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高考数学考前指导练习（小题）

高考数学“小题”是指选择题、填空题，属于客观性试题。一方面具有题小、量大、基础、灵活、答案唯一（开放型填空题除外）等特点；另一方面具有比较明显的学科特点，即概念性强，量化突出，充满思辨性，形数兼备，解法多样化；是考查知识掌握程度和区分考生的能力层次、思维品质的重要题型，其分值约占全卷分值的53%（选择题33%，填空题20%）。用简缩的思维，快速、准确、灵活地得知结果，是每个考生希望达到的境界。

解题的基本原则：小题不能大做，消除隐形失分。

解题的基本策略：要充分利用题设和选项(或所求)提供的信息作出科学的判断，讲究“巧”字。

解题的基本方法：1.代入验证（见好就收）；2.特殊化方法（特殊值、特殊函数、特殊数列、特殊角、图形的特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型）；3.排除法（筛选法、特殊值排除法）；4.数形结合法（图解法）；5.推理分析法（特征分析、逻辑分析）；6.估算、列举、归纳法；7.联想、类比、构造法；8.直接法。……

现结合实例加以说明。

一、小题不能大做，消除隐形失分

【例1】原市话资费为每3分钟0.18元，现调整为前3分钟资费为0.22元，超过3分钟的，每分钟按0.11元计算，与调整前相比，一次通话提价的百分率（　　）

A．不会提高70%　　　　　 B．会高于70%，但不会高于90%

C．不会低于10%　　　　　 D．高于30%，但低于100%

〖小题大做〗设一次通话时间为x分钟，调整前话费为S₁元，调整后话费为S₂元，提价的百分率为y，则y ＝ ·100%，列表如下（时间包尾计算）：

x范围　 (n∈N_＋)	S₁	S₂	y
x∈	0.18	0.22	22.2%
x∈	0.18n＋0.18	0.22＋0.11[(3n＋1)－3]＝0.33n	·100%
x∈	0.18n＋0.18	0.22＋0.11[(3n＋2)－3]＝0.33n＋0.11	·100%
x∈	0.18n＋0.18	0.22＋0.11[(3n＋3)－3]＝0.33n＋0.22	·100%

根据表中计算结果：y ＜ ·100%≈83.3%，取n＝1，对应于y ＝－8.3%、22.2%、50.8%，故排除A、C、D，选B。

〖小结〗这里运用了分类讨论和表格，进行建模、计算、排除，若是一道解答题，这样做是再好不过，遗憾的是选择题，那如何“巧”做呢？！

〖特殊值法〗取x＝4，y＝·100%≈－8.3%，排除C、D；取x＝30，

y ＝ ·100%≈77.2%，排除A，从而选B。

『类题1』设＝， p ＝ (x₁－)²＋ (x₂－)²＋…＋ (x_n－)²，

q ＝ (x₁－a)²＋ (x₂－a)²＋…＋ (x_n－a)²，若 ≠a，则一定有（　　）

A．p＞q　　　　B．p＝q　　　　C．p＜q　　　　D．与a的值有关

特殊化，n ＝1，p ＝0，q ＞0，选C，此为方差最小原理，如何证明？

『类题2』在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则　　　　　　

法一：取a＝3, b＝4, c＝5 ,则cosA＝cosC＝0,

法二：取A＝B＝C＝60⁰　cosA＝cosC＝,

『类题3』过抛物线y＝ax²(a＞0) 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q 两点，如果线段PF与FQ的长分别是p、q，则

A、2a　　　B、　　　C、4a　　　　 D、

法一：取特殊情况，PQ∥x轴,,选C

法二: 取特殊情况，PQ∥y轴,, 选C

【例2】以双曲线的左焦点F，左准线l为相应的焦点和准线的椭圆截直线y＝kx＋3所得的弦恰好被x轴平分，则k的取值范围是　　　　　　　。

〖小题大做〗F（－2，0），l：x ＝－，可设椭圆（a＞b＞0），与直线y＝kx＋3联立，消去y得：(b²＋a²k²)x²－2(b²x₀－3a²k)x＋9a²－a²b²＝ 0，△＞0时得＝，又直线y＝kx＋3与x轴交于点（－，0），据题设知：－＝，解得x₀＝－，而椭圆中心O₁（x₀，0）在右焦点F的左侧，∴x₀＝－＜－2，解得0＜k＜。

〖小结〗若简缩思维，抓住问题的本质：直线与x轴的交点——弦的中点——椭圆的中心（为什么？），你有哪些科学的解法？

〖解法一〗（特征分析法）：F（－2，0），

l：x ＝－，根据椭圆的对称性知椭圆中心

O₁（－，0），又－＜－2，得0 ＜ k ＜。

〖解法二〗作出椭圆（草图），注意到直线y＝kx＋3过定点M（0，3）及椭圆中心O₁，

知k_OM＝k∈（0，）。

『类题1』设球的半径为R,　P、Q是球面上北纬60⁰圈上的两点，这两点在纬度圈上的劣弧的长是，则这两点的球面距离是（　）

A、　　　　 B、　　　　C、　　　D、

分析：纬线弧长＞球面距离＞直线距离，排除A、B、D，选C

『类题2』sin²18⁰＋sin²54⁰＝　(　 )

A、1　　　　　　 B、　　　　　　 C、　　　　　　 D、

分析：，选B

『类题3』，记数列{a_n}的前n项和为S_n，则使得S_n＞0的最小正整数n的值是（　）

A、10　　　　 B、11　　　　 C、12　　　　 D、5

分析：的图象关于点（5.5，0）对称，S₁₀＝0，选B

二、读懂题目，审清题意

一方面，审题是“快、准、活”解题的基础和前提；另一方面，阅读、理解能力是数学能力的重要部分，高考考查的力度逐年加大。

【例3】根据图形的性质，写出一个重要不等式（化简后）　　　　　　　　　。

错误答案	出错原因
f () ＞	没有看到y＝
＞	没有看到括号中“化简后”
≥	没有看出图中“b＞a＞0”
a²＋b²＞ 2ab (a、b∈R)	没有看出a、b∈R^＋
( a–b )²＞ 0	化简过头，及忘记“重要”二字
小结：出错的根本原因在于“读题”，对图形提供的信息和题目的要求没有全面、仔细、深刻地理解。

『类题1』已知集合A＝{直线}，集合B＝{圆}，则A∩B中元素个数是（　）

A、0　　　　　 B、1　　　　　 C、2　　　　　 D、0或1或2

误选D，错因：以为研究“位置关系”，没悟出A∩B＝，应选A

『类题2』已知样本均值＝ 5，样本方差S²＝100，若将所有的样本观察值都乘以后，则新的样本均值和样本标准差S′分别为（　）

A．1，4　　　　B．1，2　　　　C．5，4　　　　D．25，2

答案B。分别说出误选A、C、D的原因。

『类题3』若e₃＝x e₁＋y e₂且e₁， e₂不共线，则称（x，y）是e₃以e₁， e₂为基底的坐标，在直角坐标系中，e₁＝（1，0）， e₂＝（，）， e₃＝（，），则e₃以e₁， e₂为基底的坐标为e₃＝ e₁＋ e₂ ．（错解）

『类题4』已知定点A（1，1）和直线l：x＋y－2＝0，则到定点A的距离与到定直线l的距离相等的点的轨迹是（　　）

A．椭圆　　　B．双曲线　　　C．抛物线　　　D．直线

（错解：选C，错因：不知道隐含条件“A∈l”）

『类题5』定义nk = ia_k＝ a_i＋ a_i_＋1 ＋ a_i_＋2 ＋…＋ a_n ，其中i、n∈N_＋，且i≤n，若f (x) ＝ 2003k = 0(－1)^k(3－x)^k ＝ 2003i = 0 a_i x²⁰⁰³^－
i，则2003k = 1a_k的值为（　　）

A．2　　　　B．0　　　　C．－1 　　　 D．－2

三、合理选择解法，力求巧做

【例4】如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF与面AC的距离是2，且EF＝，则该多面体的体积为（　　）

A．　　B．5　　　C．6　　　D．

〖方法1〗（分割法＋特殊化）：V＝V_E_—AMND＋V_EMN_—FBC＝…＝；

〖方法2〗（补形法＋特殊化）：V＝V_GAD_—FBC－V_E_—ADG＝…＝；

〖方法3〗（放缩法）：V＞V_E_—ABCD＝ ·2·3²＝ 6，故选D。

『类题1』函数f (x) ＝ Msin(ωx＋φ)　(ω＞0) 在区间 [a，b] 上是增函数，且f (a) ＝－M，f (b) ＝ M，则函数g (x) ＝ Mcos (ωx＋φ)在区间 [a，b] 上（　　）

A．是增函数　　B．是减函数　　C．可以取得最大值M　　D．可以取得最小值－M

〖方法1〗（换元法）：令t＝ωx＋φ，x∈[a，b]，设t∈[－π/2，π/2]即可排除A、B、D，选C；

〖方法2〗（特殊化）：取M＝ω＝1，φ＝0，且a ＝－π/2，b ＝π/2，满足题设；

〖方法3〗（特殊化＋图解）：作出f (x) ＝sinx、g (x) ＝ cos x　x∈[－π/2，π/2] 即知；

〖方法4〗（分析法）：　由题设可知 [f (x)]²＋ [ g (x)]²＝ M²，且f (a) ＝－M，f (b) ＝ M，

得g (a) ＝ g (b) ＝ 0，排除A、B，又f (x)在 [a，b] 上递增，从而g(x)≥0，排除D，故选C。

〖小结〗多种手段协同作战，如虎添翼，巧夺天工。

『类题2』椭圆的焦点F₁、F₂，点P是椭圆上动点，当∠F₁PF₂为钝角时，点P的横坐标的取值范围是　　　　　　　　　 .

〖方法1〗用焦半径公式，PF₁ ＝3 ＋ x₀，PF₂ ＝3 － x₀，代入 PF₁²＋ PF₂²＜ F₁F₂²得x₀²＜，从而x₀∈（－，）；

〖方法2〗用焦半径公式＋特殊化，PF₁ ＝3 ＋ x₀，PF₂ ＝3 － x₀，代入 PF₁²＋ PF₂²＝ F₁F₂²得x₀²＝，从而x_P∈（－，）；

〖方法3〗用焦半径公式＋椭圆定义，PF₁²＋ PF₂²＜20(PF₁＋ PF₂)²＜20 ＋2PF₁·PF₂ PF₁·PF₂ ＝ 9 － x₀²＞8 x₀²＜ x₀∈（－，）；

〖方法4〗构造圆x²＋y²＝5，与椭圆联立求得交点x₀²＝ x₀∈（－，）；

〖方法5〗特殊化＋椭圆定义＋面积公式，20＝PF₁²＋ PF₂²＝(PF₁＋ PF₂)²－2PF₁·PF₂，　　　　　 S_△＝ PF₁·PF₂＝ ·y，代入上式得y ＝，

代入椭圆方程得x²＝ x₀∈（－，）；

〖方法6〗参数法，设P（3cosθ，2sinθ），代入 PF₁²＋ PF₂²＜ F₁F₂²得 cos²θ＜，得x₀＝ 3 cosθ∈（－，）；

『开放（Ⅰ）』椭圆的焦点F₁、F₂，点P为椭圆上动点，连结PF₁、PF₂，试尽可能多地写出一些正确的论断：　　　　　　　　　　　　　　

（1）a ＝3，b ＝2，c ＝，e ＝，p ＝；（2）焦点(±，0)，准线x ＝±；

（3）PF₁＋ PF₂＝ 6；　　　　　　　　　　　　（4）P（x₀，y₀）；

（5）PF₁ ＝＝ 3 ＋ x₀，PF₂ ＝＝ 3 － x₀；

（6）cos∠F₁PF₂＝－1；　　　　　　　　　　　（7）S_△＝ b²·tan；

（8）PF₁⊥x轴 PF₁ ＝；　　　　　　　　　（9）S_椭圆＝πab；

（10）a －c≤ PF≤a＋c且b²≤ PF₁＋ PF₂≤a²；

『开放（Ⅱ）』椭圆的焦点F₁、F₂，点P为椭圆上动点，当∠F₁PF₂＝90°时，写出三个相应的正确结论　　　　　　　　　　　　　　　　 .

（11）P（，±）或（－，±）；　　　（12） PF₁ ＝2或4；

（13）P点到两焦点的距离之比为2：1；　　　　（14）P点到两准线的距离之比为2：1；

（15）P点到原点的距离为；　　　　　　　　（16）S_△F_1PF₂＝ 4；

『开放（Ⅲ）』在（Ⅰ）的条件下，当P点在何处时，提出问题：

（17）S_△F_1PF₂最大；　　　　　　　　　　　　　（18）∠F₁PF₂最大；

（19） PF₁· PF₂ 最大？最小？　　　　　　　（20）∠F₁PF₂为直角？锐角？钝角？

（21）S_△＜4；

四、运用数学思想方法解题

【例5】设函数 f(x)＝x³＋ax²＋2bx＋c．若当 x∈（0，1）时，f(x)取得极大值；x∈（1，2）时，f(x)取得极小值，则的取值范围是　　　　　　　　．

提示：f´(x)＝ x²＋ax＋2b，令f´(x)＝0，由条件知，上述方程应满足：一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，∴ ，得，在aob坐标系中，作出上述区域如图所示，而的几何意义是过两点P(a，b)与A(1，2)的直线斜率，而P(a，b)在区域内，由图易知k_PA∈（，1）．

『类题1』α是△ABC的内角，若sinα＋cosα＝－，则tanα的值是（　　）

A．－　　　　B．－　　　　C．　　　　D．　　　　

方程思想：

〖方法1〗＝－（＋ cosα）（＞0） 1 － cos²α＝（＋ cosα）²

cosα＝－（舍正），sinα＝，tanα＝－；

〖方法2〗(sinα＋cosα)²＝ sinαcosα＝－，构造方程 x²＋ x－＝ 0

sinα＝，cosα＝－；

〖方法3〗令tan ＝ t，则＋＝－ (万能公式)，解得t ＝3 (舍负)，

tanα＝＝－；

函数思想：

〖方法4〗sinα＋cosα＝－＜α＜π，又y ＝ tanα增－1＜tanα＜0，故选B；

〖方法5〗已知sinα＝－（＋ cosα） tanα＝－（1 ＋）

且－1＜cosα＜－－＜ tanα＜0 ，选B；

数形结合思想：

〖方法6〗构造如图的三角形，对照题设知sinα＝，cosα＝－；

〖方法7〗观察研究 sinα＋cosα＝－知0＜ sinα＜－ cosα＜1，

只能选B。

『类题2』设P是曲线 y＝x³－x＋上任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是　　　　　　　　　．[0，）∪[，π）

『类题3』若曲线y ＝与y ＝ x＋2有且仅有一个公共点P，O为坐标原点，则OP²的取值范围是　　　.

『类题4』已知双曲线上一点M到右焦点F的距离为11，N是MF的中点，O为坐标原点，则ON等于（　　）

A．　　 B．　　 C．　　 D．或

〖提示〗数形结合，a＝5，c＝7，MF＝11＜a＋c，M只能在右支上，N、O分别是MF、FF₁的中点，结合图形，联想到中位线及双曲线定义知 ON ＝，选B。

『类题5』已知平面上直线 l 的方向向量 e ＝（－，），点O（0，0）和A（1，－2）在 l 上的射影分别是 O´ 和 A´，且＝λe，其中λ等于　（　D　）

A．　　　　　　　　　 B．－　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　 D．－2

『类题6』某厂2002年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1月份投入资金恰好与该月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月份投入建设资金又恰好与12月份的生产利润相同，则全年的总利润W与全年总投入建设资金N的大小关系是　　　　　　　　　　　 .

〖分析〗利润逐月算术增长（等差），对应于一次函数；投入逐月几何增长（等比），对应于指数函数。作出图象便知。

【例6】至2008年奥运会时，北京市区居民生活将全部用上清洁能源，居民电力消费比例由2002年的13%提高到25%，那么电力消费比例年平均增长率大约为（　　）

A．2%　　　　 B．15.4‰　　　　C．15.4%　　　　D．11.9%

〖提示〗∵(1＋x)⁶＝＝＜2 (凑整)，又 (1＋x)⁶＞1＋6x＋15x²（适当放缩），

∴15x²＋6x –1＜0，对应方程的根为x＝（舍负），而2%＜＜＜＜15%，

∴必选D。

月　份	4	5	6
用水量(m³)	8	12	14
水费(元)	8	14	18

『类题1』某市用水的收费方法是：水费＝基本费＋超额费，若每月用水量不超过最低量a米³时，只付基本费用c元，若用水量超过a米³时，除了付c元外，超过部分按b元/米³，该市某用户一个季度的用水量和支付费用如下表，则最低限量为（　　）

A．7m³　　 B．8m³　　 C．9m³　　 D．10m³　

〖提示〗假设4月份用水量超过a m³，则

无解，得c＝8，b＝2，a＝9，故选C。

『类题2』某招呼站，每天均有三辆开往省城南京的分为上、中、下等级的客车。某天袁先生准备在该招呼站乘车前往南京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车的顺序。为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆好则上第二辆，否则上第三辆。那么他乘上上等车的概率为　　 0.5　　　.

〖解〗（列举法）

方　式	1	2	3	4	5	6
第1辆	上	上	中	中	下	下
第2辆	中	下	上	下	上	中
第3辆	下	中	下	上	中	上
实际乘车	下	中	上	上	上	中

概率P ＝＝0.5

『类题3』如图所示是一个的5×4×4的长方体，上面有2×1×4、2×1×5、3×1×4穿透的三个洞，那么剩下部分的体积是（　　）

A．50　　　B．54　　　C．56　　　D．58

〖解〗V＝80－(8＋10＋12)＋(2＋3＋2)－1＝56，选C。

【例7】用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，……，依次类推，每一层都用去了上层剩下砖块的一半多一块，如果到第九层恰好砖块用完，那么共用了　　 1022　　　块砖。

〖方法一〗（递推归纳）：第n层砌好后剩下a_n块砖，则共有a₀块砖，且a ₉＝0，a₁＝a₀－1，a₂＝a₁－1＝a₀－－1，a₃＝a₂－1＝a₀－－－1，……，

a₉＝a₀－ (＋＋…＋＋1)＝0 ，a₀＝2(1－)，得a₀＝2¹⁰－2 ＝1022；

〖方法二〗（分析列举）：设第8层砌好后剩下x块，则x不可能为奇数，x只能为偶数且x＝2，如果x是大于4的偶数，那还得继续砌下去。进行递推如下表：

层　数	9	8	7	6	5	4	3	2	1
用去砖块	2	4	8	16	32	64	128	256	512
剩下砖块	0	2	6	14	30	62	126	254	510

由表可知共有砖块512＋510＝1022块；

〖方法三〗（借一还一）：设第n层用砖a_n块，借一块砖砌第10层，a₁₀＝1，便知a₁＝2a₂＝2²a₃＝…＝2⁹a₁₀＝2⁹，S ＝ a₁＋ a₂＋…＋ a₉＝2⁹＋2⁸＋…＋2 ＝ 2 (2⁹－1)＝1022（借的不算，为什么只借一块？）；

『类题1』 ABCD—A₁B₁C₁D₁是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱爬行，每走完一条棱称为“走完一段”。白蚂蚁爬行的路线是AA₁→A₁D₁→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB₁→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i＋2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i∈N_＋），设两蚂蚁都走完第2003段后分别停在正方体的一个顶点处，则黑白蚂蚁的距离是（　　）

A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D．0

〖提示〗归纳T＝ 6，f (2003) ＝ f (5) ，选B。

『类题2』 5只猴子分1堆苹果，第一只猴子把苹果平均分成5堆，还多1个，把多的1个扔掉取走其中1堆；第二只猴子把剩下的苹果平均分成5堆也多1个，把多的1个扔掉也取走1堆；以后每只猴子都如此办理，则最后1只猴子所得的苹果的最小值是（　　）

A．1　　　　B．624　　　　C．255　　　　D．625

〖解〗设第n只猴子取走a_n个苹果，则4a_n＝ 5 a_n_＋1 ＋1　

a_n_＋1 ＋1 ＝ ( a_n ＋1)　　a_n_＋1 ＋1 ＝ ()ⁿ^－1( a₁ ＋1)，

a₅ ＝ ()⁴( a₁ ＋1) –1，又a₅∈N_＋，∴a₅≥4⁴–1 ＝ 255，选C。

五、关注“创新”题型

【例8】已知函数y＝f (x)（x∈D），若对于任意的x₁∈D，当f (x₁)≠C时，存在唯一的x₂∈D，且x₁≠x₂，使＝ C（C为常数），则称函数y＝f (x)在D上的均值为C。试写出一个均值为0的函数　　　　　　　　 .

〖分析〗f (x₁)＋ f (x₂) ＝ 0，联想点的对称性，且特殊化奇函数f (x)≠0均可。

『类题1』如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m²）与时间t（月）的关系：y＝a ^t，有以下叙述：（1）这个指数函数的底数为2；（2）第5个月时，浮萍面积就会超过30 m²；（3）浮萍从4 m²蔓延到12 m²需要经过1.5个月；（4）浮萍每月增加的面积都相等；（5）若浮萍蔓延到2 m²、3 m²、6 m²所经过的时间分别是t₁、t₂、t₃，则t₁＋ t₂＝ t₃；其中正确的是（　　）

A．（1）（2）　　　　　　　B．（1）（2）（3）（4）　　

C．（2）（3）（4）（5）　　　 D．（1）（2）（5）

『类题2』将三棱锥P—ABC（如图甲），沿三条侧棱剪开后，展开成如图乙的形状，其中P₁、B、P₂共线，P₂、C、P₃共线，且P₁P₂＝ P₂P₃，则在三棱锥P—ABC中，PA与BC所成的角是（　　）

A．30°　　　B．45°　　

C．60°　　　D．90°　　

『类题3』已知四个面都是直角三角形的三棱锥，其中三个面展开后构成一个直角梯形ABCD，如图AD⊥AB，AD⊥DC，AB＝1，BC＝，CD＝2，则这个三棱锥的外接球的表面积是　　（结果可含π）

『类题4』如图是一个直径为8米的水轮，水轮圆心距水面2米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上的点P相对于水面的高度y（米）与时间x（秒）满足函数关系y ＝ Asin(ωx＋φ)＋h (x＝0时，P点位于P₀处)，则有 ①A＝4; ②;③ ; ④h＝2 .其中所有正确结论的序号为　　　　　　　

『类题5』在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB²＋AC²＝BC²”，拓展到空间，类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则　　　　　　　　　　　．”（S_△ABC²＋ S_△ACD²＋ S_△ADB²＝ S_△BCD²）

『类题6』某班有男、女生各20人，在一次数学测验中，男生的成绩统计分析得均分为95，标准差为6；女生成绩统计分析得均分为85，标准差为4．则全班统计分析得均分和标准差分别为　　　　　　　　　　　　　　　．（90；）

『类题7』在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰好比赛一场，但有3名选手各自比赛了2场就退了下来，这样，全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛的场数是（　B　）

A．0　　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　 D．3

『类题8』：（上海卷2004年第16题）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：

行业名称	计算机	机械	营销	物流	贸易
应聘人数	215830	200250	154676	74570	65280
行业名称	计算机	营销	机械	建筑	化工
招聘人数	124620	102935	89115	76516	70436