高考理科数学仿真测试卷
理科数学(二)
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
参考公式：
如果事件A、B互诉，那么：
如果事件A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那行n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是：
球的表面积公式：
其中R表示球的半径.
球的体积公式：
，其中R表示球的半径.
注意事项：
1．请考生务必将自己的姓名、准考证号填写在指定地方。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，填在第Ⅱ卷答题卡上；答第Ⅱ卷直接在试卷指定
区域作答。
3．考试结束，监考人员将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷一并收回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合M={y y=x+1}，N={(x，y)x 2 +y 2 =1}，则M
N中元素的个数是
A．0 B．1 C．2 D．多个
2、已知复数
=a+i，z2=1+a 2 i，若
是实数，则实数a的值等于
A．1 B．－1 C．－2 D．2
3、若函数f (x)= e xsin x，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为
A．
B．0 C．钝角 D．锐角
4、连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1，1)的夹角
的概率是
A．
B．
C． 
D． 
5、平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，
n维向量可用（x1，x2，x3，x4，…,xn）表示.设
=(a1, a2, a3, a4，…, an)，
=（b1, b2, b3, b4,…,bn），
规定向量与夹角θ的余弦为 
。
当=(1，1，1，1，…，1)，=(－1, －1, 1, 1,…,1)时，
=
A、
B、
C、 
D、
6、函数f (x)为奇函数且f (3x+1)的周期为3，f (1)=－1，则f (2006)等于
A．0 B．1 C．一1 D．2
7、在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则
锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（ ）
A．1∶
B．1∶9 C．1∶
D．1∶
8、在ΔABC中，
，若ΔABC的最长边为
，则最短边的长为
A．2 B．
C．
D．1
9、{an}为等差数列，若
，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n=
A．11 B．17 C．19 D．21
10、设对任意实数x∈[−1, 1]，不等式x2+ax−3a＜0总成立，则实数a的取值范围是
A．a＞0 B．a＞0或a＜−12 C．
D．
11、已知
，且函数
在
上具有单调性，则
的取值范围是
A、
B、
C、
D、
12、如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x-y=0对称，动点P(a,b)在不等式组：表示的平面区域内部及边界上运动,则ω=
的取值范围是 ( )
A、
B、
C、∪ D、
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填
在横线上.）
13、将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点
B(4，0)重合．若此时点C(7，3)与点D(m，n)重合，则m＋n的值
是 ．
14、如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A，B，C为其上
的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于 ．
15、若
，
则
______(用数字作答).
16、有下列命题：
① G＝（G≠0）是a，G，b成等比数列的充分非必要条件；
② 若角α，β满足cosαcosβ=1，则sin(α+β)＝0；
③ 若不等式x－4+x－3＜a的解集非空，则必有a≥1；
④ 函数y=sinx+sinx的值域是［－2，2］．
其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、（本小题满分12分）
某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A、B两个相互独立的问题， 并且宣布：观众答
对问题A可获奖金a元，答对问题B可获奖金2a元；先答哪个题由观众自由选择；只有第1个问题答对，才能再答第2个问题，否则中止答题。若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为、。你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望较大？说明理由。
18、（本小题满分12分）
若函数
的图象与直线
（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为
的等差数列．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若点
是
图象的对称中心，且
[0,
]，求点A的坐标．
19、（本题满分12分）
如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，
⑴ 求点E、F在该球面上的球面距离；
⑵ 求平面OEF与平面OBC所成的锐二面角。（用反三角函数表示）
20、（本题满分12分）
已知数列
的前
项和为
，对一切正整数，点
都在函数
的图象上，且过点的切线的斜率为
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若
，求数列
的前项和为
；
（Ⅲ）设
，
，等差数列
的任一项
，其中
是
中的最小数，
，求的通项公式．
21、 (本题满分12分)
如图，设抛物线C：x2=4y的焦点为F，P(x0, y0)为抛物线上的任一点（其中x0≠0），过P点的切线交y轴于Q点．
（1）证明：
；
（2）Q点关于原点O的对称点为M，过M点作平行于PQ的直线
交抛物线C于A、B两点，若
，求
的值．
22、（本小题满分14分）已知函数
的最大值为正
实数，集合
，集合
。
（1）求
和
；
（2）定义与的差集：
且
。
设
，，
均为整数，且
。
为取自
的概率，
为取自
的概率，写出与的二组值，使
，
。
（3）若函数
中，
，
是（2）中较大的一组，试写出在区间[
,
]上的最大值函数
的表达式。
参考答案：
一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | A | B | C | D | D | B | D | D | C | C | A | C |
简答与提示：
1、集合M是函数y=x+l的函数值的集合，集合N是圆上的点集.
2、
，故a 3+1=0，得a =－1.
3、
.
4、若使夹角，则有－m+n<0即m>n，其概率为
.
5、按定义计算
6、由已知f (3x+1)=f[3(x+3)+1]=f(3x+1+9)，所以f(x)的周期为9，f(2006)=f(2007－1)=f(－1)=
－f(1)=1.
7、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方
8、由
得
，
∴∠C的对边AB为最长边，∠B的对边AC为最短边，由正弦定理得：
9、∵Sn有最小值，∴d＜0则a10＞a11，又，∴a11＜0＜a10 ∴a10+a11＜0，
S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)＜0, S19=19a10＞0又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12＞…
∴S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0, S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21＞…
又∵S19−S1=a2+a3+…+a19=9(a10+a11)＜0 ∴S19为最小正值
10、由不等式x2+ax−3a＜0,
x∈[−1,
1]时恒成立，可得不等式
，x∈[−1, 1]时恒成立，令
，由x∈[−1, 1]得3−x∈[2, 4]，当3−x=3即x=0时，函数f(x)有最小值0，又
11、
，
∴
或
12、 M、N关于直线x-y=0对称
且圆心
在直线x-y=0上，从而
；ω=看成斜率。
二、填空题：
13、 14、60o 15、0 16、①②③④
简答与提示：
13、直线对称
14、将正方体复原
15、0 两边求导，再分别把x赋值x=2，x=0，最后把所得两式相乘即得.
16、①注意到G≠0； ②cosαcosβ=1
cosα=cosβ=1或cosα=cosβ=-1；
③ 记f(x)=x－4+x－3＜a，依题意则有a≥
1；
④ y=sinx+sinx
。
三、解答题：
17、（本小题满分12分）
解：设甲先答A、B所获奖金分别为
元，则有
…… 3分
……6分
…………10分
由于两种答序获奖金的期望相等，故先答哪个都一样。 …………………………12分
18、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
…………………………………4分
∵的图象与相切.
∴m为
的最大值或最小值. 即
或
……6分
（Ⅱ）又因为切点的横坐标依次成公差为的等差数列．所以最小正周期为.
又
所以
……………………………8分
即
……………………………………9分
令
．则
………………………10分
由0≤
≤
得k=1,2,
因此对称中心为
、
． ……………………………12分
19、（本题满分12分）
解：⑴解法一：如图1，证明0M=0N=MN=AB=BC=AC,从而∠MON=
∴点E、F在该球面上的球面距离为.
解法二：如图2，补形易证：∠EOF=∠GOH
=.
解法三：其实
，易证：∠EOF=.
解法四：如图3，建立空间直角坐标系，易知E(
,0, )、F(0,, )
∴
，从而∠EOF
=. …………………6分
 |
⑵ 解法一：如图1，取BC中点P,连接AP交MN与Q,则易证，∠POQ就是所求二面角的平面角。
在三角形OPQ中，OP=,PQ=OQ=AP=
,可解得cos∠POQ=
，
∴∠POQ=arcos（=arctan
）.
……………………………12分
解法二：如图2，补形成正方体去解决.
解法三：如图3，建立空间直角坐标系去求解。
20、（本题满分12分）
解：（Ⅰ）因为点
都在函数的图象上
所以
当
时，
……………………………………………2分
当
时，
（*） ……………3分
令，
，也满足（*）式
所以，数列的通项公式是
． …………………………………4分
（Ⅱ）由求导可得
∵ 过点的切线的斜率为
∴ 
…………………………………………………………5分
又∵
∴
……………………………6分
∴ 
① 由①
可得
②
①-②可得
∴ 
……………………………………………………8分
（Ⅲ）∵
，
∴
--------------------------- 10分
又∵
，其中是
中的最小数，
∴
，
---------------------------
11分
∴ 
(
的公差是4 的倍数!)
又∵
∴
解得
∴
………………………………………………………………………10分
设等差数列
的公差为
则
∴ 
所以，的通项公式为
． ……………………………12分
21、（本题满分12分）
（1）证明：由抛物线定义知
，（2分）
，可得PQ所在直线方程为x0x=2(y+y0)， ………………………4分
得Q点坐标为(0, -y0)，∴
，∴ PF=QF，∴△PFQ为等腰三角形。 …6分
（2）设A(x1, y1)，B(x2,
y2)，又M点坐标为(0, y0)， ∴AB方程为
，
由
得
……①
由
得：
， ∴
……②
由①②知
，得
，由x0≠0可得x2≠0，
∴
，又
，解得：
． ………………………………12分
22、（本小题满分14分）
（1）∵
，配方得
，
由
得最大值
。……………………………………………3分
∴
，
。 …………………………5分
（2）要使
，
。可以使
①
中有3个元素，
中有2个元素， 
中有1个元素。
则
。 …………………………………………………………………8分
②中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。
则
……………………………………………………………………10分
（3）由（2）知
…………………………11分
……………………………………………14分