高三数学综合练习(23)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1. 已知映射
,其中
,对应法则
若对实数
,在集合A中不存在原象,则
的取值范围是
( )
A．
B．
C．
D．
2． 
的展开式中
的系数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.在等差数列
中，若
，则
的值为 ( )
A．14 B．15 C．16 D．17
4．已知
，则
的值为
( )
A．
B．
C．
D．
5．设地球的半径为
，若甲地位于北纬
东经
，乙地位于南纬
东经，则甲、乙两地的球面距离为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若
是常数，则“
”是“对任意
，有
”的 ( )
A．充分不必要条件. B．必要不充分条件.
C．充要条件. D．既不充分也不必要条件.
7．双曲线
的左、右顶点分别为
、
，
为其右支上一点，且
，则
等于
（
）
A． 无法确定
B．
C．
D．
8．已知直线
(
不全为
)与圆
有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有
( )
A.66条 B.72条
C.74条 D.78条
9.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a, b的值分别为（ ）
A．0,27,78 B．0,27,83
C．2.7,78 D．2.7,83
10.半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且AB，AC，AD两两互相垂直，则
、
、
面积之和
的最大值为 （ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11命题“若都是偶数，则
是偶数”的否命题是_________
12. 以
、
为焦点且过点
的双曲线的标准方程为
.
13．定义一种运算“
”对于正整数满足以下运算性质：
（1）
；（2）
,则
的值是
14. 
的值等于
.
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
, 
，△ABC的面积
，则a = .
16．等比数列
的公比为
，其前
项的积为
，并且满足条件
，
，
。给出下列结论：①
；②
③
的值是 中最大的；④使
成立的最大自然数等于198。其中正确的结论是
.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12）已知向量
.
（1）向量
是否共线？证明你的结论；
（2）若函数
，求
的最小值，并指出取得最小值时的
值.
18.（本小题满分14分）已知函数
．
（1）求的定义域，并判断的奇偶性；
（2）解关于的不等式：
；
19．（本小题满分14分，第一、第二小问满分各6分）
如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1 中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角， AA1= 2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。E是线段BC1上一点，且BE=
BC1 ．
（１）求证： GE∥侧面AA1B1B ；
（２）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小 ．
20．（本小题满分14分）过抛物线
的对称轴上的定点
，作直线
与抛物线相交于
两点.
（1）试证明两点的纵坐标之积为定值；
（2）若点
是定直线
上的任一点，试探索三条直线
的斜率之间的关系，并给出证明.
21．（本小题满分14分）
已知是二次函数，不等式
的解集是
且在区间
上的最大值是12。
（I）求的解析式；
（II）是否存在自然数
使得方程
在区间
内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由。
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1．B
提示：设
,据题意知此方程应无实根
， 
，故选B
2． B
提示：
展开式中的系数为
故选B
3.C
提示：设等差数列的公差为
， 由等差数列的性质知：
,选C．
4．D
提示：由已知得
，两边平方得
，求得
．
或令
，则
，所以
5.D
提示：求两点间的球面距离，先要求出球心与这两点所成的圆心角的大小，∠AOB=120°，∴ A、B两点间的球面距离为×2πR=. 选D．
6．A
提示：易知
对任意恒成立。
反之，对任意恒成立不能推出
反例为当
时也有对任意恒成立
“”是“对任意，有的充分不必要条件,选A．
7．D
提示：设
，
，过点作轴的垂线
，垂足为
，则
（ 其中
）
设 
， 则
， 即
， 故选 D．
8．B
提示：先考虑
时,圆上横、纵坐标均为整数的点有
、
、
，依圆的对称性知,圆上共有
个点横纵坐标均为整数,经过其中任意两点的割线有
条,过每一点的切线共有12条,又考虑到直线不经过原点,而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有
条,故选B.
9.
（理科做）A
提示：注意到纵轴表示
，
由图象可知，前4组的公比为3，
最大频率
，设后六组公差为，则
，解得：
，
即后四组公差为
， 所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为
（0.27＋0.22＋0.17＋0.12）×100＝78（人）.选A.
10.C
提示：由AB，AC，AD两两互相垂直，将之补成长方体知AB2+AC2+AD2=(2R)2=64．
≤
=
．
等号当且仅当
取得，所以的最大值为32 ，选C．
11． 若不都是偶数，则不是偶数 12．
13．
提示：设
则
且
， 即
，
14.
15.
16. ①②④
三、解答题：本大题共5小题，共70分。
17．
解：（1）因为
,
所以
. ……… 6分
（2）
…………10分
因为
， 所以
则
，即
时，取得最小值
………13分
18.解：(1)定义域为
关于原点对称，
为奇函数；
（2）当
时，
原不等式解集：
当
时，
原不等式解集：
19． 解：(1)延长B1E交BC于F,
∵ΔB1EC∽ΔFEB, BE＝
ＥＣ１
∴ＢＦ＝Ｂ１Ｃ１＝ＢＣ，从而Ｆ为ＢＣ的中点．
∵Ｇ为ΔＡＢＣ的重心，∴Ａ、Ｇ、Ｆ三点共线，且
＝ 
＝，∴GE∥AB1，
又GE
侧面AA1B1B，
∴GE∥侧面AA1B1B
（２）在侧面AA1B1B内，过B1作B1Ｈ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，
∴B1Ｈ⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成600的角， AA1= 2，
∴∠B1ＢＨ＝６００，ＢＨ＝１，B1Ｈ＝
．
在底面ABC内，过Ｈ作ＨＴ⊥ＡＦ，垂足为Ｔ，连B1Ｔ．由三垂线定理有B1Ｔ⊥ＡＦ，
又平面B1GE与底面ABC的交线为ＡＦ，∴∠B1ＴＨ为所求二面角的平面角．
∴ＡＨ＝ＡＢ＋ＢＨ＝３，∠ＨＡＴ＝３００， ∴ＨＴ＝ＡＨsin300＝
，
在ＲｔΔB1ＨＴ中，ｔａｎ∠B1ＴＨ＝
＝
，
从而平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan
20．（1）证明:.设
有
，下证之：
设直线的方程为:
与
联立得
消去得
由韦达定理得
,
（2）解：三条直线的斜率成等差数列，下证之：
设点
，则直线
的斜率为
;
直线
的斜率为
又
直线
的斜率为
即直线的斜率成等差数列.
21题：（I）解：是二次函数，且的解集是可设
在区间上的最大值是
由已知，得
（II）方程等价于方程
设
则
当
时，
是减函数；当
时，
是增函数。
方程
在区间
内分别有惟一实数根，而在区间
内没有实数根，
所以存在惟一的自然数
使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。