高考理科数学模拟试题( 理 科 2 )
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）．
1. 若集合
，
，则“
”是“
”的 （ A
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2. 
，且
，则向量
与
的夹角为
( C )
A．
B．
C．
D．
3. 一个与球心距离为
的平面截球所得圆的面积为
，则球的表面积为 （ B
）
A．
B．
C．
D．
4. 设变量
，
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为 （ B
）
A．
B．
C．
D．
5. 已知△ABC的周长为9，且
，则cosC的值为 （ A ）
A．
B．
C．
D．
6. 已知直线
是函数
图象的一条对称轴，则函数
图象的一条对称轴方程是 （ B
）
A．
B．
C．
D．
7．若
的方差为3，则
的标准差为 ( B
)
A．12
B．
C．16
D．4
| 8 | 3 | 4 |
| 1 | 5 | 9 |
| 6 | 7 | 2 |
8. 将
个正整数
填入
方格中，使其每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫做
阶幻方.记
为阶幻方对角线上数的和，如右图就是一个阶幻方，可知
.已知将等差数列：
前
项填入
方格中,可得到一个阶幻方,则其对角线上数的和等于 （ C
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
必做题: 以下四题为必做题.
9．程序框图（如图）的运算结果为 。
10．
展开式中的常数项是
。
11. 定义在R上的偶函数
的x的范围为
。
12. 以下四个关于圆锥曲线的命题中
①过圆内一点（非圆心）作圆的动弦
，则中点的轨迹为椭圆；
②设
、
为两个定点，若
，则动点
的轨迹为双曲线的一支；
③方程
的两个根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④无论方程
表示的是椭圆还是双曲线，它们都有相同的焦点。
其中真命题的序号为 . （写出所有真命题的序号）.
选做题: 从以下三题中选做两题，如三题都做，按前两题的得分记分.
13.自极点O向直线l作垂线，垂足是H(
)，则直线l的极坐标方程为 。
14. 若不等式x-2+x+3<
的解集为Æ,则的取值范围为_____________。
 |
15. 如图，⊙O和⊙
都经过A、B两点，AC是⊙
的切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙于
点D，若BC= 2，BD=6，则AB的长为 。
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
16．（本小题满分12分）
已知
，且
对任意实数x恒成立.
（Ⅰ）求
的值；
| |
的单调增区间.
17．（本小题满分12分）
有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组成.
| 第一排 | 明文字符 | A | B | C | D |
| 密码字符 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
| 第二排 | 明文字符 | E | F | G | H |
| 密码字符 | 21 | 22 | 23 | 24 | |
| 第三排 | 明文字符 | M | N | P | Q |
| 密码字符 | 1 | 2 | 3 | 4 |
设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数.
（Ⅰ）求P（ξ=2）
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和它的数学期望.
18．（本题满分14分）
如图：
平面
，四边形是矩形，
，
与平面所成的角是
，点
是
的中点，点
在边
上移动.
（1）当点为的中点时，试判断
与平面
的位置关系，并说明理由；
（2）证明：不论点在边上何处，都有
；
（3）
等于何值时，二面角
的大小为
.
19．（本小题满分14分）
设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x＝1处取得极值－2，试用c表示a和b，并求f(x)的单调区间。
20．（本小题满分14分）
|
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若轨迹上的点P与同一平面上的点G、M分别满足
，
求以P、G、D为项点的三角形的面积.
21．（本小题满分14分）
设无穷数列{an}具有以下性质：①a1=1；②当
（Ⅰ）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式
对于任意的
都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）；
（Ⅱ）若
，其中
，且记数列{bn}的前n项和Bn，证明：
数 学 试 题 ( 理 科 2 )参考答案
一．选择题 A C B B A B B C
二．填空题 
； 
； 
； ③④； 
； 
； 
。
三．解答题
16．解：（Ⅰ）
……………2分
由题意知
对任意实数x恒成立，
得
，
………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由
，解得
所以，的单调增区间为
……………………12分
17．解：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码.
…………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形.
若ξ= 3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4. 
若
（或用
求得）. ………………………………………………8分
的分布列为：
| ξ | 2 | 3 | 4 |
| p |
|
|
|
………………………………………………12分
18．证明：（1）当点为的中点时，与平面平行.
∵在
中，、分别为、的中点
∴∥
又
平面，而
平面
∴∥平面.
……………………4分
（2）证明（略证）：易证
平面
，又是
在平面内的射影，
，∴
.
……………………8分
(3)∵与平面所成的角是，∴
，
，
.
过作
于
，连
，则
. …………………10分
易知：
，
，设
，则
，
，
在
中，
，
得
.
………14分
解法二:（向量法）（1）同解法一
（2）建立图示空间直角坐标系，则
，
，
，
.
设，则
，
∴ （本小题4分）
（3）设平面
的法向量为
，由
，
得：
，依题意
，
∴
，得.
（本小题6分）
19．解：依题意有
而
故
得
从而
。
令
，得
或
。
由于
在处取得极值，故
，即
。
（1） 若
，即
，则当
时，
；
当
时，
；当
时，；
从而的单调增区间为
；单调减区间为
（2） 若
，即
，同上可得，
的单调增区间为
；单调减区间为
20．解：（Ⅰ）
∴点P的轨迹是D为焦点，l为相应准线的椭圆.
由
以CD所在直线为x轴，以CD与⊙D的另一个交点O为坐标原点建立直角坐标系.
∴所求点P的轨迹方程为
………………………………………………6分
（说明：其它建系方式相应给分）
（Ⅱ）
G为椭圆的左焦点.
又
由题意，
（否则P、G、M、D四点共线与已经矛盾）
又∵点P在椭圆上， 
又
……………………………………………………14分
21．解：（Ⅰ）令
，
则无穷数列{an}可由a1 =
1，
给出.
显然，该数列满足
，且
……………………6分
（Ⅱ）
………………………………………………8分
又
…………………………………………………………………14分