和；
（Ⅱ）设
，求证：数列
中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
22．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若
，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若
，且对于任意
，
恒成立，试确定实数
的取值范围；
（Ⅲ）设函数
，求证：
．
数学试题
（理工农医类）参考答案
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B
11．B 12．D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．
13．
14．
15．
16．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．
解：（Ⅰ）
，
．
又
，
．
（Ⅱ）
，
边最大，即
．
又
，
角最小，
边为最小边．
由
且
，
得
．由
得：
．
所以，最小边
．
18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．
解法一：（Ⅰ）取中点
，连结
．
为正三角形，
．
正三棱柱中，平面
平面
，
平面．
连结
，在正方形
中，
分别为
的中点，
，
．
在正方形
中，
，
平面．
（Ⅱ）设
与
交于点
，在平面中，作
于，连结
，由（Ⅰ）得平面．
，
为二面角的平面角．
在
中，由等面积法可求得
，
又
，
．
所以二面角的大小为
．
（Ⅲ）
中，
，
．
在正三棱柱中，
到平面的距离为
．
设点到平面的距离为
．
由
得
，
．
点到平面的距离为
．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
平面．
取
中点
，以为原点，
，
，
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
．
平面．
（Ⅱ）设平面
的法向量为
．
，
．
，
，
令
得
为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
，
．
二面角的大小为
．
（Ⅲ）由（Ⅱ），
为平面法向量，
．
点到平面的距离
．
19．本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，满分12分．
解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：
．
（Ⅱ）
．
令
得
或
（不合题意，舍去）．
，
．
在两侧
的值由正变负．
所以（1）当
即
时，
．
（2）当
即
时，
，
所以
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值
（万元）；若，则当每件售价为
元时，分公司一年的利润最大，最大值
（万元）．
20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．
解法一：（Ⅰ）设点
，则
，由得：
，化简得
．
（Ⅱ）设直线
的方程为：
．
设
，
，又
，
联立方程组
，消去得：
，
，故
由，得：
，
，整理得：
，
，
．
解法二：（Ⅰ）由得：
，
，
，
．
所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：
．
（Ⅱ）由已知，，得
．
则：
．…………①
过点分别作准线的垂线，垂足分别为，
，
则有：
．…………②
由①②得：
，即
．
21．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分
解：（Ⅰ）由已知得
，
，
故
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
假设数列中存在三项
（
互不相等）成等比数列，则
．
即
．
，
．
与
矛盾．
所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．
22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：（Ⅰ）由得
，所以
．
由
得
，故的单调递增区间是
，
由
得
，故的单调递减区间是
．
（Ⅱ）由
可知
是偶函数．
于是对任意成立等价于
对任意
成立．
由
得
．
①当
时，
．
此时在
上单调递增．
故
，符合题意．
②当
时，
．
当变化时
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
由此可得，在上，
．
依题意，
，又
．
综合①，②得，实数的取值范围是
．
（Ⅲ）
，
，
，
由此得，
故
．