直线方程
一. 教学内容：
直线方程
［知识点］
1. 直线方程两点式：
方程？
解：
注意：（1）特殊情况：x＝x1或y＝y1不能用两点式表示，即与x轴平行或与x轴垂直的直线不能用两点式表示，故平面上的直线与两点式方程不是一一对应。
（2）两点式变形形式：（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1）
此方程与平面上的直线一一对应。
2. 直线方程的截距式：
公式推导：已知直线与x轴交于A（0，a）与y轴交于B（b，0），其中（a≠0，b≠0）求直线l的方程。
注意：（1）特殊情况：当a＝0或b＝0时不能用上式，即过原点或与x轴平行或与y轴平行的直线不能用截距式。
（2）截距式是两点式的特殊情况。
3. 直线方程的一般式：
适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可由一般式表示出来。
4. 关于直线方程形式间的互化方法。
【典型例题】
例1. 已知直线过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l的方程。
解：
例2. 如图，已知直线l经过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B。
（1）求三角形AOB面积的最小值及此时直线l的方程。
（2）求直线l在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线的方程。
解：（1）法一：设A（0，a），B（b，0）（a＞0，b＞0）
法二：
法三：
∵a为实数，∴△≥0
法四：过P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN（M、N为垂足），并设θ＝∠PAM＝∠BPN
（2）法一：
法二：
例3. 已知直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是-3和4，求m，n的值。
分析：（1）将直线方程化成截距式后（或直接）求出直线在两轴上的截距、解关于m，n的方程组。（2）由已知条件，直线经过点A（-3，0）、B（0，4），由此得m，n的方程组，解之即可。
解法1：由截距意义知，直线经过A（-3，0）和B（0，4）两点，因此有
解法2：将方程mx＋ny＋12＝0化为截距式，得：
例4. 
解析：
例5. 
距离相等。
分析：（1）设P（x，y），则有y＝3x＋1，故点P的坐标为（x，3x＋1），由距离公式得x的方程，解得x＝0。
（2）设P（x，y），求出两点（1，-1），（2，0）的中垂线方程为x＋y－1＝0，再解方程组得P（0，1）。
解法1：设P（x，y），则有y＝3x＋1
故点P的坐标为（x，3x＋1）
解之得：x＝0
∴所求的点为P（0，1）
解法2：设P（x，y），两点（1，-1），（2，0）所连线段的中垂线方程为：
解由<1>、<2>组成的方程组得：P（0，1）
例6. 
（1）证明直线l过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线l的方程；
（3）若直线不经过第四象限，求k的取值范围。
分析：（1）证直线系过定点，可用分离参数法。
（2）求△AOB面积S的最小值，应先求出目标函数S＝f(k)，再根据目标函数的结构特征选择最小值的求法。
（3）直线不经过第四象限的充要条件是：直线在x轴上的截距小于或等于-2，在y轴上的截距大于或等于1。或由直线经过定点（-2，1）知斜率大于或等于零。
解：（1）直线l的方程是：
∴无论k取何值，直线总经过定点（-2，1）
（2）由l的方程，得：
解得：k＞0
解之得：k＞0
小结：本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”，也是证明曲线系过定点的一般方法。
例7. 
分析：利用所求直线上任意一点P关于点A的对称点P’在已知直线上的关系求解。
解：设P（x，y）为所求直线上任一点，则：
∵线段PP’的中点为A（1，-1）
注意：本题是一个关于点对称的直线的求法问题，要注意利用点对称的特点求解。
例8. 一根弹簧挂6公斤的物体时，长11 cm，挂9公斤的物体时，长17 cm。已知弹簧长度l （cm）和所挂物体的重量w（公斤）的关系可以用直线方程来表示。用两点式表示这个方程，并根据这个方程，求弹簧长为13 cm时所挂物体的重量。
解：以Ow为横坐标轴，以Ol为纵坐标轴建立直角坐标系（如图所示）
由题意知直线过点（6，11）和点（9，17）
由直线的两点式方程得所求直线的方程为：
∴w＝7
即弹簧长为13 cm时所挂物体的重量为7公斤。
小结：因为弹簧长l和所挂物体的重量w的关系可以用直线方程来表示，并且弹簧挂6公斤的物体时，长11 cm；弹簧挂9公斤的物体时，长17 cm。所以直线过点（6，11）和（9，17）。由直线方程的两点式求出l、w关系，得解。
例9. 
解：
小结：由直线方程的一般式求直线的倾斜角时，须先求其斜率，这时通常把直线方程化成斜截式（若直线没有斜率即y的系数为0，则直线的倾斜角为90°，此时直线方程没有斜截式），然后根据斜率再求直线的倾斜角。当直线的斜率k≥0时，直线的倾斜角为arctank；当直线的斜率k＜0时，直线的倾斜角为π＋arctank。
例10. 
证明：如图所示，过P（x1，y1）作直线垂直于x轴，交直线l于M
设M点的坐标为（x1，y2），则：
∵P在M的上方
小结：
点P在直线的上方或下方就是指在同横坐标时，P的纵坐标大于或小于直线上的点对应的纵坐标。
【模拟试题】
1. 直线
与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 过点A（4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）
A. 
B. 
C. 或
D. 或
3. 已知直线
的横截距大于纵截距，则A、B、C应满足的条件是（ ）
A. A＞B B. A＜B
C. 
D.
4. 直线
的图象只可能是下图中的（ ）
5. 直线
在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a、b的值是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
6. 若直线
的倾斜角为
且过点（1，0），则直线的方程为________。
7. 由已知条件求下列直线的斜截式方程。
（1）直线经过点
；
（2）直线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为
。
8. 设直线的方程为
，根据下列条件分别确定实数m的值。
（1）在x轴上的截距是；
（2）斜率是1。
9. 过点P（2，1）作直线交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，当
取最小值时，求直线的方程。
10. 已知直线与坐标轴围成的三角形面积为3，且在x轴和y轴上的截距之和为5，求这样的直线的条数。
11. 已知点P（-1，1）、Q（2，2），直线
与线段PQ相交，求实数k的范围。
【试题答案】
1. D
解析：在方程
中
令
得
；
令
得
。
∴直线与两坐标轴围成的三角形面积是：
2. C
解析：设过点A（4，1）的直线的方程为
令，得
；
令，得
。
由已知得：
或
∴所求直线的方程为或（此题也可用直线方程的截距式求，但需讨论）。
3. 解析：由条件知：A·B·C≠0
在方程
中，
令，得
；
令，得
由
得：
4. B
解析：由
得
由
得
下面用排除法，在A选项中，由
的图象知
，判断知
的图象不符合。
在B选项中，由的图象知，判断知的图象符合，所以应选B。
5. D
解析：在方程中分别令
，得：
6. 
解析：∵直线的倾斜角为
∴直线的斜率
，由点斜式得直线的方程为：
，即
7. 分析：先根据已知条件写出直线的方程，再化成直线的斜截式方程。
解：（1）直线的两点式方程为：
化为斜截式方程为
（2）直线截距式方程为
化为斜截式方程为
8. 解：（1）在中，
令，得
由题意知：
解得：
（舍去）为所求。
（2）因为直线的斜率为1，所以
解得：
为所求（
舍去）
9. 解：设直线的方程为
分别令
得：
∵k＜0，∴当且仅当
时，取得最小值4
故所求直线的方程为
10. 解：设直线的截距式方程为
由题意得：
即
或
由解得：
由解得：
故所求直线有4条。
11. 解：∵直线的纵截距为
∴直线过点M（0，-1）
∵与线段PQ相交
点评：由于直线过定点M（0，-1），所以问题转化为过定点的直线与线段PQ相交。此类题可用数形结合法解决。在找边界时注意转动直线，观察其倾斜角的变化。