高考理科数学模拟试题(理科4)
一、选择题：本大题共8小题，每小题５分，共40分。
1．定义运算
，则符合条件
的复数z为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知点P
在圆C: 
上, 点P关于直线
的对称点也在圆C上,则实数
，
的值为 ( ) .
A. 
B. 
C. 
D. 
3．设
使得
是
的必要但不充分条件的实数的取值范围是 （ ）
A. 
B.
C.
D.
4．若
的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中含x的整数次幂的项共有（ ）
A．2项 B．3项 C．5项 D．6项
5．设函数
.若将的图象沿x轴向右平移
个单位长度，得到的图象经过坐标原点;若将的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变）, 得到的图象经过点
. 则 （ ）
A．
B．
C． 
D． 适合条件的
不存在
6．空间四条直线a，b，c，d，满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥a，则必有 ( )
A．a⊥c B．b⊥d C．b∥d 或a∥c D．b∥d 且a∥c
7．若关于
的不等式
≤
＋4的解集是M，则对任意实数
，总有（ ）
A. 2∈M，0∈M B. 2
M，0M
C. 2∈M，0M D. 2M，0∈M．
8．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数成等比数列，设视力在4.6到
之间的学生数为
最大频率为，则a, b的值分别为（ ）
A．77, 0.53 B．70, 0.32
C．77, 5.3 D．70, 3.2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
必做题:
9.. 如下图1，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为__________.
10．如下图2，是计算
的程序框图，判断框应填的内容是___________,处理框应填的内容是____________.
11. 在坐标平面上，不等式组
所表示的平面区域的周长为
.
12．已知函数
(
)，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－2.1]=－3，[－3]=－3，[2.5]=2.定义
是函数
的值域中的元素个数，数列
的前n项和为
，则满足
的最大正整数n= .
选做题:
13. 已知
(其中
且
的最大值是7,则
.
14．将极坐标方程
化为直角坐标方程是______________.
15．如下图3，⊙
和⊙O相交于
和
， 
切⊙O于
，交⊙于
和
，交
的延长线于
，
＝
,
＝15，则 
＝__________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）在ΔＡＢＣ中，
⑴求AB边的长度;
⑵求 
的值．
17．（本小题满分12分）某智力测试有5道试题。假定任何智力正常的人答对每道题的概率都是
.
⑴求智力正常的人将这5道试题都答错了的概率及至少答对了的4道试题的概率；
⑵如果甲将这5道试题都答错了,乙答对了的4道试题, 答错了1道试题。能否判定甲的智力低于正常水平，乙的智力高于正常水平。请运用所学概率知识表达你的观点。
18．（本题满分14分）如图，已知正三棱柱
中，
，
，三棱锥
中，
，且
。
（1）求证：
；
（2）求二面角
的大小的正切值；
（3）求点到平面
的距离。
19.（本题满分14分）已知数列
中，
, 
.数列满足:
(Ⅰ)求证: 
； (Ⅱ) 求数列的通项公式;
(Ⅲ) 当n为偶数时，求证：
.
20. （本题满分14分）设椭圆
：
的左、右焦点分别为
，已知椭圆上的任意一点，满足
，过
作垂直于椭圆长轴的弦长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过的直线交椭圆于
两点，求
的取值范围．
21．（本题满分14分）已知函数
，
．
（Ⅰ）当
时，若在
上单调递增，求的取值范围；
（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对
：当是整数时，存在
，使得
是的最大值，
是
的最小值；
（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对，试构造一个定义在
，且
上的函数
，使当
时，
，当
时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列．
数学试题(理科4)参考答案
1～8: C B A B A C A B
9. 
; 10. 
,
; 11. 
; 12. 9; 13. 9; 14. 
; 15. 
16.解:（１）
∴
即AB边的长度为2.
…………… …………5分
（２）由已知及（１）有:
∴
……………8分
由正弦定理得: 
……………10分
∴=
…………12分
17.解:⑴智力正常的人将这5道试题都答错了的概率
为
……………3分
答对了的4道试题的概率为
答对了的5道试题的概率为
∴智力正常的人答对了的4道试题以上的概率为
…7分
⑵智力正常的人将这5道试题都答错了的概率
因而不能判定甲的智力低于正常水平
……9分
智力正常的人答对了的4道试题以上的概率
.根据小概率事件在一次试验中几乎不发生的原理知,假设乙的智力在正常水平, 答对了的4道试题的情况几乎不发生.从而可以认定乙的智力高于正常水平。
…………12分
18.解法一：
（1）在
中，，，
∴
，取
中点
，
， 
，
在
中，
，
，又
均为锐角，∴
， ---------------2分
，又
外， 
. ---------------4分
（２）∵平面
平面
，∴
，过作
于，连结
，
则
， 
为二面角
的平面角， ------------------------6分
易知
=
，∴
， ------------------------9分
（３）
，
点到平面的距离，就是到平面的距离， --------11分
过作
于
，则
，
的长度即为所求， 由上
（或用等体积
求）----------------------------------14分
解法二：建立图示空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
.
（1）
（2）利用
，其中
分别为两个半平面的法向量..
（3）利用
，其中
为平面的法向量。
19. (Ⅰ)证明: 
………... 3分
(Ⅱ)
∴ 
……………………….………..5分
又 
∴ 
为等比数列………………………………………….6分
∴ 
∴ 
……………………………………………………8分
(Ⅲ)
∴ 
…………………. 10分
当n为偶数时，
…14分
20. 解：（1）设点
，则
，
，
，又
，
，∴椭圆的方程为：
（2）当过直线的斜率不存在时，点
，则
；
当过直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为
，
设
, 由
得：
综合以上情形，得：
21. 解：（Ⅰ）当时，
，
若
，
，则在上单调递减，不符题意．
故
，要使在上单调递增，必须满足
，∴
．
（Ⅱ）若，
，则无最大值，故，∴为二次函数．
要使有最大值，必须满足
即
，且
．
此时，
时，有最大值．
又取最小值时，
，依题意，有
，
则
．
∵，且，∴
，得
，此时
或
．
∴满足条件的实数对是
．
（Ⅲ）当实数对是时，
．
依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可．
如对
，
，
此时，
，
故
．